第九章系综理论课件.ppt

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1、热力学热力学统计物理统计物理汪志诚（第五版）汪志诚（第五版）重庆师范大学物理与电子工程学院重庆师范大学物理与电子工程学院第九章第九章 系综理论系综理论 前面五、六、七三章讨论的统计方法叫最概然统计前面五、六、七三章讨论的统计方法叫最概然统计前面五、六、七三章讨论的统计方法叫最概然统计前面五、六、七三章讨论的统计方法叫最概然统计方法，实用的条件是：粒子之间没有作用。方法，实用的条件是：粒子之间没有作用。方法，实用的条件是：粒子之间没有作用。方法，实用的条件是：粒子之间没有作用。这时系这时系这时系这时系统的微观状态通过粒子的微观状态来描述统的微观状态通过粒子的微观状态来描述统的微观状态通过粒子的微

2、观状态来描述统的微观状态通过粒子的微观状态来描述(给出粒给出粒给出粒给出粒子数分布子数分布子数分布子数分布)，通过分析在粒子的各能级上粒子数分，通过分析在粒子的各能级上粒子数分，通过分析在粒子的各能级上粒子数分，通过分析在粒子的各能级上粒子数分布得到微观状态数最大的分布。布得到微观状态数最大的分布。布得到微观状态数最大的分布。布得到微观状态数最大的分布。自然界实际系统内部微观粒子之间的作用通常不能自然界实际系统内部微观粒子之间的作用通常不能自然界实际系统内部微观粒子之间的作用通常不能自然界实际系统内部微观粒子之间的作用通常不能忽略，这时系统的能量除包含每个粒子的能量外，忽略，这时系统的能量除包

3、含每个粒子的能量外，忽略，这时系统的能量除包含每个粒子的能量外，忽略，这时系统的能量除包含每个粒子的能量外，还包括粒子之间相互作用势能及粒子在外场中的能还包括粒子之间相互作用势能及粒子在外场中的能还包括粒子之间相互作用势能及粒子在外场中的能还包括粒子之间相互作用势能及粒子在外场中的能量。量。量。量。本章学习的系综理论是可以处理粒子之间存在本章学习的系综理论是可以处理粒子之间存在本章学习的系综理论是可以处理粒子之间存在本章学习的系综理论是可以处理粒子之间存在相互作用的统计理论。相互作用的统计理论。相互作用的统计理论。相互作用的统计理论。统计平均的方法：统计平均的方法：统计平均的方法：统计平均的方

4、法：热力学量是最概然分布下系统微观量的统计平均值热力学量是最概然分布下系统微观量的统计平均值热力学量是最概然分布下系统微观量的统计平均值热力学量是最概然分布下系统微观量的统计平均值（最概然分布并不是系统的唯一分布）。（最概然分布并不是系统的唯一分布）。（最概然分布并不是系统的唯一分布）。（最概然分布并不是系统的唯一分布）。第九章第九章 系综理论系综理论通过前面统计物理的学习，我们认识到：任何统计通过前面统计物理的学习，我们认识到：任何统计通过前面统计物理的学习，我们认识到：任何统计通过前面统计物理的学习，我们认识到：任何统计理论总要解决三方面的问题：理论总要解决三方面的问题：理论总要解决三方面

5、的问题：理论总要解决三方面的问题：一是如何描述系统的微观运动状态，最好包括力一是如何描述系统的微观运动状态，最好包括力一是如何描述系统的微观运动状态，最好包括力一是如何描述系统的微观运动状态，最好包括力学上的解析描述和几何描述；学上的解析描述和几何描述；学上的解析描述和几何描述；学上的解析描述和几何描述；二是如何进行统计平均，这里的核心问题是怎样二是如何进行统计平均，这里的核心问题是怎样二是如何进行统计平均，这里的核心问题是怎样二是如何进行统计平均，这里的核心问题是怎样得到分布函数；得到分布函数；得到分布函数；得到分布函数；三是如何求出热力学量，导出热力学基本方程，提三是如何求出热力学量，导出

6、热力学基本方程，提三是如何求出热力学量，导出热力学基本方程，提三是如何求出热力学量，导出热力学基本方程，提出与实验的比较方法。出与实验的比较方法。出与实验的比较方法。出与实验的比较方法。学习系综理论也要抓住这三个方面。学习系综理论也要抓住这三个方面。学习系综理论也要抓住这三个方面。学习系综理论也要抓住这三个方面。系综理论是关于热力学系统统计的普遍理论，在不系综理论是关于热力学系统统计的普遍理论，在不系综理论是关于热力学系统统计的普遍理论，在不系综理论是关于热力学系统统计的普遍理论，在不计粒子之间作用时，能得到最概然统计结果。计粒子之间作用时，能得到最概然统计结果。计粒子之间作用时，能得到最概然

7、统计结果。计粒子之间作用时，能得到最概然统计结果。第九章第九章 系综理论系综理论 主要内容主要内容 系统微观运动状态的经典描述和量子描述；系统微观运动状态的经典描述和量子描述；系统微观运动状态的经典描述和量子描述；系统微观运动状态的经典描述和量子描述；统计平均方法，系综的概念；统计平均方法，系综的概念；统计平均方法，系综的概念；统计平均方法，系综的概念；三种系综及其分布；三种系综及其分布；三种系综及其分布；三种系综及其分布；正则系综理论的简单应用；正则系综理论的简单应用；正则系综理论的简单应用；正则系综理论的简单应用；巨正则系综的简单应用。巨正则系综的简单应用。巨正则系综的简单应用。巨正则系综

8、的简单应用。实际气体的物态方程、固体的热容量实际气体的物态方程、固体的热容量实际气体的物态方程、固体的热容量实际气体的物态方程、固体的热容量吸附现象中的吸附率、巨正则分布推导独立粒子吸附现象中的吸附率、巨正则分布推导独立粒子吸附现象中的吸附率、巨正则分布推导独立粒子吸附现象中的吸附率、巨正则分布推导独立粒子的平均分布、玻色分布和费米分布的涨落分析的平均分布、玻色分布和费米分布的涨落分析的平均分布、玻色分布和费米分布的涨落分析的平均分布、玻色分布和费米分布的涨落分析9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述本节作为基础先学习系综理论中怎样描述系统的本节作为基础先学习系综理论中怎

9、样描述系统的本节作为基础先学习系综理论中怎样描述系统的本节作为基础先学习系综理论中怎样描述系统的微观运动状态。微观运动状态。微观运动状态。微观运动状态。一、系统微观运动状态的经典描述一、系统微观运动状态的经典描述一、系统微观运动状态的经典描述一、系统微观运动状态的经典描述 1 1解析描述解析描述解析描述解析描述 对自由度为对自由度为对自由度为对自由度为f f的系统，系统在任一时刻的微观（力的系统，系统在任一时刻的微观（力的系统，系统在任一时刻的微观（力的系统，系统在任一时刻的微观（力学）状态，由学）状态，由学）状态，由学）状态，由f f个广义坐标个广义坐标个广义坐标个广义坐标q q1 1,q

10、q2 2,q qf f及与其共轭的及与其共轭的及与其共轭的及与其共轭的f f个广义动量个广义动量个广义动量个广义动量p p1 1,p p2 2,p pf f在此时刻的数值确定。即在此时刻的数值确定。即在此时刻的数值确定。即在此时刻的数值确定。即t t时时时时刻状态用刻状态用刻状态用刻状态用q q1 1,q q2 2,q qf f,p p1 1,p p2 2,p pf f描述。描述。描述。描述。系统由系统由系统由系统由N N个全同粒子组成个全同粒子组成个全同粒子组成个全同粒子组成 f f=NrNr 若系统包含多种粒子若系统包含多种粒子若系统包含多种粒子若系统包含多种粒子 系统运动状态随时间的变化

11、遵从哈密顿正则方程系统运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程系统运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程系统运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程 当粒子之间存在作用时，描述系统的力学状态当粒子之间存在作用时，描述系统的力学状态当粒子之间存在作用时，描述系统的力学状态当粒子之间存在作用时，描述系统的力学状态必须把系统作为一个整体考虑。必须把系统作为一个整体考虑。必须把系统作为一个整体考虑。必须把系统作为一个整体考虑。9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 其中其中其中其中HH(q q,p p)是系统的哈密顿量，以后为书写方便，是系统的哈密顿量，以后为书写方便，是系统的哈密顿

12、量，以后为书写方便，是系统的哈密顿量，以后为书写方便，我们将我们将我们将我们将q q1 1,q q2 2,q qf f,p p1 1,p p2 2,p pf f简记为简记为简记为简记为q q，p p 。对于孤立对于孤立对于孤立对于孤立系统系统系统系统HH(q q,p p)=)=E E（系统的能量），包括粒子的动能、（系统的能量），包括粒子的动能、（系统的能量），包括粒子的动能、（系统的能量），包括粒子的动能、粒子间相互作用势能和粒子在保守场中的势能。它粒子间相互作用势能和粒子在保守场中的势能。它粒子间相互作用势能和粒子在保守场中的势能。它粒子间相互作用势能和粒子在保守场中的势能。它是是是是q

13、q q q,p p p p的函数，当存在外场时还是外场参量的函数，的函数，当存在外场时还是外场参量的函数，的函数，当存在外场时还是外场参量的函数，的函数，当存在外场时还是外场参量的函数，但不是时间但不是时间但不是时间但不是时间t t的显函数。的显函数。的显函数。的显函数。2 2几何描述几何描述几何描述几何描述 空间空间空间空间 对自由度为对自由度为对自由度为对自由度为f f的系统以描述系统状态的的系统以描述系统状态的的系统以描述系统状态的的系统以描述系统状态的2 2f f个变量个变量个变量个变量q q1 1,q q2 2,q qf f,p p1 1,p p2 2,p pf f为直角坐标轴构成一

14、个为直角坐标轴构成一个为直角坐标轴构成一个为直角坐标轴构成一个2 2f f维空维空维空维空间，称为系统的相空间或间，称为系统的相空间或间，称为系统的相空间或间，称为系统的相空间或 空间。空间。空间。空间。系统在某时刻系统在某时刻系统在某时刻系统在某时刻t t的的的的状态可用相空间中的一个点表示，称为系统运动状态可用相空间中的一个点表示，称为系统运动状态可用相空间中的一个点表示，称为系统运动状态可用相空间中的一个点表示，称为系统运动状态的代表点。状态的代表点。状态的代表点。状态的代表点。9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 （1 1）空间是人为想象的超越空间；空间是人为想

15、象的超越空间；空间是人为想象的超越空间；空间是人为想象的超越空间；空间中一个空间中一个空间中一个空间中一个点代表体系的一个微观状态，体系状态随时间的点代表体系的一个微观状态，体系状态随时间的点代表体系的一个微观状态，体系状态随时间的点代表体系的一个微观状态，体系状态随时间的变化对应代表点在变化对应代表点在变化对应代表点在变化对应代表点在 空间的一个运动轨迹。空间的一个运动轨迹。空间的一个运动轨迹。空间的一个运动轨迹。（2 2）任何体系都有和它相应的）任何体系都有和它相应的）任何体系都有和它相应的）任何体系都有和它相应的 空间；空间；空间；空间；只有力学只有力学只有力学只有力学性质完全相同的系统

16、才会有相同的性质完全相同的系统才会有相同的性质完全相同的系统才会有相同的性质完全相同的系统才会有相同的 空间。空间。空间。空间。（3 3）对于孤立系统，）对于孤立系统，）对于孤立系统，）对于孤立系统，HH(q q,p p)=)=E E ，对应相空间中一，对应相空间中一，对应相空间中一，对应相空间中一个个个个2 2f f11维曲面，称为能量曲面，维曲面，称为能量曲面，维曲面，称为能量曲面，维曲面，称为能量曲面，孤立系统运动状态孤立系统运动状态孤立系统运动状态孤立系统运动状态的代表点一定位于能量曲面上。的代表点一定位于能量曲面上。的代表点一定位于能量曲面上。的代表点一定位于能量曲面上。（4）在一般

17、物理问题中，哈密顿函数）在一般物理问题中，哈密顿函数H及其微分都及其微分都是单值函数，决定了是单值函数，决定了在在在在 空间代表点的运动轨迹要空间代表点的运动轨迹要空间代表点的运动轨迹要空间代表点的运动轨迹要么是一条封闭曲线，要么是一条永不相交的曲线。么是一条封闭曲线，要么是一条永不相交的曲线。么是一条封闭曲线，要么是一条永不相交的曲线。么是一条封闭曲线，要么是一条永不相交的曲线。空空空空间间间间性性性性质质质质 9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 空间与空间与空间与空间与 空间的比较空间的比较空间的比较空间的比较（1 1）空间用来描述粒子状态，空间用来描述粒子状态，

18、空间用来描述粒子状态，空间用来描述粒子状态，空间中一个点表空间中一个点表空间中一个点表空间中一个点表示粒子的一个运动状态，全同近独立粒子系统的示粒子的一个运动状态，全同近独立粒子系统的示粒子的一个运动状态，全同近独立粒子系统的示粒子的一个运动状态，全同近独立粒子系统的状态用状态用状态用状态用N N个点表示；个点表示；个点表示；个点表示；（2 2）空间用来描述系统的运动状态，空间用来描述系统的运动状态，空间用来描述系统的运动状态，空间用来描述系统的运动状态，空间空间空间空间中一中一中一中一个点表示系统的一个运动状态个点表示系统的一个运动状态个点表示系统的一个运动状态个点表示系统的一个运动状态。3

19、 3 空间中给定相体积内运动代表点数空间中给定相体积内运动代表点数空间中给定相体积内运动代表点数空间中给定相体积内运动代表点数 当系统从一个已知的初状态出发沿正则方程确定的当系统从一个已知的初状态出发沿正则方程确定的当系统从一个已知的初状态出发沿正则方程确定的当系统从一个已知的初状态出发沿正则方程确定的轨道运动时，系统在时刻轨道运动时，系统在时刻轨道运动时，系统在时刻轨道运动时，系统在时刻t t的状态在相空间中对应的状态在相空间中对应的状态在相空间中对应的状态在相空间中对应着一个确定的代表点，若这个系统有着一个确定的代表点，若这个系统有着一个确定的代表点，若这个系统有着一个确定的代表点，若这个

20、系统有N N N N个可能的初个可能的初个可能的初个可能的初状态（状态（状态（状态（N N N N很大），那么系统在时刻很大），那么系统在时刻很大），那么系统在时刻很大），那么系统在时刻t t的各种可能状的各种可能状的各种可能状的各种可能状态在相空间中对应着态在相空间中对应着态在相空间中对应着态在相空间中对应着N N N N个代表点，这些状态的代表个代表点，这些状态的代表个代表点，这些状态的代表个代表点，这些状态的代表点形成一个分布点形成一个分布点形成一个分布点形成一个分布 9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 为了研究方便，为了研究方便，为了研究方便，为了研究方便，我

21、们假想这些代表点的分布是我们假想这些代表点的分布是我们假想这些代表点的分布是我们假想这些代表点的分布是N N(很大很大很大很大)个结构完全相同的系统（它们有相同的个结构完全相同的系统（它们有相同的个结构完全相同的系统（它们有相同的个结构完全相同的系统（它们有相同的 空间），各空间），各空间），各空间），各自从其确定的初状态出发独立地沿着正则方程确定的自从其确定的初状态出发独立地沿着正则方程确定的自从其确定的初状态出发独立地沿着正则方程确定的自从其确定的初状态出发独立地沿着正则方程确定的轨道运动在轨道运动在轨道运动在轨道运动在t t时刻形成的。时刻形成的。时刻形成的。时刻形成的。相空间的微小体积

22、元（相体积）为相空间的微小体积元（相体积）为相空间的微小体积元（相体积）为相空间的微小体积元（相体积）为 该相体积元内代表点数（体系的微观状态数）为该相体积元内代表点数（体系的微观状态数）为该相体积元内代表点数（体系的微观状态数）为该相体积元内代表点数（体系的微观状态数）为 (q q,p p,t t)表示单位相体积内代表点数叫代表点密度。表示单位相体积内代表点数叫代表点密度。表示单位相体积内代表点数叫代表点密度。表示单位相体积内代表点数叫代表点密度。其中其中其中其中N N N N 是所设想的系统总数，是大常量。（在等概是所设想的系统总数，是大常量。（在等概是所设想的系统总数，是大常量。（在等概

23、是所设想的系统总数，是大常量。（在等概率原理下率原理下率原理下率原理下 /N N N N表示概率密度。）表示概率密度。）表示概率密度。）表示概率密度。）9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述二、代表点密度随时间的变化二、代表点密度随时间的变化二、代表点密度随时间的变化二、代表点密度随时间的变化刘维尔定理刘维尔定理刘维尔定理刘维尔定理 刘维尔定理是描述代表点密度随时间变化的规律的刘维尔定理是描述代表点密度随时间变化的规律的刘维尔定理是描述代表点密度随时间变化的规律的刘维尔定理是描述代表点密度随时间变化的规律的 考虑时刻考虑时刻考虑时刻考虑时刻t t代表点处在代表点处在代表点

24、处在代表点处在(q q，p p)处，时刻处，时刻处，时刻处，时刻t t+d+dt t代表点运代表点运代表点运代表点运动到动到动到动到()()处，则在后一处的代表点密度可处，则在后一处的代表点密度可处，则在后一处的代表点密度可处，则在后一处的代表点密度可以写为以写为以写为以写为 其中，其中，其中，其中，可以证明可以证明可以证明可以证明 刘维尔定理：刘维尔定理：刘维尔定理：刘维尔定理：在在在在 空间中代空间中代空间中代空间中代表点的密度在运动中不变。表点的密度在运动中不变。表点的密度在运动中不变。表点的密度在运动中不变。或或或或9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 说明说明

25、说明说明:（1 1）定理说明代表点在运动中没有集中和分散）定理说明代表点在运动中没有集中和分散）定理说明代表点在运动中没有集中和分散）定理说明代表点在运动中没有集中和分散的倾向；的倾向；的倾向；的倾向；（2 2）d d d d /d/d/d/dt t t t表示追随代表点一起运动时，表示追随代表点一起运动时，表示追随代表点一起运动时，表示追随代表点一起运动时，随时间的变化率，即随代表点一起运动观测到的随时间的变化率，即随代表点一起运动观测到的随时间的变化率，即随代表点一起运动观测到的随时间的变化率，即随代表点一起运动观测到的 随随随随时间的变化率；时间的变化率；时间的变化率；时间的变化率；/t

26、 t t t表示观察者在相空间一固定表示观察者在相空间一固定表示观察者在相空间一固定表示观察者在相空间一固定某点测量某点测量某点测量某点测量 随时间的变化率。随时间的变化率。随时间的变化率。随时间的变化率。一个重要的推论：一个重要的推论：若系统处在平衡态，代表点密若系统处在平衡态，代表点密若系统处在平衡态，代表点密若系统处在平衡态，代表点密度不显含时间度不显含时间度不显含时间度不显含时间t t。三、系统微观运动状态的量子描述三、系统微观运动状态的量子描述三、系统微观运动状态的量子描述三、系统微观运动状态的量子描述 用系统的一组完全集合的力学量（用系统的一组完全集合的力学量（用系统的一组完全集合

27、的力学量（用系统的一组完全集合的力学量（E E、MM、S S）的）的）的）的量子数量子数量子数量子数(n n、l l、mm)描述系统的各个微观状态。描述系统的各个微观状态。描述系统的各个微观状态。描述系统的各个微观状态。为了书为了书为了书为了书写简便起见，用指标写简便起见，用指标写简便起见，用指标写简便起见，用指标s s标志系统的不同微观状态标志系统的不同微观状态标志系统的不同微观状态标志系统的不同微观状态s s s s=1,2,=1,2,=1,2,=1,2,量子理论中系统的微观态也叫量子态。在确量子理论中系统的微观态也叫量子态。在确量子理论中系统的微观态也叫量子态。在确量子理论中系统的微观态

28、也叫量子态。在确定量子态数时，注意微观粒子全同性原理的影响定量子态数时，注意微观粒子全同性原理的影响定量子态数时，注意微观粒子全同性原理的影响定量子态数时，注意微观粒子全同性原理的影响。9.1 9.1 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述讨论：量子描述的经典极限讨论：量子描述的经典极限讨论：量子描述的经典极限讨论：量子描述的经典极限 力学量准连续时的量子状态，可以在力学量准连续时的量子状态，可以在力学量准连续时的量子状态，可以在力学量准连续时的量子状态，可以在 空间描述状空间描述状空间描述状空间描述状态，但要注意以下问题态，但要注意以下问题态，但要注意以下问题态，但要注意以下问题 （1

29、 1）由于微观粒子的波粒二相性，）由于微观粒子的波粒二相性，）由于微观粒子的波粒二相性，）由于微观粒子的波粒二相性，系统的一个量系统的一个量系统的一个量系统的一个量子态在相空间所占的相体积为子态在相空间所占的相体积为子态在相空间所占的相体积为子态在相空间所占的相体积为h hf f，叫相格。，叫相格。，叫相格。，叫相格。（2 2）考虑到微观粒子的全同性原理的影响，相空）考虑到微观粒子的全同性原理的影响，相空）考虑到微观粒子的全同性原理的影响，相空）考虑到微观粒子的全同性原理的影响，相空间中在相体积元间中在相体积元间中在相体积元间中在相体积元d d =d dq qd dp p内系统的量子态数，内系

30、统的量子态数，内系统的量子态数，内系统的量子态数，对全同粒子为对全同粒子为对全同粒子为对全同粒子为 对多元粒子对多元粒子对多元粒子对多元粒子 9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布 统计物理学研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。统计物理学研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。统计物理学研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。统计物理学研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。本节用系综统计法研究孤立系统的分布，孤立系统本节用系综统计法研究孤立系统的分布，孤立系统本节用系综统计法研究孤立系统的分布，孤立系统本节用系综统计法研究孤立系统的分布，孤立系统给定的宏观条件是系统具有确定的给定的宏

31、观条件是系统具有确定的给定的宏观条件是系统具有确定的给定的宏观条件是系统具有确定的N N、V V、和、和、和、和E E。一、系综的概念一、系综的概念一、系综的概念一、系综的概念 1 1、力学量的平均值公式、力学量的平均值公式、力学量的平均值公式、力学量的平均值公式 对于有相互作用的经典系统，在对于有相互作用的经典系统，在对于有相互作用的经典系统，在对于有相互作用的经典系统，在 空间中，系统的空间中，系统的空间中，系统的空间中，系统的一个微观态对应一个运动代表点，一个微观态对应一个运动代表点，一个微观态对应一个运动代表点，一个微观态对应一个运动代表点，而要在而要在而要在而要在 空间中空间中空间中

32、空间中建立一般系统的统计理论，也必须在建立一般系统的统计理论，也必须在建立一般系统的统计理论，也必须在建立一般系统的统计理论，也必须在 空间中找出空间中找出空间中找出空间中找出能真正代表系统物理性质的大量代表点。能真正代表系统物理性质的大量代表点。能真正代表系统物理性质的大量代表点。能真正代表系统物理性质的大量代表点。我们先回顾玻耳兹曼经典统计怎样得到热力学量我们先回顾玻耳兹曼经典统计怎样得到热力学量我们先回顾玻耳兹曼经典统计怎样得到热力学量我们先回顾玻耳兹曼经典统计怎样得到热力学量统计平均值。统计平均值。统计平均值。统计平均值。热力学量的统计平均是对系统所有热力学量的统计平均是对系统所有热力

33、学量的统计平均是对系统所有热力学量的统计平均是对系统所有可能微观状态按权重进行平均的。可能微观状态按权重进行平均的。可能微观状态按权重进行平均的。可能微观状态按权重进行平均的。吉布斯解决了这个问题吉布斯解决了这个问题吉布斯解决了这个问题吉布斯解决了这个问题.9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布q qp pt=t=0 0t t体系的宏观量体系的宏观量体系的宏观量体系的宏观量B B应当是在这应当是在这应当是在这应当是在这段宏观短微观长的实验观察段宏观短微观长的实验观察段宏观短微观长的实验观察段宏观短微观长的实验观察时间内各对应微观量时间内各对应微观量时间内各对应微观量时间内各

34、对应微观量B Bs s对时对时对时对时间的平均值。间的平均值。间的平均值。间的平均值。如果我们处理的系统是处于平衡态的系统，则宏观如果我们处理的系统是处于平衡态的系统，则宏观如果我们处理的系统是处于平衡态的系统，则宏观如果我们处理的系统是处于平衡态的系统，则宏观 量不应随时间变化，也就是说，不管观测时间长短，量不应随时间变化，也就是说，不管观测时间长短，量不应随时间变化，也就是说，不管观测时间长短，量不应随时间变化，也就是说，不管观测时间长短，观察到的结果都一样，时间的因素对于平衡态的统观察到的结果都一样，时间的因素对于平衡态的统观察到的结果都一样，时间的因素对于平衡态的统观察到的结果都一样，

35、时间的因素对于平衡态的统计理论并不重要，计理论并不重要，计理论并不重要，计理论并不重要，假设我们观察足够长时间，假设我们观察足够长时间，假设我们观察足够长时间，假设我们观察足够长时间，可以认为系统实际上已经历了一切可能的状态。可以认为系统实际上已经历了一切可能的状态。可以认为系统实际上已经历了一切可能的状态。可以认为系统实际上已经历了一切可能的状态。宏观量是系统在给定宏观条件下一切可能的微观状宏观量是系统在给定宏观条件下一切可能的微观状宏观量是系统在给定宏观条件下一切可能的微观状宏观量是系统在给定宏观条件下一切可能的微观状态上微观量的平均值。态上微观量的平均值。态上微观量的平均值。态上微观量的

36、平均值。9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布在给定的宏观条件下我们不能肯定在某时刻系统一在给定的宏观条件下我们不能肯定在某时刻系统一在给定的宏观条件下我们不能肯定在某时刻系统一在给定的宏观条件下我们不能肯定在某时刻系统一定处在或一定不处在某个微观态，而只能确定系统定处在或一定不处在某个微观态，而只能确定系统定处在或一定不处在某个微观态，而只能确定系统定处在或一定不处在某个微观态，而只能确定系统处在各个可能微观态的概率处在各个可能微观态的概率处在各个可能微观态的概率处在各个可能微观态的概率 （q q,p p,t t）。由此按照上由此按照上由此按照上由此按照上述统计思想计算出

37、力学量。述统计思想计算出力学量。述统计思想计算出力学量。述统计思想计算出力学量。（1 1）在经典理论中，系统可能的微观态在相空间）在经典理论中，系统可能的微观态在相空间）在经典理论中，系统可能的微观态在相空间）在经典理论中，系统可能的微观态在相空间构成一个连续分布，描述如下：构成一个连续分布，描述如下：构成一个连续分布，描述如下：构成一个连续分布，描述如下：系统微观态出现在相体积元系统微观态出现在相体积元系统微观态出现在相体积元系统微观态出现在相体积元d d 内的概率内的概率内的概率内的概率 (q q,p p,t t)d)d （q q,p p,t t）是系统在是系统在是系统在是系统在t t时刻

38、在相空间时刻在相空间时刻在相空间时刻在相空间q q,p p处状态的概处状态的概处状态的概处状态的概率密度称为概率分布函数。率密度称为概率分布函数。率密度称为概率分布函数。率密度称为概率分布函数。概率分布函数满足归一化条件概率分布函数满足归一化条件概率分布函数满足归一化条件概率分布函数满足归一化条件 (q q,p p,t t)d)d =1=1平均值的公式平均值的公式平均值的公式平均值的公式 9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布（2 2）在量子理论中，在一定的宏观条件下，系统）在量子理论中，在一定的宏观条件下，系统）在量子理论中，在一定的宏观条件下，系统）在量子理论中，在一定

39、的宏观条件下，系统有大量的量子态有大量的量子态有大量的量子态有大量的量子态s s=1,2=1,2，描述如下，描述如下，描述如下，描述如下 系统在系统在系统在系统在t t时刻处在量子态时刻处在量子态时刻处在量子态时刻处在量子态s s上的概率为上的概率为上的概率为上的概率为 s s(t t)s s(t t)称为分布函数，满足归一化条件称为分布函数，满足归一化条件称为分布函数，满足归一化条件称为分布函数，满足归一化条件 平均值的公式平均值的公式平均值的公式平均值的公式 2 2、系综的概念、系综的概念、系综的概念、系综的概念 为了形象化理解上面的两个平均值公式，求出在各为了形象化理解上面的两个平均值公

40、式，求出在各为了形象化理解上面的两个平均值公式，求出在各为了形象化理解上面的两个平均值公式，求出在各种给定宏观条件下的概率分布，我们引进系综的概种给定宏观条件下的概率分布，我们引进系综的概种给定宏观条件下的概率分布，我们引进系综的概种给定宏观条件下的概率分布，我们引进系综的概念。（我们从一个例子来看系综的统计思想）念。（我们从一个例子来看系综的统计思想）念。（我们从一个例子来看系综的统计思想）念。（我们从一个例子来看系综的统计思想）大量结构完全相同，而且处在相同的宏观条件下大量结构完全相同，而且处在相同的宏观条件下大量结构完全相同，而且处在相同的宏观条件下大量结构完全相同，而且处在相同的宏观条

41、件下的系统的集合称为统计系综，简称系综。的系统的集合称为统计系综，简称系综。的系统的集合称为统计系综，简称系综。的系统的集合称为统计系综，简称系综。9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布关于系综概念的说明关于系综概念的说明关于系综概念的说明关于系综概念的说明 （1 1）所谓）所谓）所谓）所谓“大量大量大量大量”是指数目巨大，适用于用统计是指数目巨大，适用于用统计是指数目巨大，适用于用统计是指数目巨大，适用于用统计方法求平均值；方法求平均值；方法求平均值；方法求平均值；（2 2）所谓）所谓）所谓）所谓“结构完全相同结构完全相同结构完全相同结构完全相同”指假想系统具有相同指假想

42、系统具有相同指假想系统具有相同指假想系统具有相同的力学性质，对应的相空间一样；的力学性质，对应的相空间一样；的力学性质，对应的相空间一样；的力学性质，对应的相空间一样；（3 3）系综与系统力学量的统计平均值；）系综与系统力学量的统计平均值；）系综与系统力学量的统计平均值；）系综与系统力学量的统计平均值；系综不是所讨论问题的实际客体，实际客体是系系综不是所讨论问题的实际客体，实际客体是系系综不是所讨论问题的实际客体，实际客体是系系综不是所讨论问题的实际客体，实际客体是系统。统。统。统。系综是系统所有可能微观态总和的形象化身。系综是系统所有可能微观态总和的形象化身。系综是系统所有可能微观态总和的形

43、象化身。系综是系统所有可能微观态总和的形象化身。对于系综来说，在时刻对于系综来说，在时刻对于系综来说，在时刻对于系综来说，在时刻t t运动状态处在运动状态处在运动状态处在运动状态处在d d 内系统内系统内系统内系统数与数与数与数与 (q q,p p,t t)d)d 成正比，对于系统来说，成正比，对于系统来说，成正比，对于系统来说，成正比，对于系统来说，在时刻在时刻在时刻在时刻t t运动状态处在运动状态处在运动状态处在运动状态处在d d 内的概率为内的概率为内的概率为内的概率为 (q q,p p,t t)d)d 。二、微正则分布二、微正则分布二、微正则分布二、微正则分布 孤立系统的概率分布称为微

44、正则分布。孤立系统的概率分布称为微正则分布。孤立系统的概率分布称为微正则分布。孤立系统的概率分布称为微正则分布。微正则分布约束条件：具有确定的粒子数微正则分布约束条件：具有确定的粒子数微正则分布约束条件：具有确定的粒子数微正则分布约束条件：具有确定的粒子数N N、体积、体积、体积、体积 V V、和能量、和能量、和能量、和能量E E。关于力学关于力学关于力学关于力学量的两种描述中的平均值公式，可以理解为力学量的两种描述中的平均值公式，可以理解为力学量的两种描述中的平均值公式，可以理解为力学量的两种描述中的平均值公式，可以理解为力学量量量量B B在统计系综上的平均值，称为系综平均值。在统计系综上的

45、平均值，称为系综平均值。在统计系综上的平均值，称为系综平均值。在统计系综上的平均值，称为系综平均值。9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布1 1、等概率原理、等概率原理、等概率原理、等概率原理 在平衡态下的孤立系统处在各个微观态上的概率是在平衡态下的孤立系统处在各个微观态上的概率是在平衡态下的孤立系统处在各个微观态上的概率是在平衡态下的孤立系统处在各个微观态上的概率是相等的。相等的。相等的。相等的。等概率原理是平衡态统计的一个基本假设，也是确等概率原理是平衡态统计的一个基本假设，也是确等概率原理是平衡态统计的一个基本假设，也是确等概率原理是平衡态统计的一个基本假设，也是确定

46、微正则分布的依据。定微正则分布的依据。定微正则分布的依据。定微正则分布的依据。2 2、孤立系统的微正则分布、孤立系统的微正则分布、孤立系统的微正则分布、孤立系统的微正则分布 经典表达式经典表达式经典表达式经典表达式 量子表达式量子表达式量子表达式量子表达式 表示在表示在表示在表示在E E-E E+E E的的的的能量范围能量范围能量范围能量范围内系统所有的可能量子态数。内系统所有的可能量子态数。内系统所有的可能量子态数。内系统所有的可能量子态数。9.2 9.2 系综的概念系综的概念 微正则分布微正则分布讨讨讨讨论论论论 （1 1）经典统计理解为量子统计的经典极限）经典统计理解为量子统计的经典极限

47、）经典统计理解为量子统计的经典极限）经典统计理解为量子统计的经典极限 在力学量准连续情况下，系统的微观状态数在力学量准连续情况下，系统的微观状态数在力学量准连续情况下，系统的微观状态数在力学量准连续情况下，系统的微观状态数积分给出相空间中能壳积分给出相空间中能壳积分给出相空间中能壳积分给出相空间中能壳E E HH(q q,p p)E E+E E的相体积的相体积的相体积的相体积（2 2）最概然分布理论和系综理论的比较）最概然分布理论和系综理论的比较）最概然分布理论和系综理论的比较）最概然分布理论和系综理论的比较 最概然分布中，宏观量是微观量在最概然分布下的最概然分布中，宏观量是微观量在最概然分布

48、下的最概然分布中，宏观量是微观量在最概然分布下的最概然分布中，宏观量是微观量在最概然分布下的统计平均值，系综理论中，宏观量是在给定宏观条统计平均值，系综理论中，宏观量是在给定宏观条统计平均值，系综理论中，宏观量是在给定宏观条统计平均值，系综理论中，宏观量是在给定宏观条件下微观量对一切可能微观态的平均值。件下微观量对一切可能微观态的平均值。件下微观量对一切可能微观态的平均值。件下微观量对一切可能微观态的平均值。如果相对涨落很小，即如果相对涨落很小，即如果相对涨落很小，即如果相对涨落很小，即 概率分布必然是具有非常陡的极大值的分布函数，概率分布必然是具有非常陡的极大值的分布函数，概率分布必然是具有

49、非常陡的极大值的分布函数，概率分布必然是具有非常陡的极大值的分布函数，微观量的最概然统计平均值和平均值是相等的。微观量的最概然统计平均值和平均值是相等的。微观量的最概然统计平均值和平均值是相等的。微观量的最概然统计平均值和平均值是相等的。9.3 9.3 微正则分布的热力学公式微正则分布的热力学公式 本节讨论给定本节讨论给定本节讨论给定本节讨论给定N N、E E、V V条件下系统（孤立系统）的条件下系统（孤立系统）的条件下系统（孤立系统）的条件下系统（孤立系统）的微观状态数微观状态数微观状态数微观状态数 (N N,E E,V V)与热力学量的关系和微正则分与热力学量的关系和微正则分与热力学量的关

50、系和微正则分与热力学量的关系和微正则分布的热力学公式。布的热力学公式。布的热力学公式。布的热力学公式。一、微观状态数与热力学量的关系一、微观状态数与热力学量的关系一、微观状态数与热力学量的关系一、微观状态数与热力学量的关系 考虑一个孤立系统考虑一个孤立系统考虑一个孤立系统考虑一个孤立系统A A(0)(0)，它是两个有微弱相互作用，它是两个有微弱相互作用，它是两个有微弱相互作用，它是两个有微弱相互作用的系统的系统的系统的系统A A1 1、A A2 2构成的复合孤立系统。构成的复合孤立系统。构成的复合孤立系统。构成的复合孤立系统。以以以以 N N1 1,E E1 1,V V1 1 和和和和 N N