2019高中数学 第2章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 苏教版必修5.doc

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1、1等比数列的概念与通项公式等比数列的概念与通项公式一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明等差数列的前 n 项和1. 掌握等差数列前 n 项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题；2. 体会等差数列前 n 项和公式与二次函数间的关系选择题填空题等差数列前 n 项和还要注意两点：公式推导的方法和函数的思想二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。难点：难点：等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。考点一：等差数列前考点一：等差数列前 n n 项和公式及推导项和公式及推导（1）等差数列的前n项和公式Sn2)(1naanna1dnn 2) 1( （2） 等

2、差数列的前n项和公式的推导：Sna1a2an，Snanan1a1，2Sn（a1an）（a2an1）（ana1） ，n（a1an） ，Sn21n（a1an）这种推导方法称为倒序求和法。 【核心突破核心突破】（1）由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二知三求二” 。 “知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解。（2）在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn2)(1naan较方便；若已知首项a1及公差d用公式Snna12) 1( nnd较好。（3）在运用公式Sn2)(1naan求和时，

3、要注意性质注意性质“设m、n、p、q均为正整数，若mnpq，则amanapaq”的运用。（4）在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和（即已知数列是等差数列）外，还要注意创设运用公式条件创设运用公式条件（即将非等差数列问题转化为等差数列问题） ，以利于求和。考点二：等差数列前考点二：等差数列前 n n 项和的性质项和的性质2数列an为等差数列，前n项和为Sn，则有如下性质：（1）Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，公差为m2d。（2）若项数为偶数 2n（nN N*） ，则S偶S奇nd，偶偶 SS1nn aa。（3）若项数为奇数 2n1（nN N*） ，则S奇S偶an1，偶偶 SS

4、nn1。（4）若an、bn均为等差数列，前n项和分别为Sn和Tn，则1212mmmm TS ba。考点三：等差数列前考点三：等差数列前 n n 项和的最值项和的最值解决等差数列前 n 项和的最值的基本思想是利用前 n 项和公式与函数的关系解决问题，即：（1）二次函数法二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求前 n 项和的最值，但要注意的是：*nN。 （2）图象法图象法：利用二次函数的对称性来确定n的值，使nS取最值。（3）通项法通项法：当10,0ad时，n为使0na 成立的最大的自然数时，nS最大。这是因为当0na 时，1nnSS，即递增；当0na 时，1nnSS，即递减。类似的，当10,0a

5、d时，则n为使0na 成立的最大的自然数时，nS最小。例题例题 1 1（等差数列前（等差数列前n n项和公式的应用）项和公式的应用）在等差数列an中，前n项和为Sn。（1）已知S848，S12168，求a1和d；（2）已知a610，S55，求a8和S8；（3）已知a3a1540，求S17。思路分析：思路分析：（1）利用前n项和公式，建立关于a1、d的方程组，解方程组求a1、d；（2）根据前n项和公式求a1、d，再求a8和S8；（3）先根据等差数列的性质求a1a17，再求S17。答案：答案：（1）由等差数列的前n项和公式，得 ,1686612,4828811 dada解得 ; 4, 81 da（

6、2）a6S6S5，S6S5a615，261aa 615，即 3（a110）15，a15，d516aa 3，a8a62d16，S8281aa 844；（3）根据等差数列的性质，有a3a15a1a1740，3S1724017 2)(17171aa340。技巧点拨：技巧点拨：1. 本题第（3）问看似缺少条件，但注意到a3a15与a1a17的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系。2. 对于两个求和公式Sn2)(1naan和Snna1dnn 2) 1( ，要根据题目的已知条件灵活选用。例题例题 2 2（等差数列前（等差数列前n n项和的最值）项和的最值）已知等差数列an中，a

7、113 且S3S11，那么n取何值时，Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。思路分析：思路分析：先根据前n项和公式求公差d，再求出Sn的表达式，转化成二次函数在 N N*上的最值问题；也可求出公差d后，利用通项公式an的符号解决。答案：答案：方法一 设公差为d，由S3S11得 3132) 13(3d11132) 111(11d，d2，又a113，Sn2dn2（a12d）nn214n（n7）249，当n7 时，Sn取得最大值，最大值是S749；方法二 同方法一得d2，an132（n1）152n，由 , 0, 01nn aa即 , 0) 1(215, 0215 nn解得 6.5n7.5，当n7 时，

8、Sn取得最大值，Sn的最大值是S72)721513(7 2)(771 aa49；方法三 同方法一得d2又由S3S11知a4a5a6a7a8a9a10a114（a7a8）0，a1130，a70，a80，知数列的前 7 项和最大，S7713267（2）49。技巧点拨：技巧点拨：1. 本题中方法一利用二次函数的最值确定n值；方法二利用等差数列的通项公式确定n值；方法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n值。2. 求等差数列前n项和的最值的常见方法：（1）方法一：利用通项公式确定n值若a10，d0，则Sn有最大值，n可由不等式组 0, 01nn aa来确定；4若a10，d0，则Sn有最小值，n可

9、由不等式组 0, 01nn aa来确定。（2）方法二：利用二次函数的最值确定n值等差数列的前n项和为Sn，当d0 时，点（n，Sn）是二次函数yax2bx（a0）上的间断点，因此可利用二次函数的最值确定n值。一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和【满分训练满分训练】已知数列 na为等差数列，103nan，求12+.+naaa思路分析：思路分析：所求和中关键是去掉绝对值，故根据na的正负去掉绝对值。先确定各项的正负，再根据正负去掉绝对值，然后求和。答案：答案：由于na有正也有负，当na0 时，nnaa；当na0 时，nnaa 。当103nan0 时，3n ，所以12+.+naaa1212345.(3).(4)nnaaa naaaaaa n112312(3)2 2()(.)(4)nnaan naaaaaan 22317(3)2 31748(4)2nnnnnn技巧点拨：技巧点拨： 这类数列的求和问题的易错点是未考虑3n 的情形，或者考虑了，但认为它是一个常数。