多元函数的条件极值课件.ppt

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1、4 条件极值条件极值一、问 题 引 入 例例1 要设计一个容积为要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱的长方形无盖水箱,试试 问长、宽、高各等于多少时问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到可使得表面积达到 最小最小?若设长、宽、高各等于若设长、宽、高各等于 x,y,z,则则 目标函数目标函数:约束条件约束条件:例例2 设曲线设曲线 求此曲线上求此曲线上 的的点到原点距离之最大点到原点距离之最大、最小值、最小值.对此问题有对此问题有 目标函数目标函数:约束条件约束条件:定义定义 设目标函数为设目标函数为 约束条件为如下一组方程约束条件为如下一组方程:为简便起见为简便起见,记记 并设并设 若存

2、在若存在 则称则称 是是 在约束条件在约束条件 之下的极小值之下的极小值 称称 是相应的极小值点是相应的极小值点二、拉格朗日乘数法 先从先从 n=2,m=1 的最简情形说起的最简情形说起,即设目标函数即设目标函数与约束条件分别为与约束条件分别为 若由若由 确定了隐函数确定了隐函数 则使得目则使得目 标函数成为一元函数标函数成为一元函数 再由再由 求出稳定点求出稳定点 在此点处满足在此点处满足 极值点必满足极值点必满足在点在点 处恰好满足处恰好满足:通过引入辅助函数通过引入辅助函数 把条件极值问题把条件极值问题(1)转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.拉

3、格朗日乘数法拉格朗日乘数法引入辅助函数引入辅助函数 称此函数为称此函数为拉格朗日函数拉格朗日函数,其中其中 称称 为为拉格朗日乘数拉格朗日乘数.定理定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数设上述条件极值问题中的函数 在区域在区域 D上有连续一阶偏导数上有连续一阶偏导数.若若 D 的内点的内点 是该条件极值问是该条件极值问 题的极值点题的极值点,且且则存在则存在 m 个常数个常数 使得使得 个方程的解个方程的解:为拉格朗日函数为拉格朗日函数(3)的稳定点的稳定点,即它是如下即它是如下 当当n=2,m=1 时时引入辅助函数引入辅助函数极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:

4、条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域内限制对自变量只有定义域内限制.对自变量除定义域内限制外对自变量除定义域内限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制.例如例如,转转化化求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法)方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.推广推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形条件的情形.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.解方程组解方程组解解:如图如图,解解2 用拉格朗日乘数法解用

5、拉格朗日乘数法解解方程组解方程组得：得：例例2.求曲面求曲面与平面与平面解：解：设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点，则则 P 的距离为的距离为问题归结为问题归结为约束条件约束条件:目标函数目标函数:到平面到平面之间的最短距离之间的最短距离.令令得唯一驻点：得唯一驻点：根据问题的实际意义根据问题的实际意义,知知例例3.要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求x,y,令令解方程组解方程组解解:设设 x,y,z 分别表示长、宽、分别表示长、宽、高高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱,试问试问 得得唯一驻点唯一驻点因此因此 ,当高为当高为所用材料最省所用材料最省.P169:1(1)(3)(10数学一数学一,二二)习习 题题提示：提示：()提示提示:由题设由题设 解解切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程：设函数设函数 与与 均可微且均可微且则下列结论正确的是则下列结论正确的是()（A）若）若 则则2006研研已知已知 是在约束条件是在约束条件 下的一个极值点，下的一个极值点，（B）若）若 则则（C）若）若 则则（D）若）若 则则D例例9：提示：提示：满足方程组满足方程组(10数三数三)(08数学二，四数学二，四)