备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极（最）值问题.doc

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1、1专题专题 1212 函数的极（最）值问题函数的极（最）值问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有

2、参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.( (一一) )函数的极值问题函数的极值问题1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数 f x在点0x及其附近有定义，如果对0x附近的所有的点都有 0fxfx，就说 0f x是函数 f x的一个极大值，记作 0yf x极大值，其中0x是极大值点（2）极小值：一般地，设函数 f x在点0x及其附近有定义，如果对0x附近的所有的点都有 0fxfx，就说 0f x是函数 f x的一个极小值，记作 0yfx极小值，其中0x是极小值点，极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：（1）极值

3、是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的奎屯王新敞新疆即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个奎屯王新敞新疆（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆即一个函数的极大值未必大于极小值 2（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点奎屯王新敞新疆 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、 f x在0xx处可导，那么0xx为 f x的一个极值点 00fx说明：前提条件： f x在0xx

4、处可导单向箭头：在可导的前提下，极值点导数0，但是导数0不能推出0xx为 f x的一个极值点，例如：3yx在0,0处导数值为 0，但0x 不是极值点上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：yx在0,0处不可导，但是0x 为函数的极小值点）5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令 0fx 求出 fx的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过 fx的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减极大值点，先减后增极小值点6、在综合题分析一个函数时，可

5、致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界3点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若 fx为奇函数，则当0xx是 fx的极大（极小）值点时，0xx 为 fx的极小（极大）值点（2）若 fx为偶函数，则当0xx是 fx的极大（极小）值点时，0xx 为 fx的极大（极小）值点（二）函数的最值问题（二）函数的最值问

6、题1、函数的最大值与最小值：（1）设函数 fx的定义域为D，若0xD，使得对xD ，均满足 0fxfx，那么称0xx为函数 fx的一个最大值点， 0fx称为函数 fx的最大值（2）设函数 fx的定义域为D，若0xD，使得对xD ，均满足 0fxfx，那么称0xx为函数 fx的一个最小值点， 0fx称为函数 fx的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如： ln ,1,4fxx x，由单调性可得 fx有最小值 10f，但由于x取不到 4，所以尽管函数值无限接近于ln4,但就是达不到. fx没有最大值.）（5）一个函数

7、其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如 sinfxx，其最大值点为22xkkZ，有无穷多个.2 “最值最值”与与“极值极值”的区别和联系的区别和联系如图为一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象图中)(1xf与3()f x是极小值，2()f x是极大值函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()f x4x3x2x1baxOy（1） “最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在

8、其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.奎屯王新敞新疆（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3、结论：一般地，在闭区间ba,上函数( )yf x的图像是一条连续不断的曲线，那么函数( )yf x在ba,上必有最大值与最小值4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：（

9、1）求)(xf在( , )a b内的极值；（2）将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值奎屯王新敞新疆6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础 7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如： ln1fxxx，可通过导数求出 min10fxf，由此可得到对于任意的0x ，均有5 m

10、in0fxfx，即不等式ln1xx.【经典例题经典例题】例 1【2017 课标 II，理 11】若2x 是函数21( )(1)xf xxaxe的极值点，则( )f x的极小值为（ ）A.1 B.32e C.35e D.1【答案】A【解析】例 2【2019 届湖北省黄冈、黄石等八市高三 3 月联考】已知函数（1）当时，求的极值；（2）若有两个不同的极值点 ，求 的取值范围;【答案】 （1）极小值（2）故在处有极小值； （2）依题意可得，有两个不同的实根.设，则有两个不同的实根,，若，则，此时为增函数，故至多有 1 个实根，不符合要求；若，则当时，当时，6故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值

11、为, 故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求. 综上所述： 的取值范围为.（分离变量的方法也可以）点睛：本题考查了函数极值点问题，利用导数知识对其求导，当遇到含有参量的时候可以采用分离参量的方法，也可以带着参量一起运算，分离参量后求出直线与曲线的交点问题即可，本题没有分离参量，进行的对参量的分类讨论，本题有一定难度 例 3【2019 届江苏省淮安市等四市高三上一模】已知函数当时，求函数的极值；若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数 的取值范围【答案】 （1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨

12、论，得到 的取值范围是试题解析：（1）函数的定义域为当时，所以 所以当时，当时，7所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以，代入得：设，则不妨设则当时，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时, 又当时因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同8又由得：所以单调递减，因此所以实数 的取值范围是例 4【2019 届福建省厦门市高三下第一次检查（3 月） 】已知函数，其中 为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数极值点的个数.【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析

13、.试题解析：（1）依题意，故原不等式可化为，因为，只要证.记，则.当时，单调递减；当时，单调递增.，即，原不等式成立.（2）.记（）当时，在 上单调递增，.存在唯一，且当时，；当.若，即时，对任意，此时在 上单调递增，无极值点；若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；9（）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.对任意.此时令，得；令，得.在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.此时令，得；令得.点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方

14、程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.例 5【2017 北京，理 19】已知函数( )e cosxf xxx（）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求函数( )f x在区间0,2上的最大值和最小值10【答案】()1y ；（）最大值 1；最小值2.【解析】所以函数( )f x在区间0,2上单调递减.因此( )f x在区间0,2上的最大值为(0)1f，最小值为( )22f .例 6【2019 届北京市人大附高

15、三十月月考】已知a是实数,函数 2f xxxa（）若 13,f 求a的值及曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程;（）求 f x在区间0,2上的最小值.【答案】(1) 0.a 320.xy (2)见解析.【解析】试题分析：（I）首先根据导数 13f 求a，再根据切线方程 111yffx求切线方程；（）首先求函数的极值点， 1220,3xxa ，比较2 3a 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值.试题解析：（） 232fxxax因为 1323,fa所以0.a 11当0a 时, 11,13,ff 所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为320.xy（）由（）可知, 232fxxax.令

16、0,fx解得1220,.3axx当20,3a即0,a f x在0,2上单调递增,从而 min00.ff当22,3a即3,a f x在0,2上单调递减,从而 min284 .ffa当202,3a即03,a f x在20,3a 上单调递减,在2,23a 上单调递增,从而3min24.327aaff 综上所述, 3min0,04,03 27 84 ,3aafaa a .例 7【2019 届北京市城六区高三一模】 已知函数(I)当时，求函数的单调递增区间；()当时，若函数的最大值为，求 的值.【答案】 （）（）.试题解析：（）当时，12故令，得故的单调递增区间为（）方法 1：令则由，故存在，故当时，；

17、当时，极大值故故，解得 故 的值为.（）方法 2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得， 等价于的最大值为 .，令，得.13极大值故的最大值为，即.例 8【2019 届北京市清华附中高三十月月考】已知 320f xaxbxcx a在1x 时取得极值,且 11f .（）试求常数a, b, c的值;（）求函数 f x在0,2x上的最大值.【答案】 （1）13,0,22abc （2）当1x 时, f x有极大值,当1x 时, f x有极小值.再由 11f ,所以1abc ,联立解得13,0,22abc ;（） 313 22f xxx, 233311222fxxx

18、x,当1x 或1x 时, 0fx,当11x 时, 0fx,所以,当1x 时, f x有极大值,当1x 时, f x有极小值.例 9【2019 届北京市首师大附高三十月月考】已知函数 322111.32f xxxxaxxaR14（）若1x 是 f x的极小值点,求实数a的取值范围及函数 f x的极值;（）当1a 时,求函数 f x在区间0,2上的最大值.【答案】 （1）1,a 极小值为 11126fa,极大值为 3211 62f aaa .（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数a的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值， （2）根据 a 与 2 大小讨论导函数零点，再列表

19、分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论.试题解析：解: 221111fxxxaxxxa （）若1x 是 f x的极小值,则1,a 列表分析如下:x,aa,1a11, fx00 f xA 3211 62f aaa A 11126faA所以最大值可能为 11126fa或 22;3f当513a时,最大值为 22;3f当523a时,最大值为 11126fa综上所述,当513a时,最大值为 22;3f当5 3a 时,最大值为 11126fa例 10【2019 届陕西省榆林市二模】已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数 的取值范围.15【答案】 （

20、1）；（2）.【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数 的取值范围.试题解析：列表：-0+极小值所以，函数的最小值为.（2），定义域为，.记，当时，在上单调递增，故在上至多有一个零点，此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；当时，令，可得，列表：+0-极大值16若，即，即，且当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，函数在处取极小值.由于，且 （事实上，令， ，故在上单调

21、递增，所以）.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.【精选精练精选精练】1.【2019 届安徽省安庆市 2019 届高三二模】已知函数 2lnxf xefexe（e 是自然对数的底数） ， 则17f（x）的极大值为（ ）A. 2e-1 B.

22、 1 eC. 1 D. 2ln2【答案】D【解析】 22111,efeefefxfefexeeee， 210,2fxxexe f x的极大值为 22ln222ln2fee，选 D.2 【2019 届福建省三明市第一中学高三下开学】函数在的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B【解析】，令 得，或，令得，所以在，单调递增，在单调递减， .本题选择 B 选项.3.【2019 届广东省茂名市五大联盟学校高三 3 月联考】已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D18由，可得 f(x）在区间，上单调递增；由，可得

23、f(x)在区间上单调递减，故 f(x)在 x=1 处取得极大值，所以若函数 f(x)在 x=1 处取得极大值，则实数 a 的取值范围是.本题选择 D 选项.【名师点睛】反思这类型题型，首先先利用导函数的解析式，判断得出极值点存在并且只有一个并得出极值点的范围.由于极值点与参数有关，因此就需要假设，假设后，再代进行化简消元最终求得参数的取值范围.4.【2019 届海南省高三第二次联考】若1x 是函数 lnxf xeax的极值点，则实数a _【答案】e【解析】因为 1ln +xxfxexeax（），且1x 是函数 lnxf xeax的极值点，所以 10fea，解得ae . 5 【2019 届北京市

24、北京 19 中高三十月月考】已知函数 yf x的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数 yf x在x _处取得极值.【答案】-119【点睛】本题考查函数的极值的判定.本题的易错点是将2看成一个极值点，要注意 00fx是可导函数 f x在0xx处取得极值的必要不充分条件，而本题中函数 f x在2x 附近单调递增.6 【2019 届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：；其中正确的命题是_.(填出所有正确命题的序号)【答案】【名师点睛】此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计

25、算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题.7【2019 届北京市清华附中高三十月月考】设函数 lnf xxa x（其中aR）.（）当1a 时,求函数 f x在1x 时的切线方程;（）求函数 f x的极值.【答案】 （1）1y （2）当0a 时,函数 f x无极值,当0a 时,函数 f x在xa处取得极小值lnaa a,无极大值.20【解析】试题分析： 1将1a 代入，算出1x 时的切线方程 2求导，讨论当0a 时、当0a 时的极值情况解析：（）定义域为0,1a

26、时, lnf xxx, 11fxx , 11101f , 11 ln11f ,所以切线方程为1y ;（） 1axafxxx ,定义域为0,当0a 时, 0fx,函数 f x在0,上为增函数,此时函数 f x无极值;当0a 时,令 0fx,解得xa,当0,xa时, 0fx,当,xa时, 0fx,所以函数 f x在xa处取得极小值,且极小值为 lnf aaa a,无极大值,综上,当0a 时,函数 f x无极值,当0a 时,函数 f x在xa处取得极小值lnaa a,无极大值.8 【2019 届北京市丰台区高三一模】已知函数 =eln1xf xaxaR.()求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程

27、；()若函数 yf x在1,12上有极值，求 a 的取值范围【答案】(1) eya x;(2) e,e2 .【解析】试题分析：（1）由题意 exafxx，因为 1efa， 1efa，利用点斜式方程即可求解切线的方程； （）由 exafxx，分0a 和0a 讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数a的取值范围21试题解析：（） exafxx（）当0a 时，对于任意1,12x，都有 0fx，所以函数 f x在1,12上为增函数，没有极值，不合题意 （）当0a 时，令 exag xx，则 2e0xagxx 9 【2019 届江西省上饶市高三下二模】设函数 22lnxekf xk xx

28、x（k为常数， 2.71828e 为自然对数的底数） （1）当0k 时，求函数 f x的单调区间；22（2）若函数 f x在0,3内存在三个极值点，求实数k的取值范围【答案】(1) f x的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,.（2）322 ,322eeee . 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对 k 进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数 f x在0,3内存在三个极值点的条件从而得到实数 k 的取值范围.试题解析：(1) 函数 f x的定义域为0,. 2423222xxxxekxx exekkfxxxxx. 由0,0k

29、x可得0xekx，所以当0,2x时， 0fx；当2,x时， 0fx. 故 f x的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,. （2）由（1）知，当0k 时，函数 f x在0,2内单调递减，在2,3内单调递增，故 f x在0,3内仅存在一个极值点2x ；当0k 时，令0x xeekxkx ， xeg xx，依题函数yk 与函数 xeg xx， 0,3x的图象有两个横坐标不等于 2 的交点. 21xexgxx，当0,1x时， 0gx，则 g x在0,1上单调递减， 当1,3x时， 0gx，则 g x在1,3上单调递增；23而 23 1,2,3.23eege gg和极大值点2x.综上，函数 f x在

30、0,3内存在三个极值点时，实数k的取值范围为322 ,322eeee . 【名师点睛】本题的难点在第（2）问，主要是对函数xyekx的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破.10 【2019 届北京市城六区高三一模】已知函数 1elnxf xaxx，其中aR（）若曲线 yf x在1x 处的切线与直线exy 垂直，求a的值；（）当0,ln2a时，证明： f x存在极小值【答案】 （）0a （）见解析.【解析】试题分析：() f x的导函数为 221elnxfxaxxx 依题意 1e1efa ，解得0a () 由 221elnxfxaxxx

31、令 221lng xaxxx， 223311220xxxgxxx恒成立，故 g x在0,单调递增因为0,ln2a， 110ga ， 11ln022ga，故存在01,12x，使得 00g x可得 f(x)在01,2x减，24令 221lng xaxxx，则 22331122xxxgxxx所以对任意0,x，有 0gx，故 g x在0,单调递增因为0,ln2a，所以 110ga ， 11ln022ga，故存在01,12x，使得 00g x f x与 fx在区间1,12上的情况如下：x01,2x0x0,1x fx0+ f x极小值所以 f x在区间01,2x上单调递减，在区间0,1x上单调递增所以 f

32、 x存在极小值 0f x11【2019 届北京师范大学附中高三下二模】已知函数，其中， 为自然对数底数（1）求函数的单调区间；25（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值【答案】 （1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）【解析】 【试题分析】(1)求导后令导数等于零,求得极值点后写出单调区间.(2)结合(1)求得函数的最小值,由此得到 的取值范围.再利用导数求得 的取值范围.【试题解析】（1）因为，因为，由得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）因为，由函数对任意都成立，得，因为，所以 所以，设，所以，即的最大值为，此时，【名师

33、点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.12 【2019 届新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数 1xf xeax（aR）.若0x 是 f x的极值点.26（I）求a,并求 f x在2,1上的最小值；（II）若不等式 1xkfxxe对任意0x 都成立，其中k为整数， fx为 f x的导函数，求k的最大值.【答案】 （I）1a ，最下值 2；(II）2.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先

34、根据0x 是 f x的极值点得到1a ， 再利用导数求函数的单调区间，求函数 f x在2,1上的最小值.(2)第（2）问，先分离参数得到1 1xxxeke，再求函数 1 1xxxeg xe（0x ）的最小值，即得到 k 的最大值.试题解析：（I） xfxea，由0x 是 f x的极值点，得 00f，1a .易知 f x在2,0上单调递减，在 0,1上单调递增，所有当0x 时， f x在2,1上取得最小值 2.（II）由（I）知1a ，此时 1xfxe， 111xxxkfxxek exe 0x ，10xe ，1 1xxxeke令 1 1xxxeg xe（0x ） ， minkg x 21xxxeexgxe（0x ）27【名师点睛】本题的难点在求出 21xxxeexgxe（0x ）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数 2xh xex，研究函数 h(x)的单调性和值域，从而研究出函数 g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果 ( )0x 不方便解出，一般要考虑二次求导.