理论力学-课件第8章.pptx

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1、第第 8 章章 质点运点运动微分方程微分方程本章内容本章内容本章内容本章内容 1 动力学引言力学引言 2 动力学的基本定律力学的基本定律 3 质点的运点的运动微分方程微分方程 4 质点点动力学的两力学的两类问题第一第一第一第一节节 动动力学引言力学引言力学引言力学引言动力学则对物体的机械运动进行全面的分析，它研究作用于物体上的力和物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。动力学研究的力学模型是质点和质点系。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。它是一般物体的抽象，当物体的几何形状和尺寸对所研究的问题影响很小时，就可以把该物体看成是质点。这样做不仅使问题简化，而且便于抓住问

2、题的本质。如果物体的几何形状和尺寸不可忽略，则物体应抽象为质点系。质点系是由有限个或无限个有联系的质点组成的系统。质点系包含极为广泛的物体及其组合。第二第二第二第二节节 动动力学的基本定律力学的基本定律力学的基本定律力学的基本定律第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或做匀速直线运动。不受力作用的质点，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变，这种性质称为惯性。第一定律阐述了物体做惯性运动的条件，故又称为惯性定律。第二定律（力与加速度之间的关系定律）质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同，即（8-1）式（8-1）是第二定律的

3、数学表达式，它是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。该式表明：图8-1（1）质点的加速度矢 与力矢 的方向相同，如图8-1所示。式（8-1）是矢量形式。其中，力应理解为作用于质点的合力，即（2）力与加速度的关系是瞬时的关系，即只要某瞬时有力作用于质点，则该瞬时质点必有确定的加速度。（3）如在某一段时间内，没有力作用于质点，则在这段时间内质点没有加速度，质点速度的大小和方向保持不变，质点在这段时间内做惯性运动，这与第一定律是相符合的。（4）对质量相等的质点，作用于质点的力大，则其加速度也大；如用大小相等的力作用在质量不同的质点上，则质量大的质点加速度小，质量小的

4、质点加速度大。这说明质点的质量越大，保持原来运动状态的能力越强，即质点的质量越大，质点的惯性也越大。因此，质量是质点惯性的度量。由上可知，物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，同时也与物体的惯性有关。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 表示。根据第二定律有（8-2）式中：P物体所受的重力；g物体所受的重力加速度。在国际单位制中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为m，kg和s；力的单位是导出单位。质量为1 kg的质点，获得 的加速度时，作用于该质点的力为一个国际单位，称为N，即在工程中常用工程单位制。在工程单位制中，长度、力和时间的单位是基本单位，分别取为m，kgf和

5、s，并把1 kg质量所受重力作为力的单位，即第三定律（作用力与反作用力定律）两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。第三第三第三第三节节 质质点的运点的运点的运点的运动动微分方程微分方程微分方程微分方程一、适量形式的一、适量形式的质点运点运动微分方程微分方程如图8-2所示，设有质点M，质量为m，作用于其上各力的合力为 ，矢径为 ，加速度为 。由运动学有（8-3）代入式（8-1），得（8-4）式（8-4）就是矢量形式的质点运动微分方程。通过式（8-4）可求作用于质点上的力F F，也可求质点矢量形式的运动方程 。图8-2二、直角坐二、直角坐标

6、形式的形式的质点运点运动微分方程微分方程将式（8-4）在直角坐标系Oxyz各轴上投影，得（8-5）由动运学有（8-6）式中，x，y，z是质点M在直角坐标系Oxyz中的坐标。将式（8-6）代入式（8-5），得（8-7）式（8-7）就是直角坐标形式的质点运动微分方程。三、自然形式的三、自然形式的质点运点运动微分方程微分方程将式（8-1）投影于自然轴系 ，n，b的各轴，得（8-8）式中，和 ，分别是质点M的加速度a和作用于质点M上各力的合力F在切线、主法线和副法线上的投影。由运动学有（8-9）将式（8-9）代入式（8-8），得（8-10）式（8-10）就是自然形式的质点运动微分方程。第四第四第四第四

7、节节 质质点点点点动动力学的两力学的两力学的两力学的两类问题类问题质点动力学的问题总的来讲可分成两类：第一类问题是已知质点的运动，求作用于质点上的力；第二类问题是已知作用于质点上的力，求质点的运动。一、一、质点点动力学第一力学第一类问题的典型例的典型例题例8-1重力为P P的质点M，在有阻尼的介质中铅垂降落，如图8-3所示。其运动方程为 ，常数。求介质对质点M的阻力，并表示为速度的函数。解（1）选取研究对象。选取质点M为研究对象。图8-3图8-3（2）画受力图。将质点M放在运动的一般位置上画出其受力图。质点在此位置上所受的力有重力P P和介质阻力 ，如图8-3所示。（3）选定坐标系。质点M做铅

8、垂直线运动，选轨迹直线为直角坐标轴Ox，并规定向下为正。（4）建立运动微分方程。质点M直角坐标形式的运动微分方程为式中，和 分别为P P，在Ox轴上的投影。如图8-3所示，有，于是运动微分方程可写为（5）求阻力 。由运动微分方程得根据质点M的运动方程，有于是有例8-2如图8-4所示，半径为R的偏心轮以匀角速度 绕O轴转动，推动导板AB沿铅垂滑道运动。已知偏心距 ，开始时OC沿水平线。若在导板顶部D处放有一质量为m的物块M。试求：（1）导板对物块的最大约束力及此时偏心C的位置。（2）欲使物块不离开导板，求角速度 的最大值。图8-4解（1）选物块M为研究对象，选坐标轴如图8-4（a）所示。（2）画

9、受力图，如图8-4（b）所示。为导板约束力，W W为M的自重。（a）（b）图8-4（3）分析运动。由图8-4（a）可知，M点的运动方程为（a）点的加速度应为（b）（4）列质点运动微分方程，求解。由式（8-7）得到（c）所以（d）当 ，即C点在最低位置时，约束力 便可达到最大值：由式（d）又可知，当 时，即C达到最高位置时，达到最小值：使物块M不离开导板的角速度最大值为例8-3已知单摆长为l，重为G G，做小幅角摆动的规律为 ，其中 为常量，如图8-5（a）所示。求单摆经过最高位置和最低位置时绳的拉力。图8-5（a）解（1）选质点M为研究对象。（2）分析力，画受力图，如图8-5（b）所示。作用于

10、M上的力有重力G G和绳的拉力 。图8-5（b），（3）分析运动，列质点运动微分方程，求解。质点M的运动微分为由于 ，因此有，代入运动微分方程，得第二个方程可用于求绳的拉力 ，由此方程解得当单摆处于最高位置时，于是有当单摆处于最低位置时，此时的 为当 时（最低位置），有于是有二、二、质点点动力学第二力学第二类问题的典型例的典型例题例8-4重力2000 N的帆船以速度1.5 m/s沿直线运动，如图8-6所示。在取下风帆后，船克服水的阻力而继续向前运动。设水的阻力 （其中，为船的速度，单位为m/s，的单位为N），问在多少时间内船的速度减小到原速度的四分之一，并求在这段时间内船航行的距离。图8-6解

11、（1）选帆船为研究对象。（2）受力分析，画受力图。船在铅垂方向的重力和浮力相平衡，故只需画出水平方向的阻力F F。（3）选固定坐标轴Ox，并建立运动微分方程。设船重为G G，则船的运动微分方程为式中，分别为阻力F F和船的速度 在轴Ox上的投影，于是有为了求出速度v与时间t的关系，可将 写为代入运动微分方程，得分离变量后写为根据已知条件，当 时，定积分可写为积分后得解得当 时，所经过的时间为为求出v与x的关系，将 写为代入运动微分方程，有或 时，于是有积分后得当 时，船的航行距离为例8-5弹性线系于A点，并穿过一固定光滑小环O，线的另一端系一质量为 的小球M，线未被拉长时的长度 ，每将线拉长一

12、个单位长度，需要加力 ，其中弹性线的刚度系数k为常数，今沿AB方向将线拉长，使其长度增加一倍，并给小球沿与AB垂直方向的初速度为 ，如图8-7所示。设小球重力不计，线的拉力与线的伸长成正比，小球在铅直面Oxy平面内运动。求小球的运动规律。图8-7解（1）选小球M为研究对象，建立直角坐标系Oxy，如图8-7所示。（2）分析力，画受力图。小球M的作用力F F（a）（3）分析运动。在弹性线恢复力F F的作用下，小球M将做曲线运动，其运动规律及运动轨迹将由小球M的运动微分方程来确定。（4）列运动微分方程，求解。设小球M在Oxy平面内的坐标为，则由式（8-5）可得小球的运动微分方程为（b）将式（a）代入

13、式（b），得或（c）式（c）的两个方程均为二阶常系数齐次线性微分方程，其通解为（d）运动开始时，小球M位于点B，其坐标为 ，则有（e）将式（d）对时间求导数，得（f）将初始条件式（e）代入式（f），可得（g）（h）（i）（j）联立求解式（g）式（j），可得再将积分常数代入式（d），可得小球M的运动方程为（k）（l）最后由式（k）、式（l）求得小球的轨迹方程为（m）例8-6在铅垂平面内，质量为m的质点M自O点抛出，其初速度为 ，方向角为 ，如图8-8所示。设空气阻力 的大小为mkv（k为常数），方向始终与质点M的速度 方向相反。求该质点M的运动方程。图8-8解（1）选质点M为研究对象，选取如图8-8所示的直角坐标系。（2）分析力，画受力图。代表空气阻力，且其大小和方向为（3）分析运动。在所选的坐标系下，当 时，有（a）（4）列质点运动微分方程，求解。由式（8-5）可得或（b）利用初始条件式（a），对式（b）中的两个表示式分别进行一次积分，得（c）（d）对式（c）、式（d）再积分一次，得（e）（f）式（e）、式（f）即为质点M的运动方程。从式（e）、式（f）中消去t，得其轨迹方程为Thank You!