备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题47 待定系数法——求曲线的方程.doc

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1、1专题专题 4747 待定系数法待定系数法-求曲线的方程求曲线的方程【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒

2、等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程.待定系数法中方程的形式： 直线：ykxm，xmyt 圆：220xyDxEyF；222xaybr. 椭圆：标准方程：222210xyabab（或222210yxabab，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：2210,0mxnymn(1)方程2222y+=1x ab与2222y+= ( 0)x ab 有相同的离心率(2)与椭圆2222+=1(ab0)xy ab共焦点的椭圆系方程为22 2 22+=1(ab0,0)xybkakbk

3、，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便 双曲线：(1)标准方程：222210,0xyabab（或222210,0yxabab，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：2210mxnymn(2) 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221xy ab渐近线相同的双曲线系方程为：222220xy ab 抛物线：标准方程：220ypx p等抛物线方程通式：2ymx，2xmy【经典例题经典例题】例 1. 一条光线从点2, 3射出，经y轴反射后与圆22321xy相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）5 3或3 5 （B）3 2 或2 3 （C）5 4或4 5 （D）4 3或3 4【答案】D例 2.设斜率为

4、2 的直线l过抛物线2yax 0a 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A. 若(OAF O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ）Ay24xBy28xCy24xDy28x【答案】D【解析】2yax的焦点是4aF （, 0），直线l的方程为2()4ayx，令0x 得, (0,)22aayA，所以由OAF的面积为4得，214,64,82 2 4a aaa ，故选D. x/k/w例 3.中心为原点，焦点在x轴上，离心率为2 2e ，且与直线2 3yx相切的椭圆的方程为（ ）A22 13216xy B22 163xy C22 184xy D22 1124xy【答案】C3【解析】因为椭圆的离心率2

5、2e ，所以22ac，所以21122 ab，2122 ab，则可设椭圆的方程为122222 by bx，与2 3yx联立，并化简得022438322bxx，因为直线与椭圆相切，所以0，即0)224(34)38(22b，解得42b，则82a，所以椭圆的方程为22 184xy例 4.【2019 届华大新高考联盟高三 1 月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线22 149xy 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为 （ ）A. 28xy B. 212xy C. 28yx D. 212yx【答案】A例 5.【2017 天津，文 5】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，点

6、A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形（O为原点） ，则双曲线的方程为（A）22 1412xy（B）22 1124xy（C）2 213xy（D）2 213yx 【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan603ccab b a ，解得：221,3ab，双曲线方程为：2 213yx ，本题选择 D 选项.例 6.【2019 届天津市部分区高三上学期期末】以点0,b为圆心的圆与直线21yx相切于点1,3，则4该圆的方程为_【答案】2 275 24xy答案： 2 275 24xy例 7.求经过点P(-2 3,1),Q( 3,-2)两点的椭圆标准方程.【答案】

7、22y+=1155x【解析】设椭圆方程为221mxny (0)0mnmn，且，点P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上，121 341mn mn ，解得11m=,n=.155故22y+=1155x为所求椭圆标准方程例 8.已知椭圆:C22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为1 2，经过点2F且倾斜角为45的直线l交椭圆于,A B两点5（1）若1ABF的周长为 16，求直线l的方程；（2）若24|7AB ，求椭圆C的方程【答案】 （1）2: xyl；（2）13422 yx【解析】试题分析：（1）1ABF的周长为16可得a的值，由离心率为1 2得c的值，得2F坐标

8、，代入直线的点斜式方程可得直线l的方程；（2）由离心率及cba,关系化简椭圆方程2221243cyx，联立椭圆及直线方程，整理关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得21,xx的值，代入弦长公式，建立等式，可得c的值，从而得椭圆的方程则cxx7821 2 2178cxx 且0 724 724 732 496424222 212 21 cccxxxxAB，6解得1 c，从而得所求椭圆 C 的方程为 13422 yx例 9.椭圆2222:10xyCabab的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为,A B，且5 2ABBF （1）求椭圆C的离心率 x/k*w （2）若斜率为2的直线l过点0,2，且l交椭圆

9、C于,P Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程【答案】（1）3 2；（2）2 214xy.【解析】（1）由椭圆方程可得：,0 ,0.,0A aBbF c 2222,ABabBFbca 5 2ABBF 2222255 24abaaba 2242abab 联立方程：2222244yxxyb ，消去y可得：2224 2240xxb，即：72217321640xxb 2121216432,1717bx xxx 212121212142222444417by yxxx xxx 22121216414401717bbx xy y，解得：1b 经检验：当1b ，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条

10、件椭圆方程为2 214xy 例 10.已知点F是椭圆C的右焦点，,A B是椭圆短轴的两个端点，且ABFA是正三角形（1）求椭圆C的离心率（2）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2 3，求椭圆C的标准方程【答案】（1）3 2；（2）22 1123xy.（2）由（1）可得椭圆的方程为：22244xyb，8设l与椭圆C的交点为1122,M x yN xy若l斜率不存在，可得弦长3MNb若l斜率存在，设: l ykxm，联立方程：2222 2224184044ykxmkxkmxmbxyb2212122248,1414mbkmxxx xkk 22222 121212114M

11、Nkxxkxxx x，整理可得： 22222 22216 1414kbmk bMN k 2 3a 椭圆方程为：22 1123xy【精选精练精选精练】1.【2019 届云南省昆明市第一中学高三第五次月考】直线l过点0,2且圆2220xyx相切，则直线的l的方程为（ ）A. 3480xy B. 3420xy9C. 3480xy或0x D. 3420xy或0x 【答案】C【解析】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，而圆心为1, 0，半径为1，所以221 1kd k ，解得3 4k ；当直线l的斜率不存在，即直线l为0x 时，直线l与圆2220xyx相切，所以直线l的方程为3480xy或0

12、x ，故选：C2.已知圆2222210xxymym ，当圆的面积最小时，直线yxb与圆相切，则b （ ）A1 B1 C2 D2【答案】C【解析】由题意可知：圆的标准方程为111222mmyx，所以当1m时圆的面积最小，此时圆的圆心为 1 , 1，半径为 1，又因为直线yxb与圆相切，所以212bbd. x.k.w 3.已知抛物线的焦点为 ，点 为 上一动点， ，且的最小值为，则等于（ ）A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B4.如图所示，已知椭圆方程为， 为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）10A. B. C. D. 【答案】C【解析】令椭圆的右端点为

13、点 ，根据对称性可知，那么，又根据椭圆的对称性可知，点关于 轴对称，设点 的横坐标是 ，代入椭圆方程，解得，即 ，因为，所以 ，即 ，可得 ，即 ，即，故选 C.5.【2019 届江西省南昌市高三第一次模拟】已知椭圆， 为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C联立方程：可得：，11则：，此时.本题选择 C 选项.6.【2019 届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆C与圆2210100xyxy相切于原点，且过点0, 6A，则圆C的标准方程为_【答案】223318xy【解析】设圆C的标准方程为222xaybr，其圆心为,C a b，

14、半径为(0)r r 2210100xyxy可化简为225550xy故答案为223318xy7.【2019 届内蒙古集宁第一中学高三上学期第二次月考】已知双曲线与椭圆22 1934xy的焦点相同,如果3 4yx是双曲线的一条渐近线,那么双曲线的方程为_.【答案】22 1916yx【解析】椭圆方程为22 1934xy，双曲线与椭圆22 1934xy的焦点相同12双曲线的焦点坐标为0, 5设双曲线方程为22221yx ab (0,0)ab，则 c=53 4yx是双曲线的一条渐近线3 4a b,222cab3a ， 4b 双曲线的方程为22 1916yx.故答案为22 1916yx8.在直角坐标系中，

15、O 为坐标原点，设直线l经过点)2, 3(P，且与x轴交于点 F（2，0） 。（I）求直线l的方程；（II）如果一个椭圆经过点 P，且以点 F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。【答案】 （1）).2(2xy.（2）181222 yx.【解析】 （I）由于直线l经过点)2, 3(P和 F（2，0） ，则根据两点式得，所求直线l的方程为.232020 xy139.【2019 届全国名校大联考高三第四次联考】 （1）求圆心在直线2yx 上，且与直线1yx 相切于点2, 1P的圆的方程；（2）求与圆22240xyxy外切于点2,4且半径为2 5的圆的方程.【答案】(1) 22122xy；(2) 22

16、4820xy.【解析】试题分析：(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为30xy，据此可得圆心1, 2C，半径2rCP，则所求圆的方程为22122xy.(2)圆的标准方程为22125xy，得该圆圆心为1,2，半径为5，两圆连心线斜率4222 1k.设所求圆心为, a b，结合弦长公式可得4a ， 8b .则圆的方程为224820xy.试题解析：（1）过点2, 1P且与直线1yx 垂直的直线为30xy，21 123 513aa，4a ，21213 5262bb，8b .224820xy.x.k+*w10.【2019 届广东省汕头市高三上学期期末】已知圆C的圆心在直线1yx上，且圆C经过曲线2

17、68yxx 与x轴的交点.14(1) 求圆C的方程；(2) 已知过坐标原点O的直线l与圆C交,M N两点，若2ONOM ，求直线l的方程.【答案】 （1）223)25xy（2）0y 或12 5yx.【解析】试题分析：（1）先求出曲线与x轴的交点为 2,04,0，再根据圆心在直线1yx，由待定系数法可求得圆的方解得2x 或4x ，所以曲线268yxx 与x轴的交点坐标为 2,04,0，设圆C的方程为222xaybr，依题意得 2222221 2 4baabrabr ，解得3 2 5a br ，所以圆C的方程为223)25xy（(2)解法一：由题意知直线l的斜率显然存在，故设直线l的斜率为k，则直

18、线l的方程为ykx由22 325ykxxy消去y整理得152216480kxk x，因为直线l与圆C交,M N两点，所以2226432 1162840kkkk 设1122,M x yN xy，则121222864,11kx xx xkk因为2ONOM ，所以212xx，所以22 112122264648,213 13 1kkxx xxkkk解得0k 或12 5k ，经检验得0k 或12 5k 满足0 ，所以直线l的方程为0y 或12 5yx.解法二：解得1 2m d 16所以圆心C到直线l的距离等于 2，设直线l的方程为ykx，即0kxy 所以 2322 1kd k ，解得0k 或12 5k

19、，所以直线l的方程为0y 或12 5yx.11.【2019 届山西省晋中市高三 1 月高考适应性调研】已知抛物线C： 22ypx（0p ）的焦点是椭圆M： 22221xy ab（0ab）的右焦点，且两曲线有公共点22 6 33 ，（1）求椭圆M的方程；（2）椭圆M的左、右顶点分别为1A， 2A，若过点4 0B，且斜率不为零的直线l与椭圆M交于P， Q两点，已知直线1AP与2A Q相较于点G，试判断点G是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) 22 143xy (2) 点G在定直线1x 上172222343264120kxk xk有两个不等的实根，利用韦达定

20、理转化条件即可.试题解析：（1）将22 6 33 ，代入抛物线2:2C ypx得2p 抛物线的焦点为1,0，则椭圆M中1c ，又点2 2 6,33 在椭圆M上，22221 424199abab， 解得224,3ab，椭圆M的方程为22 143xy（2）方法一当点P为椭圆的上顶点时，直线l的方程为344 30xy，此时点0, 3P， 8 3 3,55Q ，则直线 1:322 30A Plxy和直线 2:3 326 30A Qlxy，联立322 30 3 326 30xyxy，解得3 31,2G ，1824222324 4 3416316 9 140kkkk ， 2104k 设1122,P x y

21、Q xy，则212232 34kxxk， 21226412*34kxxk则直线 111:22A Pylyxx与直线 222:22A Qylyxx联立两直线方程得12122222yyxxxx（其中x为G点横坐标）将1x 代入上述方程中可得12123 22yy xx，即122134242k xxk xx ，即证1212410160x xxx将 *代入上式可得22224641210 32163434kk kk222216 1632034034kkkk ，此式成立点G在定直线1x 上.方法二22 121212212 1 4434kxxxxx xk，19由1A， P， G三点共线，有： 311322yy

22、 xx由2A， Q， G三点共线，有： 323222yy xx上两式相比得 212133121224222242yxk xxxxyxk xx 12122112121238338x xxxxxx xxxxx ，解得31x 点G在定直线1x 上12.【2019 届广东省深圳市高三第一次调研】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为1 2，直线:24l xy与椭圆有且只有一个交点T.(1)求椭圆C的方程和点T的坐标；(2) O为坐标原点，与OT平行的直线 l与椭圆C交于不同的两点A， B，求OABA的面积最大时直线 l的方程.【答案】 （1）椭圆C的方程为2222413xy aa，点T的坐

23、标为31,2；（2）362yx或362yx.【解析】试题分析：(1) 根据椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为1 2，直线:24l xy与椭圆有且20试题解析：(1)由1 2c a，得223 4b a，故223 4ba.则椭圆C的方程为2222413xy aa.由222224 413xyxy aa，消去x，得2216161603yya.由0 ，得24a .故椭圆C的方程为22 143xy.由22124 124120tt ，得212t ，2222 1212993131414444343ttABxxx xt.设原点到直线 l的距离为d.则13 4td .21所以24 2111314422432313 4OABtttSd ABtA.所以当2612t 时，即6t 时， OABA的面积最大.所以直线 l的方程为362yx或362yx.点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系 数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程222210xyabab或22221xy ba 0ab；找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为 所求.