g习题课定积分的应用.pptx

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1、会计学1g习题课定积分习题课定积分(jfn)的应用的应用PPT课件课件第一页，共39页。一.基本要求：1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学(l xu)及应用中的某些问题。二.重点、难点与例子（共11例）.1.几何应用方面：(1)求面积 (2)求体积 (3)求弧长 (4)求侧面积 2.物理应用方面：(1)求平行力作功 (2)求压力 3.定积分其他应用:(1)求函数平均值 (2)实际问题三.课堂练习(共7题)四.综合题(共3题)综合题解答 第六部分第六部分第六部分第六部分(

2、b fen)(b fen)(b fen)(b fen)定积分的应定积分的应定积分的应定积分的应用用用用第1页/共39页第二页，共39页。一一一一.基本基本基本基本(jbn)(jbn)要求要求要求要求(1)因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成(z chn)，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。(2)由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。(3)利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数

3、已知）求弧长的问题。一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。(4)通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。1.定积分的几何(j h)应用第2页/共39页第三页，共39页。2.2.元素元素元素元素(yun s)(yun s)法法法法(1)怎样(znyng)的量 U 可以用定积分计算？1o 量 U 与给定(i dn)区间a,b有关；2o 量 U 对区间a,b具有可加性.(2)计算步骤：1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a,b；2o x a,b,求小区间x,x+dx上的部分量 dU;称 dU=f(x)dx为元

4、素.(3)计算中的关键和难点：找到 f(x).f(x)的表示式与选择的坐标系有关。3o第3页/共39页第四页，共39页。S.(1)(1)求面积求面积求面积求面积(min j)(min j)Scd直角坐标(zh jio zu bio)系极坐标系边界(binji)函数图形面积公式y=f(x)x=(y)=()Sabx=a,x=b,y=0y=c,y=d,x=0 =,=二.重点、难点与例子.1.几何应用方面第4页/共39页第五页，共39页。例例例例 1.1.解：3yx013先画图(hu t).S1S22.需分块儿(kuir)！1第5页/共39页第六页，共39页。例例例例 2 2210 xy解：先画图(h

5、u t).用极坐标：.r=4 cos.还有别的方法(fngf)吗？方法(fngf)I.第6页/共39页第七页，共39页。例例例例 210 xy解：方法(fngf)II.用初等(chdng)方法求图示部分：.2第7页/共39页第八页，共39页。例例例例 3 3解：0 xyaaaa.第8页/共39页第九页，共39页。(2)(2)求体积求体积求体积求体积(t(t j)j)1o 已知平行(pngxng)截面面积为A(x)的立体体积2o 绕 x 轴旋转(xunzhun)的旋转(xunzhun)体体积xA(x)xba 曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴xf(x)bxa.第9页/共3

6、9页第十页，共39页。yx03o 绕 y 轴旋转(xunzhun)的旋转(xunzhun)体体积yx0 x=g(y)cd.4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转(xunzhun)的旋转(xunzhun)体体积曲边梯形(txng)y=f(x),x=a,x=b,y=0 绕 y 轴.af(x).如下例：b第10页/共39页第十一页，共39页。2a例例例例4 4 4 4：用柱壳法求旋转体体积：用柱壳法求旋转体体积：用柱壳法求旋转体体积：用柱壳法求旋转体体积(tj).(tj).(tj).(tj).yx0a解：由柱壳法的公式(gngsh)：.分块儿(kuir)求,怎么分？S1S21显然柱壳法简便。第11页/共39

7、页第十二页，共39页。ab y=f(x)()().(3)(3)求弧长求弧长求弧长求弧长.xy0(t)(t)0(a b)()()第12页/共39页第十三页，共39页。例例例例 5 5解：先作图.图形(txng)关于 y 轴对称.0 xy11CBA得A(1,1),B(1,1).第13页/共39页第十四页，共39页。例例例例 6 6解：.第14页/共39页第十五页，共39页。曲线(qxin)y=f(x)绕 x 轴旋转,.(4)(4)求旋转体侧面积求旋转体侧面积求旋转体侧面积求旋转体侧面积(min(min j)A.j)A.曲线(qxin)绕 y 轴旋转有类似的结果。第15页/共39页第十六页，共39页

8、。bbax0y解：曲线(qxin)用极坐标：例例例例 7 7由已知公式(gngsh)：.第16页/共39页第十七页，共39页。平行力：指大小变而方向(fngxing)不变的力。一般变力（大小、方向(fngxing)都变）的作功问题用第二型曲线积分解决。2.2.物理应用物理应用物理应用物理应用(yngyng)(yngyng)方面方面方面方面xF(x)a b0.一般情况下，力函数F(x)需要(xyo)自己寻找。如下例：第17页/共39页第十八页，共39页。解法(ji f)I：选择(xunz)图示坐标系.例例例例8.8.xy2米10 xx+dx上所消耗(xioho)的功近似地为：=9.8=9.8W=

9、9.8.将这薄层水抽到地面第18页/共39页第十九页，共39页。解法(ji f)II：选择(xunz)图示坐标系.例例例例8 8.yx2米10yy+dy将这薄层水抽到地面(dmin)上所消耗的功近似地为：=9.8=9.8W=9.8第19页/共39页第二十页，共39页。解法(ji f)III：选择(xunz)图示坐标系.yx2米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗(xioho)的功近似地为：显然，选择方法 I和方法 II的坐标系计算功比用方法 III简便一些.例8=9.8=9.8W=9.8第20页/共39页第二十一页，共39页。(2)(2)求压力求压力求压力求压力(yl)(yl)比如，求水对

10、闸门(zhmn)的压力。压力在不同深度是不同的。水对闸门(zhmn)的总压力等于闸门(zhmn)在不同深度处所受压力之总和。因此，可以用定积分求压力。那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？由物理学中“帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一块面积所受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压力，即此块水平面积上承受的液体重量。看下例：第21页/共39页第二十二页，共39页。例例例例 9 9解：选择(xunz)图示坐标系.xoyahx+dxx先求这一薄层(bo cn)的长 b:b这一薄层(bo cn)的面积约为:所以这一薄层受的水压力约为:.第22页/

11、共39页第二十三页，共39页。abf(x)3.3.定积分定积分定积分定积分(jfn)(jfn)其他应用：其他应用：其他应用：其他应用：.解：.第23页/共39页第二十四页，共39页。解：.(2)(2)需要需要需要需要(xyo)(xyo)用元素法解决的实用元素法解决的实用元素法解决的实用元素法解决的实际问题际问题际问题际问题2r0dr第24页/共39页第二十五页，共39页。三三三三.课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习第25页/共39页第二十六页，共39页。5.5.第26页/共39页第二十七页，共39页。四四四四.综合综合综合综合(zngh)(zngh)练习题练习题练习题练习题f(x)abB(h)A

12、(h)f(h)h0yxxy011a第27页/共39页第二十八页，共39页。谢 谢 使 用返回(fnhu)首页.第28页/共39页第二十九页，共39页。三三三三.课堂练习解答课堂练习解答课堂练习解答课堂练习解答(jid)(jid)=4解：第29页/共39页第三十页，共39页。2.2.1221xy0解：第30页/共39页第三十一页，共39页。曲线(qxin)有渐近线：y=0.=23.3.解：xy0由对称性第31页/共39页第三十二页，共39页。.4.4.解：这是一条(y tio)双曲螺线.由弧长公式(gngsh).第32页/共39页第三十三页，共39页。xy0.5.5.解：121x把 x 坐标轴平

13、移(pn y)至 y=1处.第33页/共39页第三十四页，共39页。体积(tj)：.xyoy=2xy=x6.6.解：第34页/共39页第三十五页，共39页。7.7.解：由极坐标和直角坐标(zh jio zu bio)的关系：.第35页/共39页第三十六页，共39页。xy011a综合综合综合综合(zngh)(zngh)练习题解练习题解练习题解练习题解答答答答 1.1.解：.第36页/共39页第三十七页，共39页。ba2.2.f(x)要证曲边梯形面积(min j)不超过梯形面积(min j)。第37页/共39页第三十八页，共39页。f(x)abB(h)A(h)f(h)3.3.h0yx第38页/共39页第三十九页，共39页。