132杨辉三角与二项式系数的性质.pptx

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1、会计学1132杨辉三角与二项式系数杨辉三角与二项式系数(xsh)的性质的性质第一页，共19页。温故而知新温故而知新1.(a+b)n的二项展开式的二项展开式 是是_.2.通项公式通项公式(gngsh)是是 _.T Tr+1r+1=第1页/共19页第二页，共19页。5.计算计算(j sun)：（1）（2）第2页/共19页第三页，共19页。一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些二项展开式中的二项式系数指的是那些(nxi)？共有多少个？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么下面我们来研究二项式系数有些什么(shn me)性

2、性质？我们先通过杨辉三角观察质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式为特殊值时，二项式系数有什么系数有什么(shn me)特点？特点？第3页/共19页第四页，共19页。1 1“杨辉三角杨辉三角杨辉三角杨辉三角”的来历的来历的来历的来历(lil)(lil)及规及规及规及规律律律律 杨辉三角杨辉三角杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 第4页/共19页第五页，共19页。二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的

3、的的的性质性质性质性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点第5页/共19页第六页，共19页。二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的性质的性质的性质的性质2 2二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的性质的性质的性质的性质 （1）对称性）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数(xsh)相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴图象的对

4、称轴：第6页/共19页第七页，共19页。二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的的的的性质性质性质性质（2）增减）增减(zn jin)性与最大值性与最大值 由于由于(yuy)(yuy)：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 第7页/共19页第八页，共19页。二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的性质的性质的性质的性质（2）增减）增减(zn jin)性与最大值性与最大值 由由：二项式系数(xsh)是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。可知，当可知，当 时，时，第8页/共19页第九页，共19页。二

5、项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的的的的性质性质性质性质（2）增减）增减(zn jin)性与最大值性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。第9页/共19页第十页，共19页。（3）各二项式系）各二项式系数数(xsh)的和的和 二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)的性质的性质的性质的性质在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的

6、展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：这是组合总数这是组合总数(zngsh)(zngsh)公式公式 第10页/共19页第十一页，共19页。一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数(xsh)(xsh)有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，第11页/共19页第十二页，共19页。课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那么，那么(n me)=；2）的展开式中，二项式系数的最大的展开式中，二项式系数的最大值是值是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十的展开式中

7、的第十项和第十一项的二项式系数最大，则一项的二项式系数最大，则n=；第12页/共19页第十三页，共19页。例例1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和二项式系数的和第13页/共19页第十四页，共19页。例例2、已知、已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7=_(3)a0+a2+a4+a6=_赋值法赋值法练习练习(linx):(4)若已知若已知 (1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a200(x-1)200求求a1

8、+a3+a5+a7+a199的值。的值。第14页/共19页第十五页，共19页。例例3：的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数项的系数(xsh)相等，求展开式中二项式系数相等，求展开式中二项式系数(xsh)最大的项和最大的项和系数系数(xsh)最大的项。最大的项。变式引申：变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项2、若、若 展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于()A.210 B.120 C.461 D.416第15页/共19页

9、第十六页，共19页。例例4、若、若 展开式中前三项系数展开式中前三项系数(xsh)成等成等差差 数列，求（数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中所有）展开式中所有x 的有理项；的有理项；（3）展开式中系数）展开式中系数(xsh)最大的项。最大的项。第16页/共19页第十七页，共19页。1、已知、已知 的展开式中的展开式中x3的系的系数数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_ 2、在、在(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数的系数(xsh)是（是（）A.-297 B.-252 C.297 D.2073、(x+y+z)9中含中含x4y2

10、z3的项的系数的项的系数(xsh)是是_课堂练习课堂练习4.4.已知已知(1+(1+)n)n展开式中含展开式中含x-2x-2的项的系数的项的系数(xsh)(xsh)为为1212，求，求n.n.5.5.已知（已知（10+xlgx10+xlgx）5 5的展开式中第的展开式中第4 4项为项为106106，求，求x x的的值值.第17页/共19页第十八页，共19页。二项展开式中的二项式系数(xsh)都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数(xsh)”与“二项式系数(xsh)”的区别，不能混淆，只有二项式系数(xsh)最大的才是中间项，而系数(xsh)最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数(xsh)的问题的重要手段。小结小结小结小结(xi(xioji)oji)第18页/共19页第十九页，共19页。