高等数学多元函数微分法及其应用精选文档.ppt

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1、高等数学多元函数微高等数学多元函数微分法及其应用分法及其应用1本讲稿第一页，共四十二页第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2本讲稿第二页，共四十二页一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)3本讲稿第三页，共四十二页说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为在空间中在空间中,(球邻域球邻域)4本讲稿第四页，共四十二页在

2、讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为。因为方邻域与圆因为方邻域与圆 邻域可以互相包含邻域可以互相包含.5本讲稿第五页，共四十二页2.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若若存在存在点点 P 的的某邻域某邻域 U(P)E,若若存在存在点点 P 的的某邻域某邻域 U(P)E=,若对点若对点 P 的的任一邻域任一邻域 U(P)既既含含 E中的内点中的内点也也 含含 E的外点的外点,则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;则称则称 P 为为 E 的的边界点边

3、界点 .显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于的边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.6本讲稿第六页，共四十二页(2)聚点聚点若对若对任意任意给定的给定的 ,点点P 的的去心去心邻域邻域内内总有总有E 中的点中的点,则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.3.聚点可以属于聚点可以属于 E,也可以不属于也可以不属于 E(因为聚点可以为因为聚点可以为 E E 的边界点的边界点)1.内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：2.边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；7本讲稿第七页，共四十二页D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域

4、 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连,则称则称 D 是是连通连通的的;开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;。E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;9本讲稿第九页，共四十二页例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域10本讲稿第十页，共四十二页 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是

5、开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域也是最大的闭域；但非区域但非区域.o11本讲稿第十一页，共四十二页有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，12本讲稿第十二页，共四十二页3.n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中称为空间中称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标.记作记作即即的一个的一个点点,当所有坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作 O.13本讲稿第十三页，共四十二页的距离距离记作中点中点 a 的的 邻域邻域为为规定为规定为 与零元 O 的距

6、离为14本讲稿第十四页，共四十二页二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式15本讲稿第十五页，共四十二页二元函数的定义二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数16本讲稿第十六页，共四十二页二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）18本讲稿第十八页，共四十二页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.19本讲稿第十九页，共四十二页例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:20本讲稿第二十页，共四十二页例例1 1 求求 的定义

7、域的定义域解解所求定义域为所求定义域为21本讲稿第二十一页，共四十二页例例2 2 求求 的定义域的定义域解：要使函数有意义，必须解：要使函数有意义，必须即即定义域定义域22本讲稿第二十二页，共四十二页定义定义2.设设 n 元函数元函数则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n=2 时时,记记P0 是是 D 的聚点的聚点若存在常数若存在常数 A,使得使得:记作记作都有都有三、多元函数的极限三、多元函数的极限23本讲稿第二十三页，共四十二页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二

8、元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似24本讲稿第二十四页，共四十二页仅知其中一个存在仅知其中一个存在,推不出其它二者存在推不出其它二者存在.(4)二重极限二重极限不同不同.如果它们都存在如果它们都存在,则三者相等则三者相等.例如例如,显然显然与累次极限与累次极限由后由后例例6 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在.25本讲稿第二十五页，共四十二页例例3 3 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立26本讲稿第二十六页，共四十二页例例4 4 求极限求极限 当当 时，时，所以所以解解27本讲稿第二十七页，共四十二页例例5 5 求极限求极

9、限 解解其中其中28本讲稿第二十八页，共四十二页趋于不同值或有的极限不存在趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),在点在点(0,0)没有极限没有极限.则可以断定函数则可以断定函数则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.若当点若当点以不同方式趋于以不同方式趋于极限不存在极限不存在.例6.证明函数证明函数函数函数29本讲稿第二十九页，共四十二页例例7 7 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在30本讲稿第三十页，共四十二页四、多元函数的

10、连续性四、多元函数的连续性定义定义3.设设 n 元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上连续上连续.如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 n 元函数元函数连续连续,32本讲稿第三十二页，共四十二页例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周33本讲稿第三十三页，共四十二页例例9 9 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解：解：由前面的讨论可知由前面的讨论可知，所

11、以该函数在原点连续。所以该函数在原点连续。34本讲稿第三十四页，共四十二页多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.35本讲稿第三十五页，共四十二页解解:原式例11.求求36本讲稿第三十六页，共四十二页定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域

12、 D 上连续上连续,则则在在 D 上至少可取得最大值上至少可取得最大值 M 及最小值及最小值 m 一次一次;(3)对任意对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两上取得两个不同的函数值，则它在个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任上取得介于这两值之间的任何值至少一次何值至少一次37本讲稿第三十七页，共四十二页思考题思考题38本讲稿第三十八页，共四十二页思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取39本讲稿第三十九页，共四十二页 作业作业P11 5(2),(4),(6);6 (2),(3),(5),(6);7.40本讲稿第四十页，共四十二页