高等数学格林公式精选文档.ppt

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1、高等数学格林公式本讲稿第一页，共三十四页区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、格林公式格林公式本讲稿第二页，共三十四页证明证明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且则定理1 本讲稿第三页，共三十四页即同理可证、两式相加得:定理1 本讲稿第四页，共三十四页2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1 本讲稿第五页，共三十四页推论推论:正向闭曲

2、线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积定理1 本讲稿第六页，共三十四页例例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证证:令则利用格林公式,得本讲稿第七页，共三十四页例例2.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则利用格林公式,有本讲稿第八页，共三十四页例例3.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令设 L 所围区域为D,由格林公式知本讲稿第九页，共三十四页在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得本讲稿第十页，共三十四页二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、

3、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 本讲稿第十一页，共三十四页(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明证明(1)(2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)定理2 本讲稿第十二页，共三十四页(2)对D

4、 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)与路径无关,只与起止点有关.在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数 定理2 本讲稿第十三页，共三十四页(4)在 D 内每一点都有(3)在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得则P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 本讲稿第十四页，共三十四页证明证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式格林公式,得所围区域为证毕(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(4)在 D 内每一点都

5、有定理2 本讲稿第十五页，共三十四页说明说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2 本讲稿第十六页，共三十四页4)若已知 d u=P dx+Q dy,则对D内任一分段光滑曲定理2 线 AB,有注注:此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P211定理4).它类似于微积分基本公式:本讲稿第十七页，共三十四页例例4.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式

6、,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则本讲稿第十八页，共三十四页例例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使本讲稿第十九页，共三十四页例例6.验证在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令则由定理定理 2 可知存在原函数本讲稿第二十页，共三十四页或本讲稿第二十一页，共三十四页例例7.设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.本讲稿第二十二页，共三十四页思考思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!内容小结

7、转内容小结本讲稿第二十三页，共三十四页判别判别:P,Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程 则求解步骤求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1.求原函数 u(x,y)2.由 d u=0 知通解为 u(x,y)=C.*三、全微分方程三、全微分方程则称为全微分方程.本讲稿第二十四页，共三十四页例例8.求解解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法法1本讲稿第二十五页，共三十四页法法2 此全微分方程的通解为,则有两边对 y 求导得由得与比较得因此方程的通解为本讲稿第二十六页，共三十四页例例9.求解解解:这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故

8、原方程的通解为或本讲稿第二十七页，共三十四页思考思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成例9 的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数 积分因子.本讲稿第二十八页，共三十四页内容小结内容小结1.格林公式2.等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有为全微分方程本讲稿第二十九页，共三十四页思考与练习思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示提示:本讲稿第三十页，共三十四页2.设提示提示:作业作业P212 2

9、(1);3;4(3);5(1),(4)；6(2),(5);*8(2),(4),(7);9第四节 本讲稿第三十一页，共三十四页 备用题备用题 1.设 C 为沿从点依逆时针的半圆,计算解解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点本讲稿第三十二页，共三十四页2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解解:由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功.(1990 考研)F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,本讲稿第三十三页，共三十四页3.已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解解:因积分与路径无关,故有即因此有本讲稿第三十四页，共三十四页