数学归纳法及应用精品文稿.ppt

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1、数学归纳法及应用第1页，本讲稿共63页【学习目标】【学习目标】了了解解数数学学归归纳纳法法的的原原理理，能能用用数数学学归归纳纳法法证证明明一一些些简简单单的的数数学学命命题题进进一一步步体体会会归归纳纳、猜猜想想、证证明明的的意义，提升归纳推理、抽象概括的能力意义，提升归纳推理、抽象概括的能力第2页，本讲稿共63页【基础检测】【基础检测】C 第3页，本讲稿共63页C 第4页，本讲稿共63页B 第5页，本讲稿共63页第6页，本讲稿共63页D 第7页，本讲稿共63页第8页，本讲稿共63页特殊事例特殊事例 一般性一般性结论结论 数学数学归纳归纳法法 第9页，本讲稿共63页第一个第一个值值n0 nk

2、 nk1 n0 第10页，本讲稿共63页假假设设 时结论时结论成成立，立，推得推得 时结论时结论亦成立亦成立验证验证 时结时结论成立论成立nk(kn0且且kN*)nk1n=n0归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推从而命题对从从而命题对从 开始的所有开始的所有n都成立都成立n02用框图表示数学归纳法的步骤用框图表示数学归纳法的步骤第11页，本讲稿共63页第12页，本讲稿共63页第13页，本讲稿共63页第14页，本讲稿共63页【点评】【点评】本题是探索性问题通过特殊情况进行探本题是探索性问题通过特殊情况进行探索，再对一般情况用数学归纳法证明，特殊到一索，再对一般情况用数学归纳法证明，特殊到一般是一种重

3、要的数学思想方法，它常与数学归纳般是一种重要的数学思想方法，它常与数学归纳法相伴，从而走到完美，用数学归纳法证整除性法相伴，从而走到完美，用数学归纳法证整除性问题时，首先要从要证的式子中拼凑出能利用归问题时，首先要从要证的式子中拼凑出能利用归纳假设的式子，然后证明剩余式子也能被该数纳假设的式子，然后证明剩余式子也能被该数(或或式式)整除，拼凑是关键整除，拼凑是关键第15页，本讲稿共63页第16页，本讲稿共63页第17页，本讲稿共63页第18页，本讲稿共63页【点评】【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律；等式式命题

4、，关键在于弄清等式两边的构成规律；等式的两边各有多少项，由的两边各有多少项，由nk到到nk1时，等式的时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中等式中nk和和nk1时之间的联系时之间的联系第19页，本讲稿共63页第20页，本讲稿共63页第21页，本讲稿共63页第22页，本讲稿共63页【点评】【点评】用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小证明；二是给出两个式子，按要求比

5、较它们的大小对第二类形式往往要先对对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明开始都成立的结论，再用数学归纳法证明第23页，本讲稿共63页第24页，本讲稿共63页第25页，本讲稿共63页第26页，本讲稿共63页【点评】【点评】已知数列递推关系，但求不出通项时，往已知数列递推关系，但求不出通项时，往往可把往可把an1看成看成an的函数，由的函数，由an的范围可确定的范围可确定an1的的范围，从而可用数学归纳法范围，从而可用数学归纳法第27页，本讲稿共6

6、3页第28页，本讲稿共63页第29页，本讲稿共63页第30页，本讲稿共63页第31页，本讲稿共63页第32页，本讲稿共63页【点评】【点评】近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法证明与自然数集有关的命题，而且加强了对于不完法证明与自然数集有关的命题，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求证明结论的正确性，因此有必要培养并提升证明结论的正确性，因此有必要培养并提升“观察观察归纳归纳猜想猜想证明证明”的思维模式和能力的思维模式和能力第33页，本讲稿共63页1数数学学归归纳纳法法是是专专门

7、门证证明明与与正正整整数数集集有有关关的的命命题题的的一一种种方方法法它它是是一一种种完完全全归归纳纳法法，是是对对不不完全完全归纳归纳法的完善法的完善2证证明明代代数数恒恒等等式式的的关关键键是是：第第二二步步将将式式子子转转化化成成与与归归纳纳假假设设的的结结构构相相同同的的形形式式凑凑假假设设，然然后后利利用用归归纳纳假假设设，经经过过恒恒等等变变形形，得得到到结结论论所需要的形式所需要的形式凑凑结论结论第34页，本讲稿共63页3用用数数学学归归纳纳法法证证明明不不等等式式的的关关键键是是：第第二二步步利利用用证证明明不不等等式式的的方方法法(如如放放缩缩)把把式式子子化化为为nk1成立

8、成立时时的式子的式子4用数学用数学归纳归纳法法证证明几何明几何问题时问题时，要注意，要注意结结合合几何几何图图形的性形的性质质，在求由，在求由“nk到到nk1”增加增加的元素个数的元素个数时时，可以先用不完全，可以先用不完全归纳归纳法找其法找其变变化化规规律律 第35页，本讲稿共63页5由有限个特殊事例由有限个特殊事例进进行行归纳归纳、猜想，而得出一般性、猜想，而得出一般性结论结论，然后加以，然后加以证证明是科学研究的重要思想方法，研明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学究与正整数有关的数学问题问题，此方法尤，此方法尤为为重要，如猜重要，如猜想数列的通想数列的通项项an或前或前n项

9、项和和Sn，解决与自然数有关的探，解决与自然数有关的探索性、开放性索性、开放性问题问题等等这这里猜想必里猜想必须须准确，准确，证证明必明必须须正确既用到合情推理，又用到演正确既用到合情推理，又用到演绎绎推理猜想的准推理猜想的准确与否可用确与否可用证证明来明来检验检验，否，否则则不妨再分析，再猜想，不妨再分析，再猜想，再再证证明，猜想是明，猜想是证证明的前提，明的前提，证证明可明可论证论证猜想的可靠猜想的可靠性，二者相性，二者相辅辅相成相成第36页，本讲稿共63页第37页，本讲稿共63页第38页，本讲稿共63页第39页，本讲稿共63页第40页，本讲稿共63页第41页，本讲稿共63页第42页，本讲稿共63页第43页，本讲稿共63页第44页，本讲稿共63页第45页，本讲稿共63页D 第46页，本讲稿共63页C 第47页，本讲稿共63页第48页，本讲稿共63页(1,2)(3,403)第49页，本讲稿共63页第50页，本讲稿共63页第51页，本讲稿共63页第52页，本讲稿共63页第53页，本讲稿共63页第54页，本讲稿共63页第55页，本讲稿共63页第56页，本讲稿共63页第57页，本讲稿共63页第58页，本讲稿共63页第59页，本讲稿共63页第60页，本讲稿共63页第61页，本讲稿共63页第62页，本讲稿共63页第63页，本讲稿共63页