数学精神与方法第三讲精品文稿.ppt

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1、数学精神与方法第三讲第1页，本讲稿共20页ZFC-系统的非逻辑公理非逻辑公理（ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。（外延公理）（ZF2）没有元素的集合存在。（空集公理）（ZF3）给出任何集合x和y，总存在着集合z，它的元素是x和y。（配对公理）（ZF4）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的元素的元素为元素。（并集公理）（ZF5）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的一切子集为元素。（幂集公理）（ZF6）若对于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得u=v|存在wz，使得A(w,v)成立。（替换公理模式）第2页，本讲稿共20页

2、ZFC-系统的非逻辑公理（续）非逻辑公理（续）（ZF7）存在一个集合x，它含有无穷多个元素。（无穷公理）（ZF8）每个非空集合x含有一个元素y，y作为集合与x无公共元素。（基础公理）（AC）对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与x的每个成员恰有一个公共元素。（选择公理）第3页，本讲稿共20页关于关于ZF-系统的非逻辑公理的评注系统的非逻辑公理的评注公理（ZF1）（ZF8）和（AC）的建立归功于策墨罗和弗伦克尔，但所谓ZF-系统却是指非逻辑公理只取（ZF1）（ZF8）的形式集合论系统。公理（ZF2）断言了空集的存在。可以证明空集是唯一的，记之为。公理（ZF3）断言：对任何

3、集合x和y，存在一个集合 x,y。注意 x,y 是由x和y所唯一确定的，但x和y间没有次序问题，这就是说，x,y =y,x。有了此等无序对的概念，我们可以定义单元集和序偶的概念如下：x =x,x，（x,y）=x,x,y 。需指出：表述（ZF6）需要利用序偶的概念。第4页，本讲稿共20页在（ZF6）中，命A(x,y)代表 A(x)(x=y)，则可推出策墨罗的有限抽象原则策墨罗的有限抽象原则：对任一给定的谓词公式A(x)和任何集合z，存在集合u使得u=vz|A(v)。（ZF2）和（ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空集和自然数集N存在。这两条公理两条公理实难作作

4、为逻辑公理看待，它公理看待，它们是干脆的数学公理。是干脆的数学公理。因此，将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标数学化为逻辑，成为逻辑的一部分不可能实现。第5页，本讲稿共20页如果在ZF系统中不引入无穷公理（ZF7），那么我们得到的是一个有限数学的框架，也就是说，我们处理的数学对象只能限于有限集合。在这样的框架里，我们无法断定“全体自然数”是否构成一个集合。“自然数的全体”是否为一个集合？这问题其实是“自然数的全体”作为一个数学对象我们该怎样看待的问题。在这个问题上，数学界的看法是统一的：“自然数的全体”构成一个集合。这是现代数学基础的任何令人可接受的模式

5、都必须俯就的基本要求本质上讲，这意味着数学学科不能不认可“数学归纳原理”。“数学归纳原理”是一条数学原理，它不能归约为逻辑。无穷公理的价值正是在集合论的公理系统中给出“数学归纳原理”的位置。第6页，本讲稿共20页注意，公理（ZF8）所断言的是：任一非空集合x必有-极小元，即，存在yx，对任意的uy，u不x。利用（ZF8）我们立即可证如下命题：“对任意的集合对任意的集合x，x不不x。”事实上，对任意的集合x，集合x非空；于是，x有-极小元，此-极小元只能是x，故x不x。让我们引入“集宇宙”这个术语：集宇宙由全体集合构成，记作。这样一来，上述命题可富有启发性地表述为=x|x不x。进一步，立即可证下

6、述命题成立：“集宇宙集宇宙不是集合。不是集合。”公理公理（ZF1）（ZF8）在描述集合的基本真理性方面已经经受住了时间的考验。第7页，本讲稿共20页ZF-系统引出的基本数学概念系统引出的基本数学概念第8页，本讲稿共20页第9页，本讲稿共20页第10页，本讲稿共20页第11页，本讲稿共20页用集合论将函数概念一般化，标志着数学史上的一个里程碑。第12页，本讲稿共20页笛卡尔笛卡尔(RenDescartes15961650)，法国哲学，法国哲学家、数学家、物理学家。家、数学家、物理学家。他因将几何坐标体系公式他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之化而被认为是解析几何之父。父。我思故我在我思故

7、我在狄利克莱狄利克莱（Dirichlet）（）（1805-1859）德国数学家。德国数学家。他他是解析数论的创始人之是解析数论的创始人之一。他在分析学和数学一。他在分析学和数学物理方面也有很多重大物理方面也有很多重大贡献贡献.。欧拉（欧拉（LeonhardEuler1707-1783）瑞士）瑞士人，人，是科学史上最多产的一是科学史上最多产的一位杰出的数学家，彼得位杰出的数学家，彼得堡科学院为了整理他的堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十著作，足足忙碌了四十七年。七年。第13页，本讲稿共20页关于选择公理第14页，本讲稿共20页第15页，本讲稿共20页第16页，本讲稿共20页 选择公理的各种

8、等值形式人们研究的很多，不同的形式适应于不同的应用，这足以表明它是一条基本的数学原则。由哥德尔定理我们知道，选择公理与ZF-系统是相容的；那么，一个自然的问题是：它是不是ZF-系统的一条定理呢？这个问题历经半个多世纪的研究，终于在1963年由美国的一位年青的数学家科恩所解决。科恩证明：（AC）不能作为ZF-系统的定理而推演出来。将科恩和哥德尔的结果合在一起的结论是（AC）和它的否定都不是ZF-系统的定理，它们之中任意一个都可以相容地补加到ZF-系统中作为新公理使用。从这样的结论看，（AC）的可接受或不可接受必然是一个直觉问题，它乃是也只能是数学家们的基本信条之一。选择公理被证明是一条数学原理，

9、不能归约为逻辑。第17页，本讲稿共20页哥德尔（哥德尔（KurtGdel,1906-1978）。奥地利）。奥地利美国数学家、逻辑学家。美国美国数学家、逻辑学家。美国时代时代杂杂志评选出对世纪人类思想产生重大志评选出对世纪人类思想产生重大影响的人中，哥德尔列为第。影响的人中，哥德尔列为第。柯恩（柯恩（PaulJCohen，1934-），），美国数学家。他因美国数学家。他因在集合论基础方面在集合论基础方面的卓越工作于的卓越工作于1966年获菲尔兹奖。年获菲尔兹奖。第18页，本讲稿共20页思考题思考题ZFC系统的非逻辑公理有哪些条款？其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为逻辑？函数概念是基于ZFC系统的哪几条非逻辑公理建立起来的？谈谈你对选择公理的看法。第19页，本讲稿共20页Thank you for your attention.第20页，本讲稿共20页