数值分析常微分方程边值问题精品文稿.ppt
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1、数值分析常微分方程边值问题第1页,本讲稿共16页初值问题欧拉公式:yn+1=yn+h f(xn,yn)修改的欧拉公式修改的欧拉公式(Heun方法方法):k1=f(xn,yn),k2=f(xn+1,yn+h k1)(n=0,1,2,N)(n=0,1,2,N)2/16第2页,本讲稿共16页二阶Range-Kutta公式一般形式yn+1=yn+hc1k1+c2k2k1=f(xn,yn)k2=f(xn+2h,yn+21hk1)(n=0,1,N )c1=0.5,c2=0.5,2=1,21=1 c1=0,c2=1,2=0.5,21=0.5 yn+1=yn+0.5h k1+k2 k1=f(xn,yn)k2=
2、f(xn+h,yn+hk1)yn+1=yn+h k2k1=f(xn,yn)k2=f(xn+.5h,yn+.5hk1)3/16第3页,本讲稿共16页三阶Range-Kutta公式一般形式yn+1=yn+hk1+4k2+k3/6k1=f(xn,yn),k2=f(xn+0.5h,yn+0.5hk1)k3=f(xn+h,yn hk1+2hk2)四阶四阶Range-Kutta公式一般形式公式一般形式yn+1=yn+hk1+2k2+2k3+k4/6k1=f(xn,yn),k2=f(xn+0.5h,yn+0.5hk1)k3=f(xn+0.5h,yn+0.5hk2),k4=f(xn+h,yn+hk3)4/16
3、第4页,本讲稿共16页例1数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 2.186e-007RK3 0.0012 1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005RK2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004Euler 0.1059 0.0521 0.0342 0.02565/16第5页,本讲稿共16页n=input(input n:=);f=inline(y-x.*y.2);h=2/n;x=h:h:2;y0=1;
4、k1=f(0,y0);k2=f(.5*h,y0+0.5*h*k1);k3=f(.5*h,y0+.5*h*k2);k4=f(h,y0+h*k3);y(1)=y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;for k=1:n-1 xk=x(k);yk=y(k);k1=f(xk,yk);k2=f(xk+h/2,yk+0.5*h*k1);k3=f(xk+h/2,yk+0.5*h*k2);k4=f(xk+h,yk+h*k3);y(k+1)=yk+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endt=-1:h/2:5;yy=1./(t-1+2*exp(-t);plot(0,1,ro,x,y,ro,t,y
5、y)y1=1./(x-1+2*exp(-x);error=max(abs(y-y1)input n:=20error=3.7475e-0066/16第6页,本讲稿共16页例2.捕食者与被捕食者模型0 x 15 y1(0)=20,y2(0)=20记记7/16第7页,本讲稿共16页x(1)=20;y(1)=20;for n=1:length(t)-1 tn=t(n);xn=x(n);yn=y(n);k11=f1(xn,yn);k21=f2(xn,yn);k12=f1(xn+.5*h*k11,yn+.5*h*k21);k22=f2(xn+.5*h*k11,yn+.5*h*k21);k13=f1(xn
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