数值计算方法精品文稿.ppt

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1、数值计算方法第1页，本讲稿共18页 取插值结点取插值结点:ax0 x1xnb满足满足Ln(xk)=f(xk)的的 n 次多项式插值余项次多项式插值余项其中其中,选取选取:x0,x1,xn,使使结论结论:切比雪夫多项式切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。的全部零点。拉格朗日插值余项拉格朗日插值余项2/18第2页，本讲稿共18页 n+1阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式:Tn+1=cos(n+1)cos =x 代入得代入得 Tn+1(x)=cos(n+1)arccos x)即即(k=0,1,n)取取 f(x)C1,1,令令 x=cos ,则有则有 1,1 0,将将g()=f(cos )展开成余弦

2、级数展开成余弦级数切比雪夫结点切比雪夫结点3/18第3页，本讲稿共18页例例1.函数函数取等距插值结点取等距插值结点:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 x-5,5 11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)11(x)4/18第4页，本讲稿共18页-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491在在-5,5区间上区间上,取取11个切比雪夫结点个切比雪夫结点(k=10,9,8,1,0)11(x)

3、=(x x0)(x x1)(x x2)(x x10)5/18 11(x)第5页，本讲稿共18页插值函数插值函数L10(x)取取切比雪夫结点插值切比雪夫结点插值插值函数插值函数L10(x)取取等距结点插值等距结点插值6/18第6页，本讲稿共18页已知节点已知节点x0和和x1处的函数值及导数值处的函数值及导数值求三次插值函数求三次插值函数 H(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3满足插值条件满足插值条件(j=0,1)三次三次Hermite插值问题插值问题xx0 x1H(x)y0y1H(x)m0m17/18第7页，本讲稿共18页例例2.已知插值条件已知插值条件:求求3次插值函数次插值函数.解解:设

4、设得得 a0=0,a1=0,列出方程组列出方程组求解求解,得得 a2=3,a3=2所以所以,有有 H(x)=3x2 2x3 =(3 2x)x2 x 0 1 H(x)0 1 H(x)0 08/18第8页，本讲稿共18页利用基函数表示利用基函数表示Hermite插值插值 x0 x1 10 00 01 0 0 x x0 x1 00 10 0 0 0 1x9/18第9页，本讲稿共18页两点两点Hermite插值的误差估计式插值的误差估计式证明证明:由插值条件知由插值条件知 R(x0)=R(x0)=0,R(x1)=R(x1)=0构造辅助函数构造辅助函数利用利用 f(x)H(x)=C(x)(x x0)2(

5、x x1)2取取 x 异于异于 x0 和和 x1,设设10/18第10页，本讲稿共18页反复应用反复应用Roll定理定理,得得F(4)(t)有一个零点设为有一个零点设为显然显然,F(t)有三个零点有三个零点x0,x,x1,由由Roll定理知定理知,存存在在F(t)的两个零点的两个零点t0,t1满足满足x0t0t1x1,而而x0和和x1也是也是F(x)的零点的零点,故故F(x)有四个相异零点有四个相异零点.11/18第11页，本讲稿共18页分段线性插值分段线性插值插值节点满足插值节点满足:x0 x1xn 已知已知yj=f(xj)(j=0,1,2,n)(j=0,1,n-1)xxj，xj+1时时,线

6、性插值函数线性插值函数12/18第12页，本讲稿共18页分段三次分段三次Hermite插值插值 取取 ax0 x1xnb,已知函数值和导数值已知函数值和导数值yj=f(xj),mj=f(xj)(j=0,1,2,n)当当 xxj，xj+1时时,两点两点Hermite插值插值(j=0,1,2,n-1)15/18第13页，本讲稿共18页矩形区域上函数矩形区域上函数f(x,y)的双线性插值的双线性插值 x1 x2y2y1插值条件插值条件:P(x1,y1)=z1,P(x2,y1)=z2,P(x2,y2)=z3,P(x1,y2)=z4P(x,y)=ax+by+cxy+d l1(u，v)=(1 u)(1 v

7、)l2(u，v)=u(1 v)l3(u，v)=u vl4(u，v)=(1 u)v 其中其中P(x,y)=z1(1 u)(1 v)+z2 u(1 v)+z3 u v+z4(1 u)v 16/18第14页，本讲稿共18页u,v=meshgrid(0:0.1:1)；L1=(1-u).*(1-v);surf(u,v,L1)figureL2=u.*(1-v);surf(u,v,L2)figureL3=u.*v;surf(u,v,Lu3)figureL4=(1-u).*v;surf(u,v,L4)第15页，本讲稿共18页x=a sin cosy=a sin sinz=b cos 第16页，本讲稿共18页三

8、角形区域三角形区域线性插值线性插值 插值条件插值条件:z1=P(x1,y1)z2=P(x2,y2)z3=P(x3,y3)(x1,y1)(x3,y3)(x2,y2)拉格朗日方法拉格朗日方法 P(x,y)=l1(x,y)z1+l2(x,y)z2+l3(x,y)z3P(x,y)=a x+b y+c(x，y)(x1，y1)(x2，y2)(x3，y3)l1(x,y)1 0 0l2(x,y)0 1 0l3(x,y)0 0 1 17/18第17页，本讲稿共18页l1(x,y)的图形是空间三角形的图形是空间三角形分片线性插值分片线性插值18/18P(x,y)=l1(x,y)z1+l2(x,y)z2+l3(x,y)z3 图形是空间三角形图形是空间三角形第18页，本讲稿共18页