代数系统和群优秀课件.ppt

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1、代数系统和群第1页，本讲稿共40页第六章第六章 群群 与与 环环 6.1 6.1 代代 数数 系系 统统对于代数系统而言对于代数系统而言,运算是它的决定性因运算是它的决定性因素素,因此因此,必须首先明确运算的概念。必须首先明确运算的概念。在代数系统中二元代数运算用得最多在代数系统中二元代数运算用得最多,所以所以我们给出其定义并讨论其性质。我们给出其定义并讨论其性质。定义定义6.1.1 6.1.1 设设S S是一个非空集合，称是一个非空集合，称SSSS到到S S的一个映射的一个映射f f为为S S的一个二元代数运的一个二元代数运算，即算，即,对于对于S S中任意两个元素中任意两个元素a,b,a,

2、b,通过通过f,f,唯一确定唯一确定S S中一个元素中一个元素c c：f f（a a，b b）=c=c，常记为，常记为a*b=ca*b=c。由于一般情况下由于一般情况下,(a,b),(b,a),(a,b),(b,a)是是SSSS中不中不同的元，故同的元，故a*ba*b未必等于未必等于b*ab*a。第2页，本讲稿共40页例如，例如，S=a,b,S=a,b,则则SS=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)SS=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)映射映射f f为：为：(a,a)-a(a,a)-a (a,b)-a (a,b)-a (b,a)-b (b,a)-b (b,b)-b (b

3、,b)-b f f称为称为S S的一个二元代数运算，有的一个二元代数运算，有 f(a,a)=a f(a,a)=a f(a,b)=a f(a,b)=a f(b,a)=b f(b,a)=b f(b,b)=b,f(b,b)=b,也可表示为：也可表示为：a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b第3页，本讲稿共40页例例6.1.16.1.1自然数集自然数集N N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N N上的二元代数运算；上的二元代数运算；减法和除法不是减法和除法不是N N上的二元代数运算，因为两个自然数上的二元代数运算，因为两个自然数相减或相除可能得到的

4、不是自然数。相减或相除可能得到的不是自然数。例例6.1.2 6.1.2 整数集整数集Z Z上的加法、减法、乘法都是上的加法、减法、乘法都是Z Z上的二上的二元代数运算元代数运算;除法不是除法不是Z Z上的二元代数运算上的二元代数运算.例例6.1.3 6.1.3 非零实数集非零实数集R*R*上的乘法、除法是上的乘法、除法是R*R*上的二元代数上的二元代数运算；加法和减法不是运算；加法和减法不是R*R*上的二元代数运算，因为两个上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出非零实数相加或相减可能得出0 0。例例6.1.4 6.1.4 矩阵加法和乘法是矩阵加法和乘法是n n阶实矩阵集合上的二元

5、代阶实矩阵集合上的二元代数运算。数运算。例例6.1.5 6.1.5 设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，（S S）是是S S的幂集，的幂集，则集合的交运算则集合的交运算、并运算、并运算是是（S S）上的二元代）上的二元代数运算。数运算。例例6.1.6 6.1.6 逻辑连接词合取逻辑连接词合取、析取、析取、蕴涵、蕴涵、等价、等价都是真值集合都是真值集合00，11上的二元代数运算。上的二元代数运算。第4页，本讲稿共40页定义定义6.1.2 6.1.2 设设*是集合是集合S S上的二元代数上的二元代数运算，如果对于运算，如果对于S S中任意两个元素中任意两个元素a a，b b，等式等式a*b=

6、b*aa*b=b*a都成立，则称运算都成立，则称运算“*”满足交换律。满足交换律。例如整数上的加法。例如整数上的加法。定义定义6.1.3 6.1.3 设设*是集合是集合S S上的二元代数上的二元代数运算，如果对于运算，如果对于S S中任意三个元素中任意三个元素a a，b b，c c，等式，等式（a*ba*b）*c=a*c=a*（b*cb*c）都成立，则称运算都成立，则称运算*满足结合律。满足结合律。例如整数上的加法。例如整数上的加法。第5页，本讲稿共40页定义定义6.1.4 6.1.4 设设*是集合是集合S S上的二元代数运算，上的二元代数运算，a a是是S S中的元素，如果中的元素，如果a*

7、a=aa*a=a则称则称a a是关于运算是关于运算*的幂等元。的幂等元。如果如果S S中每个元素都是关于中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算的幂等元，则称运算“*”满足等幂律。满足等幂律。如在整数中看，如在整数中看，1 1是关于乘法的幂等元，是关于乘法的幂等元，0 0是关于加是关于加法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。定义定义6.1.5 6.1.5 设设*和和+是集合是集合S S上的两个二元代数上的两个二元代数运算，如果对于运算，如果对于S S中任意三个元素中任意三个元素a a，b b，c c，等式，等式a*(b+c)=(a*b)+(a*c)a*(

8、b+c)=(a*b)+(a*c)，(b+c)*a=(b*a)+(c*a(b+c)*a=(b*a)+(c*a）都成立，则称运算都成立，则称运算*对对+满足分配律。满足分配律。第6页，本讲稿共40页定义定义6.1.6 6.1.6 设设*和和+是集合是集合S S上的两个上的两个二元代数运算，如果对于二元代数运算，如果对于S S中任意两个元中任意两个元素素a a，b b，等式，等式a*a*（a+ba+b）=a =a，a+a+（a*ba*b）=a=a，都成立，则称运算都成立，则称运算*和和+满足吸收律。满足吸收律。例例6.1.7 6.1.7 整数集整数集Z Z上的加法、乘法都满足上的加法、乘法都满足结合

9、律和交换律，乘法对加法满足分配结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。都不满足等幂律，也不满足吸收律。第7页，本讲稿共40页例例6.1.8 n6.1.8 n阶实矩阵集合上的加法满足结阶实矩阵集合上的加法满足结合律合律,也满足交换律也满足交换律;乘法满足结合律，乘法满足结合律，但不满足交换律但不满足交换律;它们都不满足等幂律它们都不满足等幂律,也不满足吸收律。也不满足吸收律。例例6.1.9 6.1.9 设设S S是一个非空集合，是一个非

10、空集合，(S)(S)是是S S的幂集的幂集,则则(S)(S)上的交运算上的交运算、并运算、并运算都满足结合律都满足结合律,交换律交换律,对对、对对都满足分配律都满足分配律,它们都满足等幂律它们都满足等幂律,也也满足吸收律。满足吸收律。定义定义6.1.7 6.1.7 设设*是集合是集合S S上的二元代数运上的二元代数运算算,如果对于如果对于S S中任意三个元素中任意三个元素a,b,c,a,b,c,（1 1）若）若 a*b=a*c a*b=a*c，则，则b=cb=c，（2 2）若）若 b*a=c*a b*a=c*a，则，则b=cb=c，就称就称*满足消去律。满足消去律。第8页，本讲稿共40页例例6

11、.1.10 6.1.10 整数集整数集Z Z上的加法满上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，足消去律，但乘法不满足消去律，例如，例如，3*0=5*03*0=5*0，但，但3535。例例6.1.11 n6.1.11 n阶实矩阵集合上的阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足加法满足消去律，但乘法不满足消去律，例如，消去律，例如，=,=,但但定义定义6.1.8 6.1.8 设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，f f1 1，f fm m是是S S 上的若干代数运算，把上的若干代数运算，把S S及及其运算其运算f f1 1，f fm m看成一个整体来看看成一个整体来看,叫做一个代数系统，叫

12、做一个代数系统，记为（记为（S S，f f1 1，f fm m）第9页，本讲稿共40页例例6.1.12 6.1.12 设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，（S S）是是S S的幂集，的幂集，和和是是（S S）上的交运算和并运算）上的交运算和并运算,则（则（S S），），）为代数系统。）为代数系统。例例6.1.13 6.1.13 设设Z Z为整数集为整数集,Z,Z0 0为偶数集为偶数集,N,N为自然数集为自然数集,+,+、是数的加法和乘法是数的加法和乘法,则则(Z,+)(Z,+)、(Z,(Z,)、(Z,+,(Z,+,)都是代数系统；都是代数系统；(Z(Z0 0,+),+)、(Z(Z0 0,

13、)、(Z(Z0 0,+,+,)都是代数系统；都是代数系统；(N,+)(N,+)、(N,(N,)、(N,+,(N,+,)都是代数系统；都是代数系统；如果用如果用 、分别表示求最大公约数和求最小公倍数分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么的运算，那么（Z,Z,）、（）、（Z Z0 0,）与（）与（N N，）也都是代数系）也都是代数系统。统。例例6.1.14 6.1.14 设设、是真值集合是真值集合00，11上的合取与析上的合取与析取运算，则（取运算，则（00，11，）是代数系统。）是代数系统。第10页，本讲稿共40页 作业：作业：196196页，页，1 1。第11页，本讲稿共40页习题习题

14、6.16.11.1.设设W W1 1、W W2 2、W W3 3分分别别为为是是模模6 6的的剩剩余余类类集集合合Z Z6 6的的子子集集：W W1 1=，W W2 2=，W W3 3=，试试问问剩剩余余类类加加法法是是不不是是这这些些子子集集的的二二元元代代数数运运算？算？解：剩余类加法对解：剩余类加法对W W1 1，W W2 2是二元代数运算，而是二元代数运算，而W W3 3不不是。是。第12页，本讲稿共40页 2.2.S=2S=2n n|n n NN，加加法法是是S S上上的的二二元元代代数数运算吗？乘法呢？运算吗？乘法呢？解：加法不是解：加法不是S S上的二元代数运算，乘法是上的二元代

15、数运算，乘法是。第13页，本讲稿共40页3.3.自然数集自然数集N N 上的二元代数运算上的二元代数运算*定义定义为为x*y=xx*y=xy y，*是否满足结合律？是否满足交换律？是否满足结合律？是否满足交换律？解解:(a*b)*c=:(a*b)*c=(a(ab b)c c=a abc bc a*(b*c)=a*(b*c)=a*b=a*b=a ab b,b*a=,b*a=b ba a所以，所以，都不满足。都不满足。第14页，本讲稿共40页 4.4.设设*是集合是集合S S上的二元代数运算，且满上的二元代数运算，且满足结合律足结合律,设设x x,y y是是S S中任意元素，如果中任意元素，如果x

16、*x*y=y*xy=y*x，则，则x=yx=y。试证明。试证明*满足等满足等幂律。幂律。证明：由于对证明：由于对S S中任意的中任意的x x，y y和和z z，有，有x*(y*z)=(x*y)*zx*(y*z)=(x*y)*z，故故x*(x*x)=(x*x)*xx*(x*x)=(x*x)*x，于是有于是有x*x=xx*x=x。第15页，本讲稿共40页 5.5.设设+和和*是集合是集合S S上的两个二元上的两个二元代数运算，对于代数运算，对于S S中任意元素中任意元素x x和和y y，x+y x+y=x=x。证明。证明*对于对于+满足分配律。满足分配律。证明：设证明：设x x，y y和和z z是

17、是S S中任意三个元素，则中任意三个元素，则x*(y+z)=x*y=x*y+x*zx*(y+z)=x*y=x*y+x*z，且，且(y+z)*x=y*x=y*x+z*x(y+z)*x=y*x=y*x+z*x，故故*对于对于+满足分配律。满足分配律。第16页，本讲稿共40页6.2 6.2 群群 的的 定定 义义6.2.1 6.2.1 半半 群群 定义定义6.2.1 6.2.1 设设G G是一个非空集合，若是一个非空集合，若为为G G上的上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（系统（G G，）为半群。）为半群。例例6.2.1 6.2.1 设设S S是一个

18、非空集合，是一个非空集合，（S S）是是S S的幂集，的幂集，和和是是（S S）上的交运算和并运）上的交运算和并运算，则（算，则（S S），），）为半群，）为半群，（S S），），）为半群。）为半群。例例6.2.2 6.2.2 设设Z Z为整数集为整数集,+,+、-、是数的加法、是数的加法、减法和乘法减法和乘法,则则(Z,+)(Z,+)、(Z,(Z,)都是半群；都是半群；（Z Z，-）不是半群，因为减法不满足结合律。）不是半群，因为减法不满足结合律。第17页，本讲稿共40页例例6.2.3 6.2.3 设设N N为自然数集，规定为自然数集，规定N N上的运算上的运算“”如下：如下：a b=a+b

19、+aa b=a+b+ab b，其中其中+、是数的加法和乘法是数的加法和乘法,a,a，b b是是N N中任意元中任意元素。显然素。显然,为为N N上的二元代数运算。对上的二元代数运算。对N N中任中任意三个元素意三个元素a,b,c,a,b,c,有：有：(ab)c=(a+b+a(ab)c=(a+b+ab)cb)c=(a+b+a=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)+c+(a+b+ab)b)c c=a+b+c+a=a+b+c+ab+bb+bc+ac+ac+ac+ab bc c，a(bc)=a(b+c+ba(bc)=a(b+c+bc c）=a+=a+（b+c+bb+c+bc c）+a+a（b+c+b

20、b+c+bc c）=a+b+c+a=a+b+c+ab+bb+bc+ac+ac+c+a ab bc c，故，（故，（abab）c=ac=a（bcbc），），满足结合满足结合律，因此，（律，因此，（N N，）为半群。）为半群。第18页，本讲稿共40页例例6.2.4 6.2.4 设设S S是一个非空集合，规定是一个非空集合，规定S S上的运上的运算如下：算如下：a a b=bb=b，其中其中a a，b b是是S S中任意元素。显然中任意元素。显然 为为S S上的二元上的二元代数运算。对代数运算。对S S中任意三个元素中任意三个元素a a，b b，c c，有：（有：（a a b b）c=bc=b c=

21、cc=c，a a（b b c c）=a=a c=cc=c，故，（故，（a a b b）c=a c=a （b b c c），满足结合），满足结合律，因此，（律，因此，（S S，）为半群。）为半群。第19页，本讲稿共40页6.2.2 6.2.2 群群定义定义6.2.2 6.2.2 设（设（G,G,）为半群，如果满）为半群，如果满足下面条件：足下面条件：(1)G(1)G中有一个元素中有一个元素1 1，适合对于，适合对于G G中任意中任意元素元素a a，都有，都有1 1a=aa=a1=a;1=a;(2)(2)对于对于G G中任意中任意a a，都可找到，都可找到G G中一个元中一个元素素a a-1-1，

22、满足，满足a aa a-1-1=a=a-1-1a=1a=1，则称（则称（G G，）为群。元素）为群。元素1 1称为称为G G的单位的单位元素，元素，a a-1-1称为称为a a的逆元素。如果群的逆元素。如果群G G包含包含的元素个数有限，则称的元素个数有限，则称G G为有限群，否则为有限群，否则称称G G为无限群。为无限群。下面用下面用|G|G|表示有限群表示有限群G G所包含的元素所包含的元素个数。个数。第20页，本讲稿共40页 例例6.2.6 6.2.6 设设Q Q为所有有理数组成的集合，为所有有理数组成的集合，R R为所有实数组成的集合，为所有实数组成的集合，C C为所有复数组成为所有复

23、数组成的集合，的集合，Q Q*为所有非零有理数组成的集合为所有非零有理数组成的集合,R R*为所有非零实数组成的集合，为所有非零实数组成的集合，C C*为所有非为所有非零复数组成的集合，零复数组成的集合，+、是数的加法和乘是数的加法和乘法，则法，则（Q Q，+）、（）、（R R，+）、（）、（C C，+）都是群；）都是群；(Q,(Q,)、（、（R R，）、（）、（C C，）都不是群，）都不是群，因为因为0 0无逆元素；无逆元素；(Q(Q*,)、（、（R R*，）、（）、（C C*，）都是群。）都是群。第21页，本讲稿共40页 例例6.2.7 6.2.7 设设S S是一个非空集合，是一个非空集合

24、，(S)(S)是是S S的幂集的幂集,和和是是(S)(S)上的交运算和上的交运算和并运算，则并运算，则(1)(1)半群半群(S),)(S),)不是群不是群,虽然存在单位虽然存在单位元素元素S,S,但不是任意元素都存在逆元素；但不是任意元素都存在逆元素；(2)(2)半群半群(S),)(S),)也不是群也不是群,虽然存在单虽然存在单位元素：空集，但不是任意元素都存在位元素：空集，但不是任意元素都存在逆元素。逆元素。例例6.2.8 6.2.8 例例6.2.36.2.3中半群（中半群（N N，）不是）不是群，因为不存在单位元素。假定有单位群，因为不存在单位元素。假定有单位元素，设为元素，设为e e，则

25、对，则对N N 中任意元素中任意元素a a，都，都应有应有e a=ae a=a，即，即e+a+ee+a+ea=aa=a，因此，因此，e=0e=0，但，但0 0 N N。第22页，本讲稿共40页例例6.2.9 6.2.9 例例6.2.46.2.4中半群中半群(S,(S,)也不是群也不是群,因为不存在单位元素。因为不存在单位元素。例例6.2.10 6.2.10 设设A A是实数域上所有是实数域上所有n n阶非奇异阶非奇异矩阵的集合，矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则不难验为矩阵的乘法，则不难验证（证（A A，*）是群。）是群。例例6.2.11 6.2.11 设设S=0S=0，1 1，2 2，m-1m-

26、1，规，规定定S S上的运算上的运算如下：如下：ab=ab=，其中其中a a，b b是是S S中任意元素，中任意元素，+、-为数的加为数的加与减。则（与减。则（S S，）是群，称为模）是群，称为模m m的整的整数加法群。数加法群。第23页，本讲稿共40页6.2.3 6.2.3 群群 的的 性性 质质定理定理6.2.1 6.2.1 设设(G,(G,)是一个群，则是一个群，则G G中恰有一个中恰有一个元素元素1 1适合适合1 1a=aa=a1=a,1=a,而且对于任意而且对于任意a a恰有一恰有一个元素个元素a a-1-1适合适合a aa a-1-1=a=a-1-1a=1a=1。证明：若证明：若1

27、 1和和1 1都是单位元素，则都是单位元素，则1 1=1=11 1=1=1，故，故1 1=1=1。若若b b和和c c都有都有a a-1-1的性质的性质,则则b=bb=b1=b1=b(a(ac)=c)=（b ba a）c=1c=1c=c,c=c,故故b=c.b=c.这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆这就是说群的单位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易见（也是唯一的。易见（a a-1-1）-1-1=a=a。第24页，本讲稿共40页例如，例如，S=0,1,2,3,4,S=0,1,2,3,4,运算运算是模是模5 5加运算，则加运算，则单位元有且只有一个为单位元有且只有一个为0 0。0 0

28、的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是0 0；1 1的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是4 4；2 2的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是3 3；3 3的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是2 2；4 4的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是1 1。如果，如果，S=0,1,2,3,S=0,1,2,3,运算运算是模是模4 4加运算加运算,则单位则单位元也有且只有一个为元也有且只有一个为0 0。0 0的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是0 0；1 1的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是3 3；2 2的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是2 2；3 3的唯一的逆元素是的唯一的逆元素是1 1。第25页，本讲稿共40页定理定理6.2.2 6.

29、2.2 群定义中的条件群定义中的条件（1 1）和（）和（2 2）可以减弱如下：）可以减弱如下：（1 1）G G中有一个元素左壹适合中有一个元素左壹适合1 1a=a;a=a;（2 2）对于任意对于任意a a，有一个元素左逆，有一个元素左逆a a-1-1适合适合 a a-1-1a=1a=1。证明：只要证明由（证明：只要证明由（1 1）、（、（2 2）（和其余（和其余的条件联合）可以推出的条件联合）可以推出(1)(1)和和(2)(2)，即只需证明即只需证明a a1=a1=a和和a aa a-1-1=1=1。第26页，本讲稿共40页先证先证a aa a-1-1=1=1。因为。因为(a(a-1-1a)a

30、)a a-1-1=1=1a a-1-1=a=a-1-1，故故(a(a-1-1a)a)a a-1-1=a=a-1-1。由（由（2 2），a a-1-1也应该有一个左逆适合也应该有一个左逆适合b ba a-1-1=1=1。于是。于是,一方面有：一方面有：b b（a a-1-1a a）a a-1-1）)=b)=ba a-1-1=l=l，另一方面有：另一方面有：b b(a(a-1-1a)a)a a-1-1)=(b)=(ba a-1-1)(a(aa a-1-1)=1 =1（a aa a-1-1）=a=aa a-1-1，因此，因此，a aa a-1-1=1=1。再证再证a a1=a1=a。事实上，事实上，

31、a a1=a1=a（a a-1-1a a）=（a aa a-1-1）a=1a=1a=aa=a。自然，把（自然，把（1 1）,（2 2）中对于左边的要求中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。一律改成对于右边的要求也是一样。第27页，本讲稿共40页定理定理6.2.3 6.2.3 群定义中的条件（群定义中的条件（1 1）和（）和（2 2）等于）等于下列可除条件：下列可除条件：对于任意对于任意a a，b b，有，有使使 a=b a=b，又有又有 y y使使 a ay=by=b。证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取为，取=b=ba a-1-1，

32、y=ay=a-1-1b b，即得即得a=ba=b，a ay=by=b，故，故，由由(1)(1)和和(2)(2)可以推出可除条件成立。可以推出可除条件成立。再证明由可除条件也可以推出再证明由可除条件也可以推出(1)(1),(2),(2)，因，因而可以推出而可以推出(1),(2)(1),(2)。事实上。事实上,取任意取任意cGcG，命命1 1为适合为适合c=cc=c的的，则，则1 1c=cc=c。今对于。今对于任意任意a,a,有有y y使使c cy=a,y=a,故故1 1a=1a=1(c(cy)=y)=（1 1c c）y=cy=cy=ay=a，即，即（1 1）成立。至于（成立。至于（2 2），只要

33、令，只要令a a-1-1为适为适合合a=1a=1的的，则，则a a-1-1a=1a=1。第28页，本讲稿共40页定理定理6.2.4 6.2.4 设设G G是一个群，在一个乘积是一个群，在一个乘积a a1 1a an n中可以任意加括号而求其值。中可以任意加括号而求其值。证明：证明：要证定理，只要证明任意加括号要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积得的积(a(a1 1a a2 2)a a3 3)a an-1n-1)a an n （1 1）（1 1）式对于）式对于n=1n=1，2 2不成问题；对于不成问题；对于n=3,n=3,由结合律

34、也不成问题。现在对由结合律也不成问题。现在对n n用归纳法用归纳法,假定对少于假定对少于n n个因子的乘积（个因子的乘积（1 1）式成立，）式成立，试证对试证对n n个因子的乘积（个因子的乘积（1 1）式也成立。）式也成立。第29页，本讲稿共40页a a1 1a an n任意加括号而得到的乘积任意加括号而得到的乘积A A，求证，求证A A等于等于(1)(1)式。设在式。设在A A中最后一次计算是前中最后一次计算是前后两部分后两部分B B与与C C相乘：相乘：A =A =（B B）（C C）今今C C的因子个数小于的因子个数小于n n，故由归纳假设，故由归纳假设,C,C等等于按次序自左而右加括号

35、所得的乘积于按次序自左而右加括号所得的乘积（D D）a an n。由结合律，。由结合律，A=(B)(C)=(B)A=(B)(C)=(B)(D)(D)a an n)=(B)=(B)(D)(D)a an n。但。但（B B）（D D）的因子个数小于）的因子个数小于n n，故由归，故由归纳纳假设，（假设，（B B）（D D）等于按次序由左而右）等于按次序由左而右加加括号所得的乘积括号所得的乘积(B)(B)(D)=(D)=(a(a1 1a a2 2)a a3 3)a an-n-2 2)a an-1n-1第30页，本讲稿共40页因而因而A=(B)A=(B)(D)(D)a an n=(=(a(a1 1a

36、a2 2)a a3 3)a an-2n-2)a an-1n-1）a an n即即A A等于（等于（1 1）式。）式。当当给给出出二二元元运运算算后后，若若无无结结合合律律，则则三三个个以以上上元元素素的的运运算算不不一一定定有有意意义义，本本定定理理对有结合律的一切代数体系成立。对有结合律的一切代数体系成立。现在现在a a1 1a an n有意义，当它们都相同时称有意义，当它们都相同时称n n个个a a连乘积为连乘积为a a的的n n次方，记为次方，记为a an n，记为记为a an n。我们规定我们规定a a0 0=1=1，a a-n-n=（a an n）-1-1(=(a(=(a-1-1)n

37、 n)象在普通代数中一样，可以证明对于任意象在普通代数中一样，可以证明对于任意整数整数m m，n n，有第一指数律有第一指数律 a am ma an n=a=am+nm+n，第二指数律第二指数律 （a am m）n n=a=amnmn。第31页，本讲稿共40页定义定义6.2.3 6.2.3 若群若群(G,(G,)的运算的运算适合交换律，适合交换律，则称（则称（G G，）为）为AbelAbel群或交换群群或交换群.定理定理6.2.5 6.2.5 在一个在一个AbelAbel群（群（G G，）中，一个乘）中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。积可以任意颠倒因子的次序而求其值。证明：考虑一个乘

38、积证明：考虑一个乘积a a1 1a an n。设设是是11，nn上的一个一对一变换，上的一个一对一变换，欲证欲证a a（1 1）a a（n n）=a=a1 1a an n对对n n用归纳法，用归纳法，n=1n=1时只有一个时只有一个a a1 1定理自然成立，定理自然成立，假定假定n-1n-1时定理已真，证明时定理已真，证明n n时定理亦真。时定理亦真。第32页，本讲稿共40页 设将设将a a1 1a an n中各因子任意颠倒次序而得一式中各因子任意颠倒次序而得一式 P=a P=a（1 1）a a（n n）因子因子a an n必在必在P P中某处出现，因而中某处出现，因而P P可以写成可以写成

39、P=P=（PP）a an n（PP）P P或或PP中可能没有元素，但照样适用以下的论中可能没有元素，但照样适用以下的论证，由交换律，证，由交换律，P=P P=P(a(an nP)=PP)=P(P(Pa an n)=(P)=(PP)P)a an n，现在现在PPPP中只有中只有n-1n-1个元素个元素a a1 1,a,an-1n-1,只只 不过次序有颠倒，故由归纳法假定，不过次序有颠倒，故由归纳法假定，P PP=aP=a1 1a an-1n-1。因此因此,P=,P=（PPPP）a an n=a=a1 1a an-1n-1a an n，从从 而归纳法完成，定理得证。而归纳法完成，定理得证。第33页

40、，本讲稿共40页在在AbelAbel群中，易见有第三指数律：群中，易见有第三指数律：（a ab b）m m=a=am mb bm m，m m为任意整数。为任意整数。如果群如果群G G的运算不写作乘的运算不写作乘而写作加而写作加+，则，则G G叫做一个加叫做一个加法群，我们永远假定一个加法群是一个法群，我们永远假定一个加法群是一个AbelAbel群：群：a+b=b+a a+b=b+a在乘法群中写做在乘法群中写做1 1的现在写做的现在写做0 0：a+0=a a+0=a在乘法群中写做在乘法群中写做a a-1-1而称为而称为a a的逆的的逆的,现在写做现在写做-a-a而称为而称为a a的负：的负：a+

41、a+（-a-a）=0=0n n为任意整数时，在乘法群中写作为任意整数时，在乘法群中写作a an n而称为而称为a a的的n n次次方的，现在写做方的，现在写做nana而称为而称为a a的的n n倍。三个指数律现倍。三个指数律现在成为下面的形式：在成为下面的形式：（m+nm+n）a=ma+naa=ma+na，m m（a+ba+b）=ma+mb=ma+mb，m m（nana）=（mnmn）a a。第34页，本讲稿共40页 作业：作业：201201页，页，2 2。第35页，本讲稿共40页习题习题6.26.21.1.设设（G G,）是是代代数数系系统统,则则（G GG G,*）是是代数系统，这里代数系

42、统，这里G GG G的运算的运算“*”规定如下：规定如下：（a a，b b）*（c c，d d）=（a ac c，b bd d），），其中其中:a a,b b,c c,d d为为G G中任意元素。中任意元素。证明：当（证明：当（G G,）是半群时）是半群时,（G GG G,*）是）是半群；当（半群；当（G G,）有单位元素时）有单位元素时,（G GG G,*）有单位元素；当（）有单位元素；当（G G,）是群时）是群时,（G GG G，*）是群；）是群；第36页，本讲稿共40页证证明明：设设（G G,）是是半半群群,a a,b b,c c,d d,e e,f f为为G G中中任任意意元元素素,若

43、若有有(a(a,b),(cb),(c,d)d),(e(e,f)f)属属于于G GG G，则则有有(a(a,b)*(cb)*(c,d)*(ed)*(e,f)=(af)=(a,b)*(cb)*(ce e,d df)f)=(a=(a(c(ce)e),b b(d(df)=(af)=(ac)c)e e,(b(bd)d)f)f)=(a=(ac)c),(b(bd)*(ed)*(e,f)=(af)=(a,b)*(cb)*(c,d)*(ed)*(e,f)f)这这就就证证明明了了当当（G G,）是是半半群群时时,（G GG G,*）是是半半群群.设设（G G,）有有单单位位元元素素1 1，(a(a,b)b)是是（

44、G GG G,*）中任意元素中任意元素,则有则有(a(a,b)=(ab)=(a1 1,b b1)=(a1)=(a,b)*(1b)*(1,1)1)且且(a(a,b)=(1b)=(1a a,1 1b)=(1b)=(1,1)*(a1)*(a,b)b),故故(1(1,1)1)就是就是（G GG G，*）的单位元素。）的单位元素。第37页，本讲稿共40页设（设（G G,）是群，）是群，1 1是群（是群（G G,）的单位元素，）的单位元素，则由前面的证明知则由前面的证明知(1(1，1)1)就是（就是（G GG G，*）的）的1 1且（且（G GG G，*）是半群。）是半群。我们来证明（我们来证明（G GG

45、 G，*）中的任意元素）中的任意元素(a(a，b)b)有逆元素。有逆元素。(1(1，1)=(a1)=(aa a，b bb b)=(a)=(a，b)*(ab)*(a，b b)，其中，其中a a和和b b分别是分别是a a和和b b在群（在群（G G，）中）中的逆元素。同样有的逆元素。同样有(1(1，1)=(a1)=(aa a，b bb)b)=(a =(a，b b)*(a)*(a，b)b)，这就证明了这就证明了(a(a，b b)是是(a(a，b)b)的逆元素，从而的逆元素，从而说明（说明（G GG G，*）是群。）是群。第38页，本讲稿共40页2.2.举举例例说说明明不不要要求求可可除除条条件件而

46、而要要求求消消去去条条件件，即即要要求求由由a a=ay=ay可可推推出出=y=y，由由a=ya=ya a可可推推出出=y=y，则则G G不不见见得得是是一一个个群群，若若G G有有限限怎怎么样？么样？解：例如，全体自然数在普通乘法下，适解：例如，全体自然数在普通乘法下，适合消去律，但不是群。若合消去律，但不是群。若G=aG=a1 1，a a2 2，a an n，用，用a a右乘右乘G G中各元素得中各元素得a a1 1a a，a a2 2a a，a an na a必不相同，否则若必不相同，否则若a ai ia=aa=aj ja(ia(i j)j)，由消去条件有由消去条件有a ai i=a=a

47、j j，矛盾。对任意，矛盾。对任意b b G G，必有，必有a ai i，使，使a ai ia=ba=b，因之方程，因之方程xa=bxa=b有解。有解。同理可知同理可知ay=bay=b有解。故有解。故G G是群。是群。第39页，本讲稿共40页5.5.设集合设集合G=aG=a，b b，cc上的二元运算表如下：上的二元运算表如下：则（则（G G，）是否为半群？是否为群？为什么？）是否为半群？是否为群？为什么？解解：由由于于G G非非空空且且对对任任意意的的a a，b b属属于于G G，有有a ab b 属属于于G G，故故（G G，）是代数系统。又由于）是代数系统。又由于运算满足结合律，运算满足结合律，故（故（G G，）是半群，但（）是半群，但（G G，）不是群，因为元素）不是群，因为元素c c没有逆元素。没有逆元素。abcaabcbbaccccc第40页，本讲稿共40页