复数的概念优秀课件.ppt

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1、复数的概念第1页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念知识回顾知识回顾 对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程 ，当时，当时 ，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？第2页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念自然数自然数有理数有理数整数整数无理数无理数实数实数复数复数数数系系的的扩扩充充第3页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念引入一个新数引入一个新数 ，叫做叫做

2、虚数单位虚数单位，并规定：，并规定：（1）它的平方等于它的平方等于-1，即，即 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立有的加、乘运算律仍然成立 形如形如 的数，叫做复数的数，叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数集，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母一般用字母C表示表示.N Z Q R CNZQR新授课新授课第4页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念新授课新授课复数的表示：复数的表示：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即当当 时，时，z 是实数是实数a当当 时，时，z 叫做虚数叫做虚数当当a=

3、0且且 时，时，z=bi 叫做纯虚数叫做纯虚数实部实部虚部虚部复数复数第5页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数新授课新授课第6页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念新授课新授课 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个两

4、个复数相等复数相等即如果即如果 ，那么，那么例例2 已知已知 ，其中，其中 ，求，求解：更具复数相等的定义，得方程组解：更具复数相等的定义，得方程组所以所以第7页，本讲稿共15页5.1 复数的概念复数的概念课堂小结课堂小结 1 1复数有关的概念，复数的代数表示形式；复数有关的概念，复数的代数表示形式；2 2复数相等的定义复数相等的定义作业：作业：习题习题5.1 13练习练习课后练习课后练习1，2，3第8页，本讲稿共15页中央电教馆资源中心制作中央电教馆资源中心制作2003.11第9页，本讲稿共15页 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希

5、腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。英文英文calculate（计算）一词是从希腊文计算）一词是从希腊文calculus（石卵）石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治，古结绳而治，后世圣人易之以书契。后世圣人易之以书契。直至直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。理论。自然数自然数返回返回第10页，本讲稿共15页 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽

6、无空 位记号，但位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（数法中的零（zero）来自印度的（来自印度的（sunya）字，其原意也是字，其原意也是空或空白。空或空白。中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的了负整数的引入。减法运算可看作求解方程引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然数，是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自则所给方程

7、未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。然数系扩大为整数系。整数整数返回返回第11页，本讲稿共15页分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部八部对对“分分”的解释：的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术合分术”有云：有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。实如法而一。不满法者，以法命之。”这这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除

8、尽，便定义了一个分数。一个分数。古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。返回返回第12页，本讲稿共15页 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进引进无理数。约在公元前无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的的正方形的对角线的长度（即正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。）不能是有理数。15世纪达芬奇（世纪达芬奇（Leonardo da Vinci,1452-15

9、19）把它把它们称为是们称为是“无理的数无理的数”（irrational number），），开普勒（开普勒（J.Kepler,1571-1630）称它们是称它们是“不可名状不可名状”的数。的数。法国数学家柯西（法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：无给出了回答：无理数是有理数序列的极限。理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用到用“无限不循环小数无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至来定义无理数，这也是直至1919世纪世纪中叶以前的实际做法。中

10、叶以前的实际做法。无理数无理数返回返回第13页，本讲稿共15页 实实数数系系的的逻逻辑辑基基础础直直到到1919世世纪纪7070年年代代才才得得以以奠奠定定。从从1919世世纪纪2020年年代代肇肇始始的的数数学学分分析析严严密密化化潮潮流流，使使得得数数学学 家家们们认认识识到到必必须须建建立立严严格格的的实实数数理理论论，尤尤其其是是关关于于实实数数系系的的连连续续性性的的理理论论。在在这这方方面面，外外尔尔斯斯特特拉拉斯斯（18591859年年 开开始始）、梅梅雷雷（18691869）、戴戴德德金金（18721872）与与康康托托尔尔（1872 1872）作作出出了了杰杰出出的的贡献。贡

11、献。实数实数返回返回第14页，本讲稿共15页复数复数 从从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。平方的问题。卡尔达诺在大法（卡尔达诺在大法（1545）中阐述一元三次方程解法时，）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代发现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是数运算的几何表示，是18世纪末到世纪末到19世纪世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。的。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又 用四元用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。等等。返回返回第15页，本讲稿共15页