常微分方程的精品优秀课件.ppt

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1、 常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构方程，二

2、阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。和特殊情况下的求解方法。本章先从解决这类实际问题入手，引出微分本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。的微分方程的求解方法。第1页，本讲稿共18页重点重点五种标准类型的一阶方程的求解五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点难点求解全微分方程求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解求常系数非齐次线性方程的通解第2页

3、，本讲稿共18页基本要求基本要求明确微分方程的几个基本概念明确微分方程的几个基本概念牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程变量的微分方程牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，会将会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解方程化为一阶线性方程来求解掌握全微分方程的解法掌握全微分方程的解法会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系

4、数线性方程数线性方程第3页，本讲稿共18页一、问题的提出一、问题的提出解解第4页，本讲稿共18页解解第5页，本讲稿共18页代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需第6页，本讲稿共18页二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的某些未知函数以及未知函数的某些导数导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.第7页，本讲稿共18页分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏常微分方程偏常微分方程.微分方程的阶

5、微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数.分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程第8页，本讲稿共18页分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.第9页，本讲稿共18页三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,

6、且独立且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.第10页，本讲稿共18页(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.第11页，本讲稿共18页初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶一阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线

7、.第12页，本讲稿共18页解解第13页，本讲稿共18页所求特解为所求特解为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)第14页，本讲稿共18页四、小结四、小结微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;思考题思考题第15页，本讲稿共18页思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.第16页，本讲稿共18页练练 习习 题题第17页，本讲稿共18页练习题答案练习题答案第18页，本讲稿共18页