数值分析 插值法精品文稿.ppt

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1、数值分析 插值法第1页，本讲稿共60页22.1 2.1 引引 言言 设函数 在区间 上有定义，且已知在点 上的值 ，函数 ，若存在一简单使成立，就称 为 的插值函数插值函数，点 称为插插值节点值节点，包含节点的区间 称为插值区间插值区间，求插值函数的方法称为插值法插值法.第2页，本讲稿共60页3 若 是次数不超过 的代数多项式，其中 为实数，就称 为插值多项式插值多项式，相应的插值法本章只讨论多项式插值与分段插值.若 为分段的多项式，就称为分段插值分段插值.若 为三角多项式，就称为三角插值三角插值.即称为多项式插值多项式插值.第3页，本讲稿共60页4 从几何上看，插值法就是确定曲线 ，使其通过

2、给定的 个点 ，并用它近似已知曲线 .图2-1见图2-1.第4页，本讲稿共60页5 本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式 的存在唯一性、收敛性及误差估计等.第5页，本讲稿共60页62.2 多项式插值 设在 a,b上给定n+1个点 上的函数值yi=f(xi)(i=0,n),求次数不超过n的多项式P(x)，满足P(xi)=yi,(i=0,n),既满足线性方程组 第6页，本讲稿共60页7 因为线性方程组的系数行列式 所以线性方程组 的解存在且唯一。第7页，本讲稿共60页8 在次数不超过 的多项式集合 中，满足条 件的 插值多项式 是存在唯一的.定理定理1 1第8

3、页，本讲稿共60页9 1.1.线性插值线性插值 对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得插值多项式.先讨论 的简单情形.问题问题：给定区间 及端点函数值 ，要求线性插值多项式 ，2.3 2.3 拉格朗日插值拉格朗日插值使它满足第9页，本讲稿共60页10 其几何意义就是通过两点 的直线.图2-2如图2-2.第10页，本讲稿共60页11由 的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），由两点式看出，是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为 及 ，即第11页，本讲稿共60页12称 及 为线性插值基函数线性插值基函数，显然，及 也是线性插值多项式，在节点 及上满足条件图形见图2-3.第12页，本讲

4、稿共60页13图2-3第13页，本讲稿共60页14 根据插值的定义 应满足先定义 次插值基函数.为构造 ，2.n次插值多项式第14页，本讲稿共60页15 定义定义1 1就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数次插值基函数.若 次多项式 在 个节点 上满足条件第15页，本讲稿共60页16显然它满足条件.于是，满足条件的插值多项式 Ln(x)可表示为 与前面的推导类似，次插值基函数为 第16页，本讲稿共60页17由 的定义，知容易求得 若引入记号 称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式而线性插值与抛物线插值是 n=1 和 n=2 的特殊情形第17页，本讲稿共60页18于是上述公式可改写

5、成 注意注意:次插值多项式 通常是次数为 的多项式，特殊情况下次数可能小于 .关于插值多项式存在唯一性有以下定理.第18页，本讲稿共60页193.3.插值余项与误差估计插值余项与误差估计 设 在 上连续，在 内存在，节点 是满足条件的插值多项式，则对任何 ，插值余项 若在 上用 近似 ，则其截断误差为也称为插值多项式的余项余项.定理定理2 2 .第19页，本讲稿共60页20 由给定条件知 在节点 上为零，即 ，其中 是与 有关的待定函数.现把 看成 上的一个固定点，作函数 根据插值条件及余项定义，可知 在点 及处均为零，故 在 上有 个零点.证明证明于是第20页，本讲稿共60页21根据罗尔定理

6、，在 的两个零点间至少有一个零点，故 在 内至少有 个零点.对 再应用罗尔定理，可知 在 内至少有 个零点.依此类推，在 内至少有一个零点，记为 ，使第21页，本讲稿共60页22于是 将它代入，余项表达式只有在 的高阶导数存在时才能应用.但 在 内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出 那么插值多项式 逼近 的截断误差限是 且依赖于就得到余项表达式.第22页，本讲稿共60页23当 时，线性插值余项为 当 时，抛物插值余项为 第23页，本讲稿共60页24若取 ，则 根据定理2，可得若令它可用来检验函数组 的正确性.第24页，本讲稿共60页25由题意,取 用线性插值计算，例例1 1已知的值并估计截

7、断误差.用线性插值及抛物插值计算解解取由点斜式公式（点斜式），第25页，本讲稿共60页26第26页，本讲稿共60页27 其截断误差其中 于是 第27页，本讲稿共60页28 用抛物插值计算，由公式得 第28页，本讲稿共60页29 其中 于是 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.截断误差限第29页，本讲稿共60页30第30页，本讲稿共60页312.4.2.4.差商与牛顿插值公式与牛顿插值公式1.1.差商 利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 均要随之变化，整个公式也将发生变化.

8、第31页，本讲稿共60页32其中 为待定系数，确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由 个插值条件第32页，本讲稿共60页33 当 时，当 时，依此递推可得到 .当 时，推得推得由 ，由第33页，本讲稿共60页34 称 为函数 关于点 的一阶一阶差商.称为 的二阶二阶差商.定义定义2 2第34页，本讲稿共60页35 一般地，称为 的 阶阶差商.第35页，本讲稿共60页36第36页，本讲稿共60页37差商有如下的基本性质：1 阶差商与节点的排列次序无关。称为差商的对称性.即第37页，本讲稿共60页38证：设由n+1个互异节点x0,xn和函数值yi=f(xi)（i=0,

9、n)建立的Newton插值多项式为对上述节点任意调整次序，设为xk0,xkn和函数值yki=f(xki)（i=0,n)建立的Newton插值多项式为第38页，本讲稿共60页39根据插值多项式的唯一性，第39页，本讲稿共60页40 2 由性质1与差商的定义证：由定义第40页，本讲稿共60页41差商计算可列表如下（表2-1）.第41页，本讲稿共60页42 首先根据给定函数表造出差商表.给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似值.例例2 2第42页，本讲稿共60页43 从差商表看到4阶差商近似常数，5阶差商近似为0.故取4次插值多项式 做近似即可.于是 按牛顿插值公式，

10、将数据代入第43页，本讲稿共60页44 3 若 在 上存在 阶导数，且节点 则 阶差商与导数关系如下：第44页，本讲稿共60页45第45页，本讲稿共60页462.2.差分与等距节点插值差分与等距节点插值 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.1 1 差分及其性质差分及其性质 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长步长.为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.第46页，本讲稿共60页47记号 定义定义3 3分别称为 在 处以 为步长的向前差分向前差分，向后差分向后差分及中心差分中心差分.符号 ，分别称为向前差分算子向前差分算子，向

11、后差分算子向后差分算子及中心差分算子中心差分算子.第47页，本讲稿共60页48 利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义 阶差分阶差分为为 第48页，本讲稿共60页49除了已引入的差分算子外，常用的算子符还有不变算子不变算子和移位算子移位算子定义如下：于是，由第49页，本讲稿共60页50 差分基本性质.性质性质1 1其中 为二项式展开系数.例如各阶差分均可用函数值表示.第50页，本讲稿共60页51 性质性质2 2 例如，可用向前差分表示 ，所以 可用各阶差分表示函数值.因为第51页，本讲稿共60页52 性质性质3 3 例如，对向前差分，差商与差分有密切关系.由定义第52页，本讲稿共60页53

12、 差商与导数的关系又可得到其中 ，一般地有 这就是差分与导数的关系.第53页，本讲稿共60页54 计算差分时可列差分表（见表2-3），表中 为向前差分.第54页，本讲稿共60页55 3.3.等距节点插值公式等距节点插值公式 将牛顿插值多项式中各阶差商用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式.如果节点 ，要计算 附近点 的函数 的值，这里只推导常用的前插公式.于是可令第55页，本讲稿共60页56将此式及差商与差分的关系代入牛顿插值公式，则得 称为牛顿前插公式牛顿前插公式，由拉格朗日插值余项公式得第56页，本讲稿共60页57为使用牛顿插值公式，先构造差分表.例例3 3解解根据题意，插值条件为 由于 接近 ，所以应用牛顿向前插值公式计算 的近似值.给出 在 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 的近似值并估计误差.第57页，本讲稿共60页58第58页，本讲稿共60页59取则用表2-4上半部的各阶向前差分，得 第59页，本讲稿共60页60误差估计其中 第60页，本讲稿共60页