曲边梯形的面积与定积分精品文稿.ppt

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1、曲边梯形的面积与定积分第1页，本讲稿共42页曲边梯形的面积曲边梯形的面积与定积分与定积分1.4.1第2页，本讲稿共42页了解：几个常用求和公式了解：几个常用求和公式第3页，本讲稿共42页 1.曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y=f(x)，直直线线x=a、x=b及及x x轴轴所所围围成成的的图图形形叫叫做做曲曲边梯形。边梯形。Ox y a b y=f(x)一一.曲边梯形的定义曲边梯形的定义x=ax=b曲边梯形的特点曲边梯形的特点 、只有一边是曲线、只有一边是曲线 、其他三边是特殊直线、其他三边是特殊直线第4页，本讲稿共42页问题1圆的面积公式是如何推导的？第5

2、页，本讲稿共42页 曲边梯形的面积将圆分成若干将圆分成若干等等份份无限分割！无限分割！第6页，本讲稿共42页 y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得第7页，本讲稿共42页A A1+A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2第8页，本讲稿共42页A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A3A4第9页，本讲稿共42页 y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成

3、 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面于是曲边梯形的面积积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 第10页，本讲稿共42页（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲边个小曲边梯形，他们的面积分别记作梯形，他们的面积分别记作 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。第11页，本讲稿共42页（2 2）近似代替近似

4、代替(不足近似值)第12页，本讲稿共42页（3 3）求和）求和第13页，本讲稿共42页（4 4）取极限）取极限第14页，本讲稿共42页小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割（2 2）近似代替近似代替（3 3）求面积的和求面积的和（4 4）取极限取极限 不足近似值！不足近似值！第15页，本讲稿共42页 (过剩近似值)第16页，本讲稿共42页 (过剩近似值)第17页，本讲稿共42页第18页，本讲稿共42页求曲边梯形面积：(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确

5、第19页，本讲稿共42页1、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确C练 习第20页，本讲稿共42页二二.定积分定义定积分定义设函数设函数f f（x x）在）在aa，bb上连续，在上连续，在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1个分点：个分点：把区间a,b等分成n n个小区间，个小区间，则，这个常数则，这个常数A称为称为f(x)在在a，b上的上的定积

6、分定积分(简称积分简称积分)记作记作第21页，本讲稿共42页被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第22页，本讲稿共42页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值说明说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关第23页，本讲稿共42页 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。2、定积分定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形的

7、数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。面积的代数和来表示。定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？第24页，本讲稿共42页第25页，本讲稿共42页【错因分析】在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误解：错解！错解！第26页，本讲稿共42页第27页，本讲稿共42页定积分的简单性质定积分的简单性质第28页，本讲稿共42页题型题型1：定积分的简单性质的应用定积分的简单性质的应用第29页，本讲稿共42页题型题型2：定积分的几何意义的应用定积分的几何意义的应用8 8问题问题1 1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。你能求出下

8、列格式的值吗？不妨试试。第30页，本讲稿共42页理解练习见学案例1；例2；例3第31页，本讲稿共42页第32页，本讲稿共42页微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).第33页，本讲稿共42页说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，基本方法，即求定积分

9、的值，只要求出被积函数只要求出被积函数 f f(x x)的一个原函数的一个原函数F F(x x)，然后，然后计算原函数在区间计算原函数在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F(b b)F F(a a)即可即可.该公式把计算定积该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。分归结为求原函数的问题。第34页，本讲稿共42页解解（）（）找出找出f(x)的原的原函数是关键函数是关键例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 第35页，本讲稿共42页练习练习1:第36页，本讲稿共42页例计算定积分例计算定积分 解解:第37页，本讲稿共42页 达标练习：达标练习：初等函数初等函数第38页，本讲稿共42页微积分

10、基本定理微积分基本定理三、小结第39页，本讲稿共42页定积分公式定积分公式第40页，本讲稿共42页牛顿牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与

11、神学。牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。返回返回第41页，本讲稿共42页莱布尼兹莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。返回返回第42页，本讲稿共42页