多元函数微分学偏导数的应用优秀课件.ppt

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1、多元函数微分学偏导数的应用第1页，本讲稿共22页第五节第五节 偏导数的应用偏导数的应用一一.空间曲线的切线和法平面空间曲线的切线和法平面切线当M 沿曲线L趋向于 时,割线 的极限位置MT法平面过 而垂直于切线 的平面1.设曲线导数不全为零即第2页，本讲稿共22页切向量切线方程法平面方程2.设曲线将x视为参数,切线方程法平面方程第3页，本讲稿共22页3.设曲线因为它确定隐函数 y=y(x),z=z(x),所以利用隐函数微分法及情形2即可解决.例1 求曲线 在点(1,1,1)处的切线和法平面.法平面方程切线方程第4页，本讲稿共22页例2 求曲线在点(1,1,1)处的切线和法平面.方程两边对x求导:

2、在(1,1,1)点解得:法平面方程切线方程第5页，本讲稿共22页二二.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线若曲面 上过点 的任意曲线的切线都位于同一平面.切平面过 且与切平面垂直的直线法线1.设曲面方程为在该点偏导数连续且不全为零.是曲面上过 的任一曲线:因为两边对t求导第6页，本讲稿共22页切平面法线2.设曲面方程为设 当作第一种情形计算.切平面的法向量第7页，本讲稿共22页例4.在哪一点处的法线垂直于 .例3.求 在点(2,1,4)处的切平面和法线.在点(2,1,4):切平面方程法线方程第8页，本讲稿共22页练习第9页，本讲稿共22页第10页，本讲稿共22页三三.多元函数的极值多元函数的极

3、值定义:设z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义,如果在该邻域内则称z=f(x,y)在点 有极大值 ;反之,为极小值.极值极值点例如:极大值 f(0,0)=1.极小值 f(0,0)=0;第11页，本讲稿共22页定理1(极值必要条件)设z=f(x,y)在点 具有偏导数且有极值,则驻点注:(1).由偏导数及一元函数极值易证;(2).(3).驻点不一定是极值点.例如:(0,0)是函数 z=x y的驻点,但 f(0,0)既不是极大值也不是极小值.第12页，本讲稿共22页定理2(极值充分条件)设 z=f(x,y)在点 的某邻域内具有二阶连续偏导数且记则时,是极值,且A0时极小.时,不一定是极值.时,不是

4、极值;第13页，本讲稿共22页例5.求 的极值.驻点(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在(1,0):f(1,0)=-5是极小值;在(1,2)及(-3,0):,不是极值;在(-3,2):f(-3,2)=31是极大值.注意:在多元函数中,我们只讨论可导函数的极值.第14页，本讲稿共22页最大值和最小值问题最大值和最小值问题:(1).在闭区域上连续的函数一定有最大值和最小值,此时可以 仿照一元函数的方法来比较求出.(2).在实际问题中,若问题的性质决定了最大值(最小值)一定 在D内取得而函数在D内只有一个驻点,则该点处的函数 值就是最大值(最小值).例6.用铁板作一容积为V的无盖长方

5、箱,尺寸怎样时,用料最省?设长宽高分别为 x,y,z,而V=x y z驻点即为所求第15页，本讲稿共22页例7.把宽为24cm的长方形铁板两边折起来做成断面为等腰 梯形的水槽.怎样折才能使断面面积最大?设折起来的边长为 x,倾角为24-xx可以解得驻点:即为所求四四.条件极值条件极值对自变量有附加条件的极值例6就可以看作条件极值问题.前面的极值叫做无条件极值第16页，本讲稿共22页条件极值计算法:方法一.化为无条件极值;方法二.拉格朗日乘数法:条件简单时,如例6条件复杂或多个时例如,求 在条件 下的极值1.作函数拉格朗日乘数3.解出驻点(条件驻点);4.判断是否为条件极值点.判别法不要求,会用实际问题性质判断即可注:该方法可推广到自变量多于两个,条件多于一个的情形.第17页，本讲稿共22页例6.解法二:解出条件驻点:求 在条件 下的极值因为是唯一的驻点,所以即为所求第18页，本讲稿共22页设(x,y,z)为椭圆上一点,则x,y,z满足 及距离解得:最长距离最短距离例8.抛物面 被平面 截成一个椭圆,求原点到椭圆的最长和最短距离第19页，本讲稿共22页练习第20页，本讲稿共22页第21页，本讲稿共22页第22页，本讲稿共22页