2019高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质（二）训练案 北师大版选修2-1.doc

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1、13.2.23.2.2 抛物线的简单性质抛物线的简单性质A.基础达标1抛物线yax21 与直线yx相切，则a等于( )A. B. 1 81 4C. D11 2解析：选 B.由消去y整理得ax2x10，由题意a0，(1)yax21， yx)24a0.所以a .1 4 2已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4 与C交于A，B两点，则 cosAFB( )A. B.4 53 5C D3 54 5解析：选 D.由得或y24x， y2x4，) x1， y2) x4， y4.) 令B(1，2)，A(4，4)，又F(1，0)， 所以由两点间距离公式，得 |BF|2，|AF|5，|AB|3，5所以 co

2、sAFB|BF|2|AF|2|AB|2 2|BF|AF| .42545 2 2 54 53A，B是抛物线x2y上任意两点(非原点)，当最小时， ，所在两条直线OAOBOAOB的斜率之积kOAkOB( )A. B1 21 2 C. D33 解析：选 B.由题意可设A(x1，x)，B(x2，x)，2 12 2(x1，x)，(x2，x)，OA2 1OB2 2x1x2(x1x2)2OAOB(x1x2 )2 ，1 21 41 4当且仅当x1x2 时取得最小值1 2OAOB此时kOAkOBx1x2 .1 2 4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆 过点(0，

3、2)，则C的方程为( ) Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x2Dy22x或y216x 解析：选 C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.由y22px，F( ，0)，p 2所以N点的坐标为(，)x0p2 2y0 2由抛物线的定义知，x0 5，p 2所以x05 .p 2所以y0 .2p（5p2）所以|AN| ，所以|AN|2.|MF| 25 225 4所以()2(2)2.x0p2 2y0 225 4即.（5p2p 2）2 4(2p（5p2）22)225 4所以 20.2p（5p2）2 整理得p210p160. 解得p2 或p8. 所以抛物线方程为y24

4、x或y216x.5已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没1 2 有公共点，则实数t的取值范围是( ) A(，1)(1，)B(，)(，)2222 C(，2)(2，)22 D(，)(，)22解析：选 D.当AB的斜率不存在时，x0，其与x2y有公共点，不满足要求；当AB1 2的斜率存在时，可设AB所在直线的方程为ykx1，代入x2y，整理得1 22x2kx10，(k)2422 得t(，)(，)22 6过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线 上的射影为A1、B1，则A1FB1等于_ 解析：如图，由抛物线定义知|AA1|A

5、F|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又 AA1FA1FO，3所以AFA1A1FO， 同理BFB1B1FO， 于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1. 故A1FB190. 答案：90 7已知抛物线x24y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB 为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_ 解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在， 故AB所在的直线方程可写为ykx1，代入x24y， 整理得x24kx40， x1x24k，由ykx1 可得 y1y2kx11kx214k22，|AB|y1y2p4k24， 故所截弦长222，当k0 时弦长取最小（2k22）2（

6、2k21）24k233 值 答案：23 8已知定长为 3 的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，则 M点到y轴的最短距离为_解析：如图所示，抛物线y22x的准线为l：x ，过点1 2 A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l，垂足分别为A、B、M.由 抛物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM| (|AA|BB|) (|FA|FB|)1 21 2 |AB| 3 ，则M到y轴的距离d 1(当且仅当AB过抛物1 21 23 23 21 2 线的焦点时取“”)，所以dmin1，即M点到y轴的最短距离为 1. 答案：1 9已知抛物线y21

7、2x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O 为坐标原点 (1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程； (2)当直线l的斜率为 1 时，求OAB的面积 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为A、B在抛物线上， 所以y12x1，y12x2，2 12 2 两式相减，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2) 因为P为线段AB的中点， 所以x1x2，又y1y24，所以k3，y1y2 x1x212 y1y2 所以直线l的方程为y23(x5)，即 3xy130. 经验证适合题意 (2)由题意知l的方程为y21(x5)即yx3.由得x218x90.yx3， y212

8、x)4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x218，x1x29. 所以|AB|1k2 （x1x2）24x1x2 24.232436又点O到直线xy30 的距离d，32所以SOAB |AB|d 2418.1 21 2322 10如图，设抛物线C：x24y的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中 x00)，过P点的切线交y轴于Q点(1)若P(2，1)，求证：|FP|FQ|；(2)已知M(0，y0)，过M点且斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点，若x0 2(1)，求的值AMMB解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|y012， 设过P点的切线方程为y1k(x2)，由得x24kx8k

9、40，y1k（x2）， x24y)令16k24(8k4)0 得k1， 可得PQ所在直线方程为yx1， 所以得Q点坐标为(0，1)， 所以|QF|2，即|PF|QF|. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M点坐标为(0，y0)，所以AB方程为yxy0，x0 2由得x22x0x4y00.x24y，yx02xy0)所以x1x22x0，x1x24y0x，2 0由得：(x1，y0y1)(x2，y2y0)，AMMB所以x1x2，由知得(1)2x4x，由x00 可得x20，2 22 2 所以(1)24，又1，解得32.2 B.能力提升 1已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)

10、有且只有一个公共点，则( ) Arap Brap Cr0)与抛 物线y22px(p0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当ra时，易知圆 与抛物线有两个交点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有 且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.故 选 B.52如图，已知抛物线的方程为x22py(p0)，过点A(0，1)作直线l与抛物线相交 于P，Q两点，点B的坐标为(0，1)，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于 M，N两点如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为3，则MBN的大小等于( )A. B. 2 4C.

11、 D.2 3 3解析：选 D.由题意设P(x1，)，Q(x2，)(x1x2)，设PQ所在直线方程为 ykx1 代入x22py，整理得：x22kpx2p0，则kQB，kPB，x1x22kp， x1x22p.)可得kQBkPB0，又因为kQBkPB3，所以kQB，kPB，即BNM，BMN，33 3 3所以MBNBNMBMN. 3 3设抛物线y24x的焦点为F，过点M(2，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，|BF| ，则_.3 2SBCF SACF解析：因为|BF| ，所以B的横坐标为 ，不妨设B的坐标为( ，)，所以AB的3 21 21 22方程为y(x2)，2 23代入

12、y24x，得 2x217x80，解得x 或 8，故点A的横坐标为 8.故A到准线的1 2 距离为 819. .SBCF SACF|BC| |AC|B到准线的距离 A到准线的距离3 2 91 6答案：1 6 4抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为|MN| |AB| _ 解析：由余弦定理，得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120 |AF|2|BF|2|AF|BF|，过A，B作AA，BB垂直于准线，则|MN| (|AA|BB|) (|FA|FB|)，1 21 2所

13、以|MN| |AB|FA|FB| 2|AB|FA|FB|2 |AF|2|BF|2|FA|FB|61 2|AF|2|BF|2|FA|FB| （|AF|BF|）21 2（|AF|BF|）2|AF|BF| （|AF|BF|）2，1 21|AF|BF| （|AF|BF|）21 21（|AF|BF|2）2（|AF|BF|）233 当且仅当|AF|BF|时，等号成立答案：33 5已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(2，4)，直线l：yx2交C于A、B33 两点，与x轴相交于点F.(1)求抛物线方程及其准线方程； (2)已知点M(2，5)，直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、

14、k2、k3 成等差数列 解：(1)因为抛物线C：y22px(p0)经过点P(2，4)， 所以 422p2，所以p4， 所以抛物线的方程是y28x， 所以抛物线准线方程是x2. (2)因为直线l：yx2与x轴相交于点F，33 所以F(2，0)因为M(2，5)，所以k2 .50 225 4设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由方程组得y 3x2 3， y28x)3x220x120.法一：x1x2，x1x24.20 3所以k1，y15 x123x12 35x12k3，y25 x223x22 35x22 所以k1k37（x22）（ 3x12 35）（x12）（ 3x22 35）（x12）（x22）2

15、 3x1x25（x1x2）8 320x1x22（x1x2）42 3 4203 58 32042 20 34 ，5 2 所以k1k32k2， 所以k1、k2、k3成等差数列法二：x16， y14 3，)x223，y24 33，)即A(6，4)、B( ，)，32 34 33所以k1，k3，y15 x124 358y25 x224 3352 324 3158所以k1k3 ，5 2 所以k1k32k2， 所以k1、k2、k3成等差数列 6(选做题)已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2，0)， (1)求抛物线方程； (2)过点T(t，0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N

16、 分别为线段AB，CD的中点，求TMN的面积最小值 解：(1)由题意知，p4，故所求抛物线方程为 y28x. (2)根据题意得AB，CD的斜率存在，故设直线AB：xmyt，直线CD：xyt，1 m A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得y28my8t0.xmyt， y28x)所以4m4m2tM(4m2t，4m)，y1y2 2x1x2 2同理可得N(t， )，4 m24 m所以|TN|，16 m416 m24 |m|2m21 |TM|4|m|，16m416m2m21所以STMN |TM|TN|8(|m|)16.1 21 |m| 当且仅当|m|1 时，面积取到最小值 16.8