弹性力学预备知识优秀课件.ppt

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1、弹性力学预备知识弹性力学预备知识第1页，本讲稿共47页 凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程微分方程.是联系自变量是联系自变量,未知未知函数以及未知函数的某些导数函数以及未知函数的某些导数(或微分或微分)之间的关系式。微分方程中出现的未知函数的之间的关系式。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,根据组成方程的未知函数个数根据组成方程的未知函数个数,微分的性质微分的性质,幂次等幂次等,可分为可分为常微分方程、偏常微分常微分方程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等方

2、程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等一、微分方程的定义及分类一、微分方程的定义及分类111 1 微分方程的一般概念微分方程的一般概念二阶常系数非其次微分方程二阶常系数非其次微分方程.一阶非线性常微分方程一阶非线性常微分方程.n阶常微分方程阶常微分方程.偏微分方程偏微分方程.一阶常微分方程一阶常微分方程常微分方程组常微分方程组第2页，本讲稿共47页代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.设设 在区间在区间 I I 上有上有 n n 阶导数，使得阶导数，使得 二、微分方程的求解则称则称 为方程为方程 的解的解 微分方程的解概

3、念微分方程的解概念 (1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与且任意常数的个数与微分方程的阶数相同微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解。确定了通解中任意常数以后的解。第3页，本讲稿共47页过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。（5）初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题（4）初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件（3）解的图象解的图象:微分

4、方程的积分曲线微分方程的积分曲线(族族)第4页，本讲稿共47页解解所求特解为所求特解为第5页，本讲稿共47页一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解。上例方程的解为为微分方程的解。上例方程的解为分离变量法分离变量法112 2 一阶常微分方程的解法一阶常微分方程的解法形如形如例如例如第6页，本讲稿共47页二、齐次方程二、齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义：定义：第7页，本讲稿共47页1、一阶线性微分

5、方程的标准形式、一阶线性微分方程的标准形式:齐次方程齐次方程三、三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程 非齐次方程非齐次方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为1）线性齐次方程线性齐次方程2、一阶线性微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)第8页，本讲稿共47页2）线性非齐次方程）线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.常数变易法常数变易法实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.第9页，本讲稿共47页作变换

6、作变换积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第10页，本讲稿共47页例例:如图所示，平行与如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积,求求曲线曲线 .两边求导得两边求导得解解:解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为第11页，本讲稿共47页一、定义一、定义n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式333 3 高阶常系数线

7、性微分方程高阶常系数线性微分方程(齐次齐次)(非齐次非齐次)二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上述齐次方程将其代入上述齐次方程,得得从而得到特征值从而得到特征值特征方程特征方程第12页，本讲稿共47页 讨论讨论:两个线性无关的特解两个线性无关的特解齐次方程的通解为齐次方程的通解为特征根为特征根为 (a)(a)有两个不相等的实根有两个不相等的实根 (a)(a)有两个相等的实根有两个相等的实根特征根为特征根为一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为另一特解设为另一特解设为代入原方程可求得代入原方程可求得第13页，本讲稿共47页二阶

8、常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式特征方程特征方程齐次方程齐次方程第14页，本讲稿共47页三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项结论结论:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为为特征方程法特征方程法。n

9、次代数方程有次代数方程有 n 个根个根,而特征方程的每一个根都对而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数.第15页，本讲稿共47页特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为特征方程为特征方程为解：解：特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例2 2 解得解得例例1 1 解：解：第16页，本讲稿共47页四、二阶常系数非齐次线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程 对应齐次方程通解结构非齐次线性方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程四、二阶四、二阶常系数非常系数非齐次线性齐次线性微分方程微分方程 讨论：第17页

10、，本讲稿共47页综上讨论可设注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐阶常系数非齐次线性微分方程（次线性微分方程（k是重根次数）是重根次数）特别地第18页，本讲稿共47页第19页，本讲稿共47页114 4 变分原理变分原理泛函的定义泛函的定义 自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量的函数关系定义为泛函。即的函数关系定义为泛函。即泛函是函数的函数泛函是函数的函数。记为。记为:以积分形式构筑泛函关系以积分形式构筑泛函关系 若若I y 是以是以 定义域的泛函，定义域的泛函，其中其中 是在区间是在区间a a，bb上的分段连续的函数集，则上的分段

11、连续的函数集，则 I y 可表示为可表示为 一、泛函的基本知识一、泛函的基本知识例如：例如：A、B 间任一曲线长度为间任一曲线长度为abABcdxyo第20页，本讲稿共47页泛函一般形式泛函一般形式或或二、函数的变分二、函数的变分 定义定义 函数函数y的微小增量的微小增量被称为函数被称为函数 y(x)的变分的变分力学意义力学意义oxyABCD结构构件的虚位移结构构件的虚位移其中其中AB 为梁的挠度曲线为梁的挠度曲线CDCD为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线与导数关系与导数关系导数的变分等于变分的导数导数的变分等于变分的导数第21页，本讲稿共47页三、泛函的变分三、

12、泛函的变分因而有因而有泛函泛函Iy(x)的变分可由的变分可由泛函泛函的变分获得的变分获得,而而的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得,即即四、泛函的极值问题变分问题四、泛函的极值问题变分问题如同函数取得极值所要满足的条件一样如同函数取得极值所要满足的条件一样,泛函取到极值的条件为泛函取到极值的条件为()式即为求解极值曲线的微分方程式即为求解极值曲线的微分方程.()第22页，本讲稿共47页例例abABcdxyo求图中求图中AB曲线为最短时的函数曲线为最短时的函数于是于是并且并且由极值条件得由极值条件得从而得从而得可见最短为一条直线，其中的可见最短为一条直线，其中

13、的C C1 1和和C C2 2可由边界条件求得可由边界条件求得第23页，本讲稿共47页1、二阶行列式的概念、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)(1)副对角线副对角线主对角线主对角线 定义定义a12a21a22()()一、一、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1-5 1-5 矩阵代数的基础知识矩阵代数的基础知识第24页，本讲稿共47页引进记号：引进记号：称为对应于数表称为对应于数表(3)(3)的三阶行列式的三阶行列式2 2、三阶行列式、三阶行列式定义定义 设有数表设有数表(3)(3)(+)(+)(+)()()()主对角线副对角

14、线例如：例如：第25页，本讲稿共47页n阶行列式阶行列式定义定义 3 3、n n阶行列式的定义阶行列式的定义D的展开式为的展开式为:或者或者第26页，本讲稿共47页定理定理 (克莱姆法则克莱姆法则)(1)(1)若系数行列式设线性方程组二、克莱姆法则二、克莱姆法则第27页，本讲稿共47页其中其中Di(i=1,2,n)是用常数项是用常数项b1,b2;bn代替代替D中第中第i列各列各元素而得到的元素而得到的n阶行列式，即：阶行列式，即：(2)则方程组则方程组(1)有有唯一解唯一解，且解可表示为：，且解可表示为：(i=1,2,n)第28页，本讲稿共47页例例 解线性方程组解线性方程组解：解：方程组的系

15、数行列式方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。所以方程组有唯一解。第29页，本讲稿共47页又：所以：所以：第30页，本讲稿共47页注：注：在方程组中，若所有的常数项在方程组中，若所有的常数项b1=b2=bn=0，则方，则方程组称为程组称为n元齐次线性方程组元齐次线性方程组。(3)显然显然有零解有零解 x1=x2=xn=0结论结论1：若齐次线性方程组若齐次线性方程组(3)的系数行列式的系数行列式D 0，则，则方程组只有零解。方程组只有零解。一般解一般解 结论结论2：若齐次线性方程组若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式有非零解，则系数行列式 D=0。特解特解第31页，本讲稿共47页 由由m

16、n个数个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有次序地有次序地排成排成m行行(横排横排)n列列(竖排竖排)的数表的数表称为一个称为一个m行行n列的列的矩阵矩阵，简记，简记(aij)mn，通常用大写字母，通常用大写字母A，B，C，表示，表示，m行行n列的矩阵列的矩阵A也记为也记为Amn，构成矩阵，构成矩阵A的每个数的每个数称为矩阵称为矩阵A的的元素元素，而，而aij表示矩阵第表示矩阵第 i 行、第行、第 j 列的元素。列的元素。1、矩阵的定义、矩阵的定义三、矩阵知识三、矩阵知识第32页，本讲稿共47页注意：注意：有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵(2)两

17、个矩阵两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称，若行数、列数都相等，则称A、B是是同同型型的。的。-行矩阵行矩阵-列矩阵列矩阵(1)只有一行或一列的矩阵只有一行或一列的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵或或列矩阵列矩阵,有时也称为有时也称为 向量向量,如如:第33页，本讲稿共47页2、矩阵的运算、矩阵的运算(1)定义定义:设矩阵设矩阵 A=(aij)mn,B=(bij)mn则矩阵则矩阵称为矩阵称为矩阵A与与B的和，记作的和，记作 C=A+B1）矩阵的加法矩阵的加法 C=(cij)mn=(aij+bij)mn(2)性质性质:设设 A，B，C，O 都是都是 mn 矩阵矩阵,则有则有(1)A+B=B+A(2

18、)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A第34页，本讲稿共47页2）矩阵的减法矩阵的减法(1)负矩阵负矩阵设设 A=(aij)mn,则称则称(aij)mn 为为A的负矩阵，简记的负矩阵，简记A显然显然A+(A)=O,(A)=A(2)减法：减法：设设 A=(aij)mn ,B=(bij)mn ,AB 为为AB=A+(B)=(aij bij)mn定义定义:设设 是常数，是常数，A=(aij)mn，则矩阵，则矩阵(aij)mn 称为称为数数 与矩阵与矩阵A的乘积，计为的乘积，计为 A,即即3）数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法第35页，本讲稿共47页设设 A、B 为为 m n 矩阵，矩阵，

19、、u为常数为常数(1)(u)A=(u A)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+u A(4)1A=A，(1)A=A(2)性质性质（1）定义：）定义：设设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,则则 A与与B的乘积的乘积 C其中其中Cij等于等于A的第的第i行与行与B的第的第j列对应元素的乘积之和列对应元素的乘积之和(i=1,2,m;j=1,2,n)CAB是是mn矩阵，矩阵，C=(cij)mn 4）矩阵的乘法矩阵的乘法第36页，本讲稿共47页例例 设设试证：试证：(1)AB=0 ；(2)AC=AD证：证：(1)(2)故有故有 AC AD(1)(A B)C=A(B C)(2)

20、A(B+C)=A B+A C(3)(B+C)A=B A+C A(4)(A B)=(A)B=A(B)(其中其中 为常数为常数)(2)性质性质第37页，本讲稿共47页5）线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示设方程组为设方程组为可表示为可表示为简记为简记为AXB。A称为由线性方程组的称为由线性方程组的系数矩阵。系数矩阵。第38页，本讲稿共47页(1)定义定义:将矩阵将矩阵 A mn 的的行换成同序数的列，列换成同序数的行行换成同序数的列，列换成同序数的行所得所得的的 nm 矩阵称为矩阵称为A的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 AT 或或 A。例如：例如：则则6）矩阵的转置矩阵的转置(1)(AT )

21、T=A(2)(A+B)T=A T+B T(3)(A)T A T(4)(A B)T=BT A T(2)性质性质第39页，本讲稿共47页3 3、方阵、方阵1）定义）定义(其中：其中：k,l均为正整数均为正整数)k个个行行数数与与列列数数相相同同的的 n n 矩矩阵阵 A 称称为为方方阵阵，n 称称为为它它的的阶数阶数，简记，简记 An。则：则：记记AA A=Akk个个,称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵，简记，简记E显然显然1.单位矩阵单位矩阵002）几类特殊方阵）几类特殊方阵第40页，本讲稿共47页2.2.对角矩阵对角矩阵其中 aij=0,i j00特别：称为数量矩阵004 4、分块矩阵、分块矩阵定

22、义定义:如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A A分成若干小块，这样的小块分成若干小块，这样的小块称为矩阵称为矩阵A A的的子块子块或或子矩阵子矩阵，而，而A A可以看成是以子块为元素的矩阵，称可以看成是以子块为元素的矩阵，称A A为为分块分块矩阵矩阵。例如：例如：第41页，本讲稿共47页一、一、函数的泰勒级数展开形式函数的泰勒级数展开形式其中其中若函数若函数在在y0开区间内有（开区间内有（n1）阶导，则）阶导，则可以展开为可以展开为为在级数展开时的误差在级数展开时的误差116 6 函数的级数展开函数的级数展开对于多元函数，若对于多元函数，若A(x,y)

23、A(x,y)点的函数值为点的函数值为f f（x x，y y）则则B(x+dx,y)B(x+dx,y)点的函数值为点的函数值为第42页，本讲稿共47页1 1、以、以2L2L为周期的傅里叶级数为周期的傅里叶级数代入傅里叶级数中代入傅里叶级数中二、周期为二、周期为2 2L的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数若周期为若周期为2L的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛条件满足收敛条件,则它的傅则它的傅里叶级数展开式为里叶级数展开式为其中其中第43页，本讲稿共47页则有则有则有则有第44页，本讲稿共47页二元函数二元函数f（x，y）在区间（在区间（0 xa，0yb）可以展开为可以展开为三、双三角级数三、双三角级数注意：注意：矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数的三角级数展开的方法来实现的的三角级数展开的方法来实现的其中其中第45页，本讲稿共47页解解第46页，本讲稿共47页第47页，本讲稿共47页