全国高中数学联赛（CMO预赛）平面几何专题冲刺复习试题.docx

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1、全国高中数学联赛（CMO预赛）平面几何专题冲刺复习讲义P00.圆基础01. 如图，在等腰ABC 中，AB=AC，AM 是高，P 在ABM 内部，Q 在 AM 上，且满足PBQ=ACP。求证：BPQ+APC=180PQABMC02. 如图，四边形 ABCD 是梯形，AB/CD, ABCD，BCD 的角平分线交 BD 于 N，M 是 BD 的中点，过 M 关于(AMD)的切线交 BC 于 P。求证：A, P, M, N 四点共圆DCNMPAB05. 如图，在等腰ABC 中，AB=AC，M 是 BC 的中点，CD 是 AB 边上的高，E 在 CD 延长线上，且满足 BE=MB，P 在(ABM)上，且

2、满足 PB=PE，P, M 在 BE 同侧。求证：EMP=90PEDBMCA06. 如图，在ABC 内部有一点 P，且满足ABP=ACP=45-A/4，AL 是BAC 的角平分线，PL 再次交(BPC)于 K。求证：AKB=AKCPBLCKA07. 如图，P 是ABC 形内一点，过 P 分别作 BC, CA, AB 的平行线，与三边对应的交点是 E,H；G, D；I, F，AP 再次交ABC 的外接圆于 Q。求证：DP*PG+EP*PH+FP*PI=AP*PQDIEHPBFGCAQ08. 如图，在ABC 中， L 在 BC 上，M, N 分别在 AB, AC 的延长线上，且满足ALB=2ANB

3、,ALC=2AMC，K 是AMN 的外心。求证：KLBCAKBLCNM09. 如图，在ABC 中，O 是外心，BO, AC 交于 E，CO, AB 交于 F，K 是OEF 的垂心，M,N 分别 BE, CF 的中点。求证：AKMNAFEOMNBCK10. 如图，在 RtABC 中，BAC=90，E, F 分别在 AB, AC 的延长线上，BF, CE 交于 P，O是CFP 的外心，Q 在 OB 上，且满足EBC=EQC。求证：E, B, P, Q 四点共圆OQPFCEBA11. 如图，O1与O2交于 A, B，PQ 是两圆的外公切线（靠近 B），D 是(APQ)上一点，过B, D 关于(ABD

4、)的切线交于 R。求证：P, Q, R 三点共线ADO1O2BQPR12. 如图，KL, KN 是O 的切线，M 在 KN 的延长线上，(KLM)再次交O 于 P，Q 是 N 在LM 的射影。求证：MPQ=2KMLPKOQNLM13. 如图，在 RtABC 中，C=90，CH 是高，D 在CHB 内部，且满足 CH 平分 AD，BD,CH 交于 P，PQ 是关于 BD 为直径的半圆（与线段 BC 相交）的切线。求证：AD, CQ 的交点在(BD)上CQPDAHB14. 如图，ABC 内接于O，BAC 的角平分线交O 于 S，P 在 AS 上，过 P 垂直于 BC 的直线分别交 BC 于 D，交

5、O 于 E, F（E-D-P-F），过 P 垂直于 SF 的直线交 SE 于 K。求证：A, O, S, K 四点共圆FAOPDCESBK15. 如图，ABC 内接于O，P 是弧BC的中点，Q 是弧BAC的中点，D 在 BC 上，E, F 分别在AC, AB 上，且满足DE/AB, DF/AC，QD 再次交O 于T，J 在AP 上，且满足ATJ=90。求证：JDEFQAFEDOTJBCP16. 如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC, BD 交于 K，E, F 分别在 AK, DK 上，EF 与圆交于E1, F1，(ADE)再次交 EF 于E2，(BCF)再次交 EF 于F2。求证：E

6、1E2=F1F2wDAEF2FE2E1KBCF117. 如图，O1与O2交于 A, B，过 B 的直线分别交O1, O2于 C, D，E, F 分别在O1, O2上，且满足 CB=CE, DB=DF，BF 再次交O1于 P，BE 再次交O2于 Q。求证：A, P, Q 三点共线FAO1O2PBQCED18. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，M 是 BC 的中点，(ABD)再次交 CD 于 P，(DPM)再次交 BD 于 Q，AM, CQ 交于 K。求证：B, M, K, Q 四点共圆ADQKPBMC19. 如图，在ABC 中，A1, B1分别在 CB, CA 上，P, Q 分别在AA1

7、, BB1上，且满足 PQ/AB，P1在PB1的延长线上，且满足CP1P=CAB，Q1在QA1的延长线上，且满足CQ1Q=CBA。求证：P, Q, P1, Q1四点共圆Q1P1CB1A1PQAB20. 如图，ABC 中，E, F 分别在 AC, AB 上，O, O分别是ABC, AEF 的外心，P, Q 分别在 BE, CF 上，且满足BP=FQ=BF2。 求证：OOPQPE QCCE2AOFOEPQBC21. 如图，ABC 内接于O，P 是形内一点，BP, CP 分别交O 于 E, F，K 是PEF 的外心，Q 在O 上，且满足KAQ=90，Y 满足 PAQY 是平行四边形。求证：B, C,

8、 P, Y 四点共圆KAQFOPYBCE22. 如图，四边形 ABCD 内接于圆 ，对角线 AC, BD 交于 P，E, F 在 BD 上，(APE)与(ADF)再次交于 M，AF 再次交(ABE)于 N。求证：A, M, N, C 四点共圆ADPMEFNBCw23. 如图，在ABC 中，E, F 分别在 AB, AC 上，若(BE)与(CF)交于 P, Q，K 是 A 在 PQ 上的射影，T 是EBC 的外心。求证：BAT=CKPAKFEPTQBC24. 如图，在ABC 中，过 B, C 两点的圆分别交 AC, AB 于 E, F，(B, BE)再次交 AC 于 G，(C, CF)再次交 A

9、B 于 H，EH, FG 交于 K。求证：K 在(B, BE)与(C, CF)的根轴上FKEHGBCA25. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=ACBC，D 是形内一点，满足 AD=BD+CD，AB 的中垂线交ADB 的外角平分线于 P，AC 的中垂线交ADC 的外角平分线于 Q。求证：B, C, P, Q 四点共圆AQPDBC26. 如图，直线上依次四点 B, B, C, C，A 在直线外，(ABC)与(ABC)再次交于 X，E 在 AC上，且满足 EB/AB，F 在 AB 上，且满足 FC/AC。求证：EF/AXXBCFABCE27. 如图，ABC 内接于O，P 是形内一点，D, E,

10、F 是 P 在 BC, CA, AB 上的射影，AP, EF交于 K，R 在O 上，且满足RAP=90，AP 再次交(BPC)于 S，记过 R 平行于 BC 的直线为 m，过 S 平行于 DK 的直线为 n，设 m, n 交于 T。求证：T 在O 上RmTAKEnFPOBDCS28. 如图，在锐角ABC 中，H 是垂心，AD 是BAC 的角平分线，BH, CH 分别交 AD 于 E, F，(BDE)与(CDF)再次交于 P，M 是 BC 的中点。求证：A, P, M 三点共线AEPHFBDMC29. 如图，O1与O2交于 P，过 P 的直线 AB, CD, EF，S 在O1上，且满足 PS/B

11、D，T 在O2上，且 PT/AC，ES, BD 交于 M，FT, AC 交于 N，Q 使得 SPTQ 是平行四边形。求证：M, Q, N 三点共线ASMEDQPFNTO1O2BC30. 如图，以 AB 为直径的半圆O 上有 C, D 两点，P, Q, R 分别是 AC, CD, DB 的中点，S 在过 P 垂直于 AQ 的直线，且满足 SAAB，T 在过 R 垂直 BQ 的直线上，且满足 TBAB。求证：ST/CDCQDPRSTAOB31. 如图，ABC 内接于O，过 B, C 关于O 的切线交于 T，P 在BAC 的平分线上，PX 是(ABP)的直径，PY 是(ACP)的直径，AP 的中垂线

12、分别交 AB, AC 于 U, V。求证：XV, YU, TP 三线共点YAXVUOPBCT32. 如图，等腰梯形 ABCD，满足 AD/BC, AB=CD，E, F 分别在AB, AC 上，且满足 BE*BA=CF*CA， P, Q 分别在 AC, AB 上，DP, DQ 分别交 BC 于 S, T。求证：PQ 是(BES)与(CFT)的根轴EFQPBSADTC33. 如图，在四边形 ABCD 中，存在一点 E，使得(AB)与(CD)相切于 E，M, N 分别是 AB,CD 的中点，MN 分别交(BED)，(CEA)于 X, Y。求证：EX-EY=AB-CDAMDNXEYCB34. 如图，A

13、BC 内接于O，K 是弧BC（不包括 A）的中点，P 是ABC 形内一点，且满足BPC=90+A/2，X, Y 在 BC 上，满足BPX=CPY=90，O1切 BC 于 Y，并与O 内切于 U，O2与 BC 切于 X，并与O 内切于 V，D 是 P 在 BC 上的射影，Q 是 P 关于 K 的对称点。求证：O1O2DQAOO2O1PUBYDXCKVQP00.三角形基础01. 如图，在ABC 中，O 是外心，P 在(AOB)上，且满足BPC=90，Q 在 BP 上，且满足 AQ/PO。求证：QCB=PCOAPOQBC02. 如图，在ABC 中，O, H 分别是外心和垂心，OH, BC 交于 X，

14、R 在 BC 上，且满足 AR/OH， O, H分别是ARC 的外心和垂心。求证：O, H, X 三点共线OHOBXRCAH03. 如图，在锐角ABC 中，O, H 分别是外心和垂心，K 是 AH 的中点，P 在 AC 上，且满足BKP=90。求证：OP/BCAKHOPBC04. 如图，ABC 内接于O，AA为 BC 边上的高，X 在射线 AA上，BAC 的平分线交O于 D，N 在 XD 的延长线上，且满足 ON/AD，M 是 XD 的中点。求证：BAM=CANAOBACNDMX05. 如图，锐角ABC 内接于O，H 是垂心，P 在弧BC上，PH 的中垂线分别交 AC, AB 于 X,Y。求证

15、：BOY=COXOHYBCAXP06. 如图，锐角ABC 内接于O，H 是垂心，BH, CH 分别交O 于 E, F，EF, BC 交于 P， OE, AC 交于 X，OF, AB 交于 Y。求证：XY/OPAYOXEHBCFP07. 如图，锐角ABC 内接于O，H 是垂心，O 的弦 XY/BC，YH 再次交O 于 D，O的弦 DEAX，EX, BC 交于 P。求证：OP/AXDAEOHBPCXY08. 如图，ABC 内接于圆，H 是垂心，AD, BE, CF 是高，(AH)再次交圆于 K，P 在(AH)上，且满足 HP/EF，M 是 BC 的中点，AM, EF 交于 Q，AM 再次交圆于 R

16、，PQ 再次交(AH)于 X。求证：XD, KR 的交点在(AH)上AXEQFHPBDMCKR09. 如图，在锐角ABC 中，H 是垂心，(AHC)再次交BAC 的角平分线于 P，X 是ABP的外心，Y 是ACP 的垂心。求证：XY=R（R 为ABC 的外接圆半径）AXHCPBY10. 如图，在锐角ABC 中，H 是垂心，BF, CE 是高，M 是 BC 的中点，X 在 EF 上，满足HAM=HMX，且 A, X 在直线 MH 的两侧。求证：AH 平分线段 MXAEHFXBMC11. 如图，ABC 内接于圆，H 是垂心，P 是圆上一点，D, E, F 分别在 BC, CA, AB 上，且满足

17、HD/AP, HE/BP, HF/CP，M 是 HP 的中点。求证：D, E, F, M 四点共线AHEMBDCFP12. 如图，锐角ABC 内接于O，H 是垂心，M 是弧BC的中点， K, L 分别在 AB, AC 上，且满足 OK/MB, OL/MC，T 是AKL 的外心，T是 T 关于 KL 的对称点。求证：TH=TOAKHTTLOBCM13. 如图，以 AB 为直径的半圆，圆心为 O，一直线交 AB 于 M，并交半圆于 C, D，且满足 MCMD,MAMB，(AOC)与(BOD)再次交于 K。求证：MKO=90CKDAOBM14. 如图，O1与O2交于 P, Q，AB 是两圆的外公切线

18、（靠近 Q），A, B 分别在O1与O2上，P, Q 在 AB 上的射影分别为 X, Y。求证： 1 - 1 =4QY PX AB*tgAPBPO1O2QYXBA15. 如图，锐角ABC 内接于O，H 是垂心，BE, CF 是高，EF 交O 于 P, Q，T 是HPQ的外心。求证：AT=AOQAFEOHPBCT16. 如图，锐角ABC 内接于O，H 是垂心，M 是弧BAC的中点，MH 再次交O 于 T，过 O的直线与 AB, AC 分别交于 E, F，若 AE=AF。求证：MTE=MTFMAEOFHBCT17. 如图，在锐角ABC 中，ABAC）内接于O，H，I 分别是垂心和内心，AH 交O

19、于 D，AI交O 于 L，若AIH=90。求证：IDL=90AIOHBCDL35. 如图，ABC（ABBC，O, I 分别为ABC 的外心和内心，E, F 分别在线段 AB, AC上，且 BE=CF=BC，K, J 分别是AEF 的外心和内心。求证：KJ, OI 的交点在ABC 的外接圆上AKJEFOIBC38. 如图，ABC 内接于O，I 是内心，AI 交O 于 E，(I, IE)分别交 EO 于 K，交O 于 L（LE），T 是IBC 的垂心。求证：K, T, L 三点共线AKTOILBCE39. 如图，ABC 内接于O，I 是内心，K 是BIC 的垂心，T 在O 上，且满足 AT/BC，

20、(AOI)再次交O 于 P。求证：K, T, P 三点共线TAPIOBCK40. 如图，在锐角ABC 中，H 是垂心，L, M, N 分别是 AH, BH, CH 的中点，内切圆I 分别切 BC, CA, AB 于 D, E, F，X 是 L 关于 EF 的对称点，Y 是 M 关于 FD 的对称点，Z 是 N 关于 DE 的对称点。求证：I, X, Y, Z 四点共线ALEFZHX YIMNBDC41. 如图，在ABC 中，I 是内心，IA, IB, IC分别是 A-旁心，B-旁心，C-旁心，D 是IA在 BC 上的射影，E 是IB在 CA 上的射影，F 是IC在 AB 上的射影，记过 D 平

21、行于 AI 的直线为 l，类似定义 m, n。求证：l, m, n 三线共点IBAFn IEmlBDCICIA42. 如图，在ABC 中，O, I, IA分别是外心，内心，A-旁心，X, Y 在 AB, AC 的延长线上，且满足 BX=CY=BC，P 是 I 关于 O 的对称点，K 是IAP的中点。求证：K 是AXY 的外心AIOBCPKYXIA43. 如图，ABC 内接于O，I 是内心，BE, CF 分别是ABC, ACB 的角平分线，(AEF)再次交O 于 T，TI, BC 交于 Z。求证：BZ = IF2 ZC IE2ATFIEOBZC44. 如图，ABC 内接于O，I 是内心，AI 交

22、O 于 P，M 是 BC 的中点，T 是APM 的外心，N, L 分别是 AI, IP 的中点，过 N 垂直于 AI 的直线与过 P 垂直于 TL 的直线交于 K。求证：OK/APAKNIOBMCLTP45. 如图，在ABC 中，D, P 在 BC 上，且满足 BD=CP，E, Q 在 CA 上，且满足 CE=AQ，F, R在 AB 上，且满足 AF=BR，G, X, Y 分别是ABC, DEF, PQR 的重心。求证：G 是线段 XY 的中点AFQERXGYBDPC46. 如图，在非等腰锐角ABC 中，O, H 分别是外心和垂心，M, N 分别是 CA, AB 的中点，V在 AC 上，且满足

23、VNH=90，U 在 AB 上，且满足UMH=90。求证：OHUVAUVNOMHBC47. 如图，在ABC 中，N 是九点圆圆心，P 在 BC 上，S, T 分别是ABP, ACP 的外心，J是AST 的外心，Q 是 J 在 BC 上的射影。求证：AP/NQJSTNABPQC48. 如图，O 为ABC 的外接圆，H 为其垂心，ABC 的平分线交O 于 P，M 是 PH 的中点，过 O 作 BP 的平行线交 BC 于 S。求证：AMS=90PAMHOBSC49. 如图，ABC 内接于O，G 是重心，AD 是 BC 边上的高，延长 GD 交O 于 X。求证：G 在(AOX)与ABC 的九点圆的根轴

24、上AGODXBC50. 如图，在锐角ABC 中，O 是外心，O是 O 关于 BC 的对称点，E, F 分别是 O在 AB, AC上的射影，T 是 AO的中点，Q 是TEF 的外心。求证：O, Q, O三点共线OTBCQAFEO51. 如图，ABC 内接于O，H, N 分别是垂心和九点圆圆心，AN 再次交O 于 S，过 B, C两点关于O 的切线交于 P。求证：PSH=POAAONHSBCPP01：几何定理.A01. 如图，ABC 内接于O，X, Y 分别在 AC, AB 上，且满足 BY=XY=CX，过 A 关于O 的切线交 XY 于 P，I 是AXY 的内心。求证：PA=PIAIYXOBCP

25、02. 如图，在ABC 中，B是 B 关于 AC 的对称点，C是 C 关于 AB 的对称点，过 A 关于(ABC)的切线分别交 BC于 X，交 BC 于 Y。求证：AX=AYBCAXBCY03. 如图，在ABC 中，ABAC，O 是外心，BAC 的平分线上的点 P 在 BC, CA, AB 上的射影分别为 D, E, F，D是 D 关于 EF 的对称点。求证：AD, OP 的交点在 BC 上ADFOPEBDC04. 如图，I 是ABC 的内心，P, Q 分别是 AB, AC 的中点，M 是 AI 的中点，N 是 M 关于 PQ的对称点，H 是BIC 的垂心。求证：NI, AH 的交点在 BC

26、上AHMPQNIBC05. 如图，ABC 内接于O，L 是弧BAC的中点，内切圆I 分别切 BC, CA, AB 于 D, E, F，IA是 A-旁心，M 是 BC 的中点，IAM, EF交于 P。求证：L, P, D 三点共线LAPEFIOBDMCIA06. 如图，ABC 内接于O，AN 是O 的直径，I, J 分别是内心和 A-旁心，AI, BC 交于 D， JN 再次交O 于 T，P 在 AC 上，且满足AIP=90。求证：AT, BI, DP 三线共点ATIPOBDCNJ07. 如图，在锐角ABC 中，H 是垂心，BE, CF 是高，M 是 BC 的中点， P, Q 在(AEF)上，且满足 BP=BE, CQ=CF。求证：AM, EP, FQ 三线共点PQEFHABMC08. 如图，ABC 内接于圆，L 是弧BC的中点（不包括 A），弦 EF 平行于 BC，AB, EF 交于K，点 P 在 AL 上，CP, FP 分别交圆于 M, N，PE, LN 交于 S，PK, LM 交于 T。求证：ST/BCMNAPSTKBCEFL09. 如图，O1与O2交于 P, Q，并分别与O 内切于 S, T，过 P 垂直于 PQ 的直线交直线QO 于 K。求证：P, K, S, T 四点共圆PKOO1O2T