第13讲正方形同步教学讲义 人教版数学八年级下册.docx
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1、第13讲 正方形知识导航1有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形既是矩形又是菱形,它既具有矩形的性质,又具有菱形的性质3正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形4矩形ABCD加上一个条件:邻边相等,就可以得到正方形ABCD5菱形ABCD加上一个条件:一个角是直角,就可以得到正方形ABCD【板块一】 正方形的简单证明和计算方法技巧有一内角为60 的菱形,较短的正方形是轴对称图形,对角线平分一组对角,可以用来构造对称的全等三角形;正方形的四边相等,相等的边与直角相邻,为构造全等三角形提供了一对边相等,一对角相等题型一 正方形的简单证明【例1】如图,点E为正方形A
2、BCD对角线BD上一点,EMBC,ENCD,垂足分别为M,N,连接AE求证:(1)MNAE;(2)AEMN【例2】如图1,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, M,N分别在OA,OB上,且OMON(1)求证:BMCN;CNBM;(2)如图2,若M,N分别在OA,OB的延长线上,则(1)中的两个结论仍成立吗?请说明理由 图1 图2题型二 正方形的简单计算【例3】点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),连接PD,将线段PD绕点P顺时针旋转90,得到线段PE,连接BE,则CBE等于( )A75 B60 C45 D30 针对练习11如图,点E是正方形ABCD边CD的中点,ABE的
3、平分线交AD于点F,交CD延长线于点G求证:AGBF 2如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 以点O为端点引两条互相垂直的射线OM,ON,分别交AB,BC于点E,F(1)求证:OEOF;(2)若正方形的边长为4,求EF的最小值3,正方形ABCD中,点E,F分别是对角线AC,BD上的两个动点,AC,BD相交于点O(1)如图1,若AEDF,求证:AFBE; (2)如图2,若点E是OC的中点,DFBD,AF与BE的延长线交于点M,求M的度数;(3)若正方形的边长为3,DF,当射线AF与BE的夹角为45时,则DF (请直接写出结果)图1 图2 图3【板块二】 正方形中的问题方法技巧证“a
4、b”型问题常a,b将转化到等腰直角三角形中解决问题题型三 正方形中形如ab线段关系探究【例1】如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE,过点A作AE的垂线交DE于点P若AEAP1,PB下列结论:APDAEB;点B到直线AE的距离为;EBED;SAPDSAPB其中正确结论的序号是( )A B C D 题型四正方形中形如线段关系探究方法技巧通过截长补短或作垂线,构造全等,构造等腰直角三角形是解决“倍线段关系问题”的关键.方法一: 补短法(或作垂线) 构造等腰直角三角形方法二: 截长法(或作垂线) 构造等腰直角三角形 【例2】如图1,正方形ABCD中,E为CB延长线上一点,且BE=AB
5、,M,N分别为AE,BC的中点,MN交ED于点H. (1)求证:HEB=HNB; (2)如图2,过点A作APED于点P,连接BP,求的值.针对练习21.如图,在正方形ABCD中,E为BD上一点,F为BC上一点,且AE=EF,求证:CF=DE.2.如图,点E是正方形ABCD的边CD上一动点(不与点C,D重合),连接AE,过点A作AFAE,交CB的延长线于点F,连结EF,点M为EF的中点,连结AC,BM.(1)求证:AE=AF;(2)当点E在CD上运动时(不与C,D重合), 的值是否发生变化?(3)求的值.3.已知E是正方形BC边上一点,F是CD边上一点,EAF=45,AE,AF分别交BD于点G,
6、H.(1)如图1,求证:AE=AH ;BH= BE+AB;(2)如图2,求证:CE=HD.4.在正方形ABCD中,点E,F分别为AB延长线,BC边上的点,且BE=BF,连接CE,AF.(1)如图1,求证:AFCE;(2)如图2,延长AF交CE于点G,作CHBG于点H ,求证:AG=BH;(3)分别取AC,EF的中点M,N,若AB=3,BE=1,请直接写出线段MN的长度为_.【板块三】正方形中线段的和差倍分关系题型五 正方形中线段的和差关系【例1】如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上一点,EGAF于点H,交CD于点G,求证:BE+BF=CG.【例2】如图,直线MN经过正方形ABCD
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