极值点偏移问题微专题练-高三数学二轮专题复习.docx

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1、冲刺高考二轮 极值点偏移问题微专题练（原卷+答案）1已知函数f(x)(a0).(1)若对任意的xR，都有f(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)设m，n是两个不相等的实数，且mnemn.求证：mn2.2已知函数f(x)ex(ln xa).(1)若f(x)是增函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1x22.3.已知函数f(x)ln x(1)求f(x)的单调区间；(2)当f(x1)f(x2)(x1x2)时，证明：x1x22.4已知函数f(x)x(1ln x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln aa ln bab，证明：2

2、e.参考答案1解析：(1)当a0时，f，因为0e，即f，不符合题意；当a0时，f(x)，当x(，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以a的取值范围为(0，1.(2)证明：因为mnemn，所以memnen，即.令g(x)，由题意可知，存在不相等的两个实数m，n，使得g(m)g(n).由(1)可知g(x)在区间(，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减不妨设mn，则m11)，则h(x)g(x)g(2x)(x1)ex2(x1)0，所以h(x)在(1，)上单调递增，所以h(x)0，即g(x)g(2x)在区间(1，)上恒成立因为n1，所以g(n)g(2n).因为g(m)g(n)，所以g(

3、m)g(2n).又因为m1，2n2n，即mn2.2解析：(1)函数的定义域为(0，)，f(x)ex，若f(x)是增函数，即f(x)0对任意x0恒成立，故ln xa0恒成立，设g(x)ln xa，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以当x1时，g(x)ming(1)a1，由a10得a1，所以a的取值范围是1，).(2)证明：不妨设0x1x2，因为x1，x2是f(x)的两个极值点，所以f(x1)ex10，即ln x1a0，同理ln x2a0，故x1，x2是函数g(x)ln xa的两个零点，即g(x1)g(x2)0，由(1)知，g(x)ming(1)a10，故应

4、有a(，1)，且0x112，只需证x22x1，只需证g(x2)g(2x1)g(x1)g(2x1)ln x1aln x1ln (2x1)0，设h(x)ln xln (2x)，x(0，1，则h(x)0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，因为x1(0，1)，所以h(x1)h(1)0，即g(x2)g(2x1)0，g(x2)g(2x1)，又x21，2x11，及g(x)在(1，)上单调递增，所以x22x1成立，即x1x22成立3解析：(1)f(x)，令g(x)1x22x ln x，则g(x)2x2ln x22(xln x1)，g(x)2；当x0时，g(x)0，g(1)40；当x(x0，)时，g(x)g(

5、1)0，又当x(0，1)时，1x20，2x ln x0；当x(0，1)时，g(x)0，即f(x)0；当x(1，)时，g(x)0，即f(x)0；f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，).(2)证明：由(1)知：若f(x1)f(x2)(x1x2)，则0x112，只需证x22x1，0x111，又f(x)在(1，)上单调递减，则只需证f(x2)f(2x1)，f(x1)f(x2)，则只需证f(x1)f(2x1)，即证f(x1)f(2x1)0，则需证ln x1ln (2x1)0，只需证0，即证ln x1(1x1)ln (2x1)0，令F(x)(3x)ln x(1x)ln (2x)(0x1

6、)，则F(x)ln xln (2x)，F(x)F(1)0，F(x)在(0，1)上单调递增，F(x)F(1)0，(3x1)ln x1(1x1)ln (2x1)0，当x时，f0，故f的递增区间为，递减区间为.(2)因为b ln aa ln bab，故ba，即，故ff，设x1，x2，由(1)可知不妨设0x11.因为x时，fx0，x时，fx0，故1x22，若x22，x1x22必成立若x22，即证x12x2，而02x2f，即证：ff，其中1x22.设gff，1x2，则gffln xln ln ，因为1x2，故0x0，所以g0，故g在上为增函数，所以gg0，故ff，即ff成立，所以x1x22成立，综上，x1x22成立设x2tx1，则t1，结合，x1，x2，可得：x1x2，即：1ln x1t，故ln x1，要证：x1x2e，即证x1e，即证ln ln x11，即证：ln 1，即证：ln t ln t1，则Sln 1ln tln ，先证明一个不等式：ln x.设uln x，则u1，当1x0；当x0时，u1时，ln ，故S0恒成立，故S在上为减函数，故SS0，故ln t ln t0成立，即x1x2e成立综上所述，2e.学科网（北京）股份有限公司