椭圆的简单几何性质（2）同步练习-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、3.1.2椭圆的简单几何性质（2）一、单选题1. 已知点是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的斜率为()A. B. C. D. 22. 过椭圆中心的直线交椭圆于两点，右焦点为，则的最大面积是()A. abB. acC. bcD. 3. 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线AB交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是()A. B. C. D. 4. 过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为()A. B. C. 1D. 二、多选题5. 已知椭圆的左、右焦点为，O为坐标原点，直线过交C于两点，若的周长为8，则()A. 椭圆焦距为；B. 椭

2、圆方程为；C. 弦长；D. 6. 已知直线l：被椭圆C：截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A. B. C. D. 7. 画法几何的创始人-法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点直线l的方程为下列说法正确的是()A. C的蒙日圆的方程为B. 对直线l上任意点P，C. 记点A到直线l的距离为d ，则的最小值为D. 若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为三、填空题8. 已知点，在椭圆C：上，则椭圆C的

3、方程为_，若直线交椭圆C于M，N两点，则_.9. 已知点，椭圆上两点A，B满足，则当_时，点B横坐标的绝对值最大10. 过点的直线l与椭圆交于点A和B，且点Q满足，若O为坐标原点，则的最小值为_.11. 已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线对称，则实数m的取值范围是_.四、解答题12. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为求双曲线C的方程经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长13. 设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：14. 已知椭圆C：的短轴长为

4、2，离心率为求椭圆C的方程；设过定点的直线l与中的椭圆C交于不同的两点A、B，且为锐角，求直线l的斜率k的取值范围15. 已知椭圆的离心率为，的面积为求椭圆C的方程;设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点求证：为等腰三角形.16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为过左顶点A且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为B，与y轴交于点C，且求椭圆的标准方程；过点且不与x轴重合的直线交椭圆于点，连接NO并延长交AM于点若，求实数的取值范围.答案和解析1.【答案】C解：设直线l与椭圆相交于两点，代入椭圆方程可得，两式相减得，解得故选2.【答案】C解：设，则，的

5、面积是，当最大时，的面积S取最大值，所以直线AB与x轴垂直时，的面积S取最大值，则的面积的最大值为故选3.【答案】B解：由题意，可设，设，故选4.【答案】D解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，当直线AB的斜率不存在时，AB：，则CD：此时，则；同理易得当直线AB的斜率为0时，；当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：，则CD：又设点，联立方程组，消去y并化简得，由题知，直线CD的斜率为，同理可得为定值故选5.【答案】BC解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；的周长为8，根据椭圆定义得的周长为4a，所以，得，所以，所以椭圆方程为，故B正确；联立得，所以，故C正确；O到直线的距离，所以故D错误，故选

6、6.【答案】ACD解：由于直线l：被椭圆截得的弦长为7，根据对称性可得：，满足条件直线被椭圆C截得的弦长不为综上可得：下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有故选7.【答案】AD解：当与一个斜率为0，另一个斜率不存在时，易知交点，当与的斜率均不为0时，可设且，因为过P点的切线方程为，所以联立得，因为l与椭圆相切，所以，整理得，而与即为式的两根，所以蒙日圆的方程为，所以蒙日圆的方程为，故A正确;B.直线过定点，而刚好在蒙日圆上，过 M做椭圆的两条切线，切点为 A， B，由蒙日圆的定义知，故 B错误；C.点A在椭圆上，的最小值为到到l的距离，而到l的距离为，的最小值为，故 C错误.D.因为矩形MN

7、GH的四条边均与C相切，所以矩形MNGH为C的素日圆的内接矩形，设长为m，宽为n，蒙日圆半径为R，则，当且仅当时等号成立，故D正确.故选8.【答案】解：由题意可知：椭圆C：上，由点，焦点在x轴上，则，椭圆的标准方程：；设，则，消去y，整理得，则，则故答案为：；9.【答案】5解：设，由，可得，即有，又，即为，又，-得，可得，解得，则，即有，即有时，有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大故答案为：10.【答案】解：设，由，得则，同理，于是又，则，所以点Q的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以故答案为11.【答案】解：设，线段AB的中点此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线对称，直线AB的方程可设为联

8、立，化为，解得，代入直线可得：，解得代入可得：，解得的取值范围是故答案为12.【答案】解：由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，设双曲线方程为，则，解得，双曲线方程为设，分别代入双曲线可得，两式相减，得，点为AB的中点，可得，则，直线l的方程为，把代入，消去y得，13.【答案】解：，与x轴垂直，直线l的方程为，由，解得或，的坐标为或，直线AM的方程为或；当l与x轴重合时，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，则，则，由，得，将代入，整理可得，则，从而，故MA，MB的倾斜角互补，综上，14.【答案】解：由已知得，又，解得，椭圆C的方程为由题意知，直线l斜率

9、存在，可设直线l方程为，将其代入，得，设，解得，由根与系数的关系，得，为锐角，代入，化简得，解得，由且，解得15.【答案】解：由题解得所以椭圆C的方程为证明：由知，设，则，设直线方程为，直线方程为，由解得点由于，于是直线的方程为，直线的方程为由，解得点于是，所以轴设PQ中点为N，则N点的纵坐标为故PQ中点在定直线上从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以，所以为等腰三角形16.【答案】解：由题意：，所以直线的方程为，所以，因为所以，由B在椭圆上可得：椭圆的标准方程为：设直线：，点，点，所以，所以直线AM：，直线ON：，设点，所以 ， ，令，所以所以， 实数的取值范围为第16页，共16页学科网（北京）股份有限公司