2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）（无答案）.pdf

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2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(初赛)暨 2021 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)一.(本题满分 40 分)给定正整数 k(k2)与 k 个非零实数kaaa,.,21.证明:至多有有限个 k 元正整数组knnn,.,21，满足knnn,.,21互不相同，且0!2211kknanana！.二.(本题满分 40 分)如图所示，在ABC中，M 是边 AC 的中点，D,E是ABC的外接圆在点 A 处的切线上的两点，满足ABMD/,且 A 是线段 DE 的中点，过 A,B,E 三点的圆与边 AC 相交于另一点 P，过 A,D,P三点的圆与 DM 的延长线相交于点 Q.证明:BCQ=BAC.(答题时请将图画在答卷纸上)三.(本题满分 50 分)设整数 n4.证明:若 n 整除 2-2,则nn22 是合数.四.(本题满分 50 分)求具有下述性质的最小正数 c:对任意整数 n4,以及集合nA,.,2,1，若cnA,则存在函数1,1:Af,满足.1Aaaaf