2019高中数学 第二章 推理与证明 阶段复习课 第2课 推理与证明学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、1第二课第二课 推理与证明推理与证明核心速填1合情推理：(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理： 归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理2演绎推理：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明与间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法；(2)间接证明一种方法是反

2、证法，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法4数学归纳法：数学归纳法主要用于解决与自然数有关的数学问题证明时，它的两个步骤缺一不可它的第一步(归纳奠基)nn0时结论成立第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk1 时结论也成立特别要注意nk到nk1 时增加的项数体系构建2题型探究合情推理(1)观察下列等式：1 ，1 21 21 ，1 21 31 41 31 41 ，1 21 31 41 51 61 41 51 6，据此规律，第n个等式可为_(2)类比三角形内角平分线定理：设ABC的内角A的平分线交BC于点M，则.AB ACBM MC若在四面体PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交

3、BC于点D，你可得到的结论是_，并加以证明. 【导学号：31062174】解析 (1)等式的左边的通项为，前n项和为 1 1 2n11 2n1 21 31 41 2n1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.1 2n1 n11 n11 n21 nn(2)画出相应图形，如图所示由类比推理得所探索结论为.SBDP SCDPSBPA SCPA证明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以VDBPA VDCPA. SBPA SCPA3又因为.VDBPA VDCPAVABDP VACDPSBDP SCDP由知成立SBPA SCPASBDP SCDP

4、答案 (1)1 (2)1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 nnSBPA SCPASBDP SCDP规律方法 1.归纳推理的特点及一般步骤 2类比推理的特点及一般步骤跟踪训练1(1)观察如图 21 中各正方形图案，每条边上有n(n2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.图 21按此规律，推出Sn与n的关系式为_(2)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn, 则T4，_，_， T16 T12成等比数列解析 (1)依图的构造规律可以看出：S2244，S3344，4S4444(正方形四个顶点

5、重复计算一次，应减去)猜想：Sn4n4(n2，nN N*)(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4， ， ， 成等比数列T8 T4T12 T8T16 T12答案 (1)Sn4n4(n2，nN N*)(2) T8 T4T12 T8综合法与分析法若a、b、c是ABC的三边长，m0，求证：. a amb bmc cm【导学号：31062175】思路探究 根据在ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立证明 要证明，a amb bmc cm只需证明0 即可a amb bmc cma amb bmc c

6、m，abmcmbamcmcambm ambmcm a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意两边之和大于第三边，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.a amb bmc cm母题探究：1. (改变条件)本例删掉条件“m0” ，证明：.ab 1abc 1c证明 要证 .ab 1abc 1c只需证ab(ab)c(1ab)c.5即证abc.而abc显然成立所以.ab 1

7、abc 1c2(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列” ，求证：1 ab1 bc.3 abc证明 要证，1 ab1 bc3 abc即证3，即证1.abc ababc bcc aba bc即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命题得证规律方法 分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.反证法已知xR R，ax

8、2 ，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个1 2不小于 1.证明 假设a，b，c均小于 1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x 32233，1 2(x1 2)两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于 1.规律方法 反证法的关注点1反证法的思维过程：否定结论推理过程中引出矛盾否定假设肯定结论，即否定推理否定经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”即肯定原命题.2反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是” “都不6是” “至少” “至多”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练2若x，y，z(0,2)，求证：x(2y)，y(2z)，

9、z(2x)不可能都大于 1. 【导学号：31062176】证明 假设x(2y)1，且y(2z)1，且z(2x)1 均成立，则三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)1，由于 00，f(x)，令a11，an1f(an)，nN N*.ax ax(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解 (1)a11，a2f(a1)f(1)；a 1aa3f(a2)；a4f(a3).a 2aa 3a猜想an(nN N*)a n1a(2)证明：易知，n1 时，猜想正确假设nk(kN N*)时猜想正确，即ak，a k1a则ak1f(ak)aak aakaa k1aaa k1

10、a.a k1a1a k11a这说明，nk1 时猜想正确由知，对于任何nN N*，都有an.a n1a规律方法 1.数学归纳法的两点关注71关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.2关注点二：由nk到nk1 时，除等式两边变化的项外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.2.与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略1与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明.2与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明

11、遇阻时，可考虑应用数学归纳法.跟踪训练3用数学归纳法证明不等式(n2，nN N*)1 n11 n21 nn13 24证明 当n2 时，.1 211 227 1213 24假设当nk(k2 且kN N*)时不等式成立，即，1 k11 k21 2k13 24那么当nk1 时， 1 k21 k31 2k11 k21 k31 2k1 2k11 2k21 k11 k1(1 k11 k21 k31 2k)1 2k11 2k21 k113 241 2k11 2k21 k1. 13 241 2k11 2k213 241 22k1k113 24这就是说，当nk1 时，不等式也成立由可知，原不等式对任意大于 1

12、的正整数都成立转化与化归思想的应用已知，k(kZ Z)，且 sin cos 2sin ，sin cos 2sin2.求证： 1tan2 1tan21tan2 21tan2【导学号：31062177】证明 要证成立，1tan2 1tan21tan2 21tan2即证，1sin2 cos2 1sin2cos21sin2cos22(1sin2cos2)8即证 cos2sin2 (cos2sin2)，1 2即证 12sin2 (12sin2)，1 2即证 4sin22sin21，因为 sin cos 2sin ，sin cos sin2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以

13、 12sin24sin2 ，即 4sin2 2sin21.故原结论正确规律方法 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际应用问题转化为数学问题.本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想.跟踪训练4已知函数f(x)在 R R 上是增函数，a，bR R.(1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解 (1)证明：当ab0 时，ab且ba.f(x)在 R R 上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0” ，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0 成立，即(1)中命题的逆命题成立