2019高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和学案5.doc

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1、- 1 -第第 1 1 课时课时 等差数列的前等差数列的前n n项和项和学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)自自 主主 预预 习习探探 新新 知知1数列的前n项和的概念一般地，称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.思考：如何用Sn和Sn1的表达式表示an?提示 anError!2等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Snna1an 2Snna1dnn1 2思考：等差数列an中，若已知a27，能求出前 3 项和S3吗？提示 S33a221.3a1a3 2基础自测基础自测1

2、思考辨析(1)数列的前n项和就是指从数列的第 1 项a1起，一直到第n项an所有项的和( )(2)anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式( )(3)在等差数列an中，当项数m为偶数 2n时，则S偶S奇an1.( )答案 (1) (2) (3) 提示：(1)正确由前n项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22.当n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1.又因为a1S13，所以a1不满足anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当项数m为偶数 2n时，则S偶S奇nd.2等差数列an中，a11，d1，则其前n项和Sn_.因为a11，d1，nn1 2所以

3、Snn1.nn1 22nn2n 2n2n 2nn1 23在等差数列an中，S10120，那么a1a10_.- 2 -【导学号：91432163】2424 由S10120.解得a1a1024.10a1a10 24设等差数列an的前n项和为Sn，若a1 ，S420，则S6_.1 24848 设等差数列an的公差为d，由已知得 4a1d20，即4 3 24 d20，1 24 3 2解得d3，所以S66 334548.1 26 5 2合合 作作 探探 究究攻攻 重重 难难等差数列前n项和的有关计算在等差数列an中，(1)已知a1 ，an ，Sn5，求n和d；5 63 2(2)已知a14，S8172，求

4、a8和d.【导学号：91432164】解 (1)由题意得，Sn5，解得n15.na1an 2n(563 2) 2又a15 (151)d ，5 63 2d .n15，d .1 61 6(2)由已知得S8172，解得a839，8a1a8 284a8 2又a84(81)d39，d5.a839，d5.规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪训练跟踪训练1在等差数列an中，(1)已知a610，S55，求a8和S10；- 3 -(2)已

5、知a3a1540，求S17.解 (1)Error!解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.10 9 2(2)S17340.17 a1a17 217 a3a15 217 40 2an与Sn的关系的应用探究问题探究问题1若数列an的前n项和为Sn，则关系式anSnSn1的使用条件是什么？提示：使用条件是n2.2若数列an的前n项和为Sn，a2 016a2 017a2 018如何用前n项和Sn表示？提示：a2 016a2 017a2 018S2 018S2 015.3已知数列an的通项公式an，可利用Sna1a2an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列an的

6、前n项和Sn，如何求出它的通项公式？提示：对所有数列都有Sna1a2an1an，Sn1a1a2an1(n2)因此，当n2 时，有anSnSn1；当n1 时，有a1S1.所以an与Sn的关系为anError!当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式anf(n)(nN N*)来表示设Sn为数列an的前n项和，Sn2n230n.(1)求a1及an.(2)判断这个数列是否是等差数列.【导学号：91432165】思路探究：(1)利用a1S1，求a1，借助于anSnSn1(n2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可解 (1)因为Sn2n230n，所以当n1 时，

7、a1S121230128，当n2 时，anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32.验证当n1 时上式成立，所以an4n32.(2)由an4n32，得an14(n1)32(n2)，所以anan14n324(n1)324(常数)，所以数列an是等差数列- 4 -母题探究：1.(变条件变结论)将本例的条件“Sn2n230n”改为“log2(Sn1)n1” ，其他条件不变，求an.解 由 log2(Sn1)n1 得Sn12n1，Sn2n11当n2 时anSnSn12n112n12n.当n1 时，a1S13.经验证不符合上式anError!2(变条件变结论)将本例中的条件“Sn2n230

8、n”变为“正数数列bn的前n项和Sn (bn1)2” ，求bn的通项公式1 4解 当n2 时，bnSnSn1，bn (bn1)2 (bn11)21 41 4 (bb2bn2bn1)1 42n2n1整理得：bb2bn2bn10，2n2n1(bnbn1)(bnbn12)0，bnbn10，bnbn12(n2)bn为等差数列又b1 (b11)2，b11，1 4bn1(n1)22n1.规律方法 已知数列an的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：（1）当n1 时，a1S1.（2）当n2 时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.（3）如果a1也满足当n2 时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的

9、通项公式为anSnSn1；如果a1不满足当n2 时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为anError!等差数列前n项和公式的实际应用某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑- 5 -成第二道防线？思路探究：因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列

10、工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明 24 小时内可完成第二道防线工程解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d .1 325 辆翻斗车完成的工作量为：a1a2a2525242512500，而需要完成(1 3)的工作量为 2420480.500480，在 24 小时内能构筑成第二道防线规律方法 1本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型

11、(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.跟踪训练跟踪训练2植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_米.【导学号：91432166】2 2 000000 假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项，20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为

12、S920201020202 000(米)9 8 210 9 2当当 堂堂 达达 标标固固 双双 基基1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若 3S3S2S4，a12，则a5( )A12 B10 C10 D12B B 通解 设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1(3a13 2 2d)d，解得da1，a12，d3，4 3 23 2a5a14d24(3)10.故选 B.- 6 -优解 设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd.a12，d3 2 23，a5a14d24(3)10.故选 B.2设Sn是等差数列an的前n项和

13、，若a1a3a53，则S5( ) 【导学号：91432167】A5 B7C9 D11A A 由题a1a3a53，3a33.a31又S55.5a1a5 25 2a3 23已知数列an的前n项和为Snn2，则( )Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1B B 由anSnSn1(n2)得an12n，当n1 时，S1a11 符合上式an2n1.4在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.190190 S19190.19a1a19 219 2a10 25已知等差数列an中，a1 ，d ，Sn15，求n及a12.3 21 2【导学号：91432168】解 Snn 15，3 2nn1 21 2整理得n27n600，解之得n12 或n5(舍去)，a12 (121)4.32(12)