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2022年版义务教育数学课程标准解读及学习心得体会 新旧课程标准的课程内容变化分析8 八、综合与实践 小学阶段综合与实践领域，主要是以主题式学习的形式，让学生感悟自然界和生活中的数学，在获取知识的同时，激发学习数学的兴趣.初中阶段综合与实践领域，可釆用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力. 【内容要求】 2022年版 2011年版 （1）在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题，逐步形成“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养. （2）用数学的思维方法，运用数学与其他相关学科的知识，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程，提升思维能力，逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养. （3）用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，经历用数学方法解决问题的过程，感悟科学研究的过程与方法，感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效，积累数学活动经验，逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养. （1）结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题. （2）会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验. （3）通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力. 【学业要求】（新增） 经历项目式学习的全过程.能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题；能独立思考，与他人合作，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案；能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型；能合理使用数据，进行合理计算，借助模型得到结论；能根据问题背景分析结论的意义，反思模型的合理性，最终得到符合问题背景的模型解答. 在这样的过程中，理解数学，应用数学，形成和发展应用意识、模型观念等；提升获取信息和资料的能力、自主学习或合作探究的能力；提升撰写研究报告的能力和语言表达能力.整合数学与其他学科的知识，完成跨学科实践活动，感悟数学与生活、数学与其他学科的关联，发展学习能力、实践能力和创新意识. 【教学提示】（新增） 项目式学习的关键是发掘合适的项目，要关注问题是否是现实的，还要关注问题是否是跨学科的；要关注学生是否能够解决问题，还要关注学生是否能够提出问题；要关注解决问题过程中的数学计算，还要关注解决问题过程中的数学表达.这在现阶段的数学教学改革中是一项新的课题. 注重引导学生通过小组合作或独立思考，经历发现和提出问题的过程.其中，提出问题是指提出合适的数学问题.从发现问题到提出问题，往往要经历从语言表达到数学表达的过程.其中，语言表达不仅包括日常生活语言，还包括其他学科的语言.教师要帮助学生感悟如何从数学的角度审视问题，在发现和提出问题的过程中，引导学生会用数学的眼光观察现实世界. 注重引导学生经历分析和解决问题的过程.问题是由学生自己或与他人交流中提出的，解决问题的过程要与提出问题的过程有机结合，积累解决实际问题的经验.教师要帮助学生感悟解决现实问题不仅要关注数学的知识，更要关注问题的背景知识，发现问题的本质与规律，然后用数学的概念、定理或公式予以表达.在建立数学模型的过程中，引导学生会用数学的思维思考现实世界. 最终要引导学生解释数学结论的现实意义，进而解决问题.在许多情况下，模型中的参数或重要指标与所要解决问题的背景资料有关，往往需要分析模型结论的合理性，主要是分析结论是否与现实吻合.如果有悖于现实，就需要调整模型，直至合理.在这样的过程中，让学生感悟重事实、讲道理的科学精神，体会数学表达的简洁与精确，引导学生学会用数学的语言表达现实世界. 根据“五四”学制不同学段目标要求，“五四”学制1~5年级课程内容应覆盖“六三”学制1~6年级绝大部分课程内容；“六三”学制其余课程内容在“五四”学制6~9年级中安排，且分布合理，为学生充分的实践、探究留出时空. 例89  体育运动与心率 以跨学科主题学习为载体，从体育运动的诸方面提出与健康或者安全有关的问题.例如：运动类型、运动时间与心率的关系；运动时间、性别与心率的关系；在有氧或无氧运动中，分析运动时间与心率的关系.     【说明】综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育运动与心率问题，可以作为“函数”主题中的项目学习.     由于项目学习的对象都是现实的、与其他学科有关的内容，在活动过程中，一方面要引导学生从数学的角度观察和分析问题，另一方面，也要启发学生从现实的角度思考和研究问题.例如，在体育运动与心率的探究活动中，数学的角度就是分析变量与变量之间的关系、建立表达式，现实的角度就是研究引发心率变化的主要因素、这些因素的影响程度如何.     在这样的活动中，学生经历运用数学与其他学科知识融合解决问题的过程，发展模型观念；经历合作交流、实践探索、批判反思、组织协调的过程，发展学习能力和实践能力；在了解体育运动的功能与生理机制的过程中，感悟科学的运动，养成积极乐观的生活态度.     可以设计如表14的活动过程.  表14  教学活动设计参考样例 学习任务 学生活动 教师组织 活动意图 1．提出体育运动与心率关系的问题. 1．围绕体育运动与心率的关系提出研究问题. 2．通过小组合作探究，设计研究问题的方案. 1．引导学生从不同的视角提出问题.2．引导学生从投入探究活动中的情绪情感、问题解决过程中的能力表现、小组团队协作能力和作品四个方面进行评价. 3．在学生遇到困难时，教师及时给予帮助，鼓励学生进行小组内部及小组之间的交流与合作. 1．学生会用数学的眼光发现并提出体育运动与心率之间可以研究的数学问题. 2．学生能够围绕问题设情计可行的研究方案，包括变量控制、数据的获取、整理与分析的方法等.3．学生能够以积极的状态投入探究活动中，在合作交流中探索问题解决的方法. 2.探究与解决问题.   1.小组根据自己设计的实验方案，收集数据.2.在实验的过程中，利用表格、函数图象等数学工具，观察、发现实验数据中的规律.利用所学知识对实验数据进行分析. 3.结合体育、生物学等知识，对结论进行修正. 1．及时关注学生实验方案中出现的问题，及时引导，帮助学生调整方案.2．引导学生在问题解决时聚焦问题的关键点，以及突破的策略、运用的数学知识与思想方法. 1．学生发展数学建模能力，能够选择恰当的模型解释与分析数据.2．学生能够综合运用数学、体育、生物学等知识判断结论的有效性. 3．实验设计、实施过程及成果展示. 1．小组分享自己的作品，介绍自己的想法和收获. 2．从数学的角度反思活动过程中运用的方法与知识. 引导学生对实验设计方案的可行性、数据获取方法的科学性、利用函数知识对数据进行整理与分析的有效性进行反思. 学生修正完善自已的实验方案，发展反思能力. 活动由数学教师主导实施完成，可以协同其他学科（如体育、生物学）教师或者班主任一起完成.如图36，这是一个开放性的活动，倡导通过团队合作的形式解决.可以分为课外、课内两部分：课外主要是提出研究问题、设计实验方案、获取数据；课内主要是在教师的引导下，整理和描述数据，利用函数、体育、生物学等知识分析数据之间的关系.    解决问题的方案将会是多元的，没有指向性的“标准答案”.教师在活动前需要分析学生可能遇到的困难点，在学生真正遇到困难时，采用恰当的引导策略帮助学生找到问题解决的方法.                  例90  绘制公园平面地图 为满足游客个性化需求，公园常常需要提供不同主题的地图.这个素材可以作为跨学科主题学习的载体，让学生自主选择某一场景，如文化古迹、景观、建筑、古树分布、植物分布、定向越野、美食等，提炼相应主题，综合运用数学、地理、美术等知识，绘制公园平面地图，创造性地完成活动任务.    【说明】可以作为图形与几何领域中的项目学习活动，与图形的变化、图形与坐标等主题关系密切.    在公园平面地图绘制活动中，学生综合运用数学、地理、美术等知识，从不同的视角聚焦主题，提出研究问题，体现了以下方面的育人价值.    第一，用数学的眼光观察现实世界，用数学和跨学科思维分析问题，运用数学与艺术等多种语言形式表达自己的想法和观点，感悟数学美，发展数学抽象与几何直观等数学关键能力；发展分析问题、解决问题、合作交流、实践探索、批判反思、组织协调等共通性素养；了解中华优秀传统文化的历史渊源、发展脉络、精神内涵及人文景观和地理地貌，增强文化自觉和文化自信，养成热爱劳动、自主自立、意志坚强的生活态度.    第二，在这样的项目学习中，教师要引导学生自主思考、团队合作，从不同视角提出开放性的研究问题，聚焦地图绘制提出解决方案；将空间中的景物关系抽象为平面图形及其位置关系，确定表达、建构恰当的坐标系，运用地图三要素（比例尺、图例、指向标）和美术相关知识绘制地图；综合运用数学、地理和美术等知识解决现实问题，学习用数学语言讲述现实世界的故事，逐步积累数学活动经验；发展设计与调整、组织与实施、沟通与表达的能力，培养实践与创新的能力；增强文化自信，形成尊重他人、乐于助人、勇于创新等良好品质.    可以设计如表15的活动过程. 表15  教学活动设计参考样例 学习任务 学生活动 教师组织 活动意图 1．课外活动探究. （在公园中选择某一场景特色主题，绘制公园平面地图） 1．在公园中，每个小组提炼出场景特色主题. 2．通过小组合作探究，运用数学、地理和美术等知识绘制平面地图. 1．引导学生理解场景特色主题的含义，引导学生从不同的视角提出问题. 2．引导学生从投入探究活动中的情绪情感、问题解决过程中的能力表现、小组团队协作能力和作品四个方面进行评价. 3．在学生遇到困难时，教师及时给予帮助，鼓励学生进行小组内部及小组之间的交流与合作. 1．学生能够提出有意义的主题，发展数学抽象与概括能力. 2．学生能够恰当地运用跨学科知识解决问题. 3．学生能够以积极的状态投入探究活动中，在合作交流中探索问题解决的方法. 2．课内作品展示与评价.（分享小组作品、展示交流与总结反思） 1．小组分享自已的作品，介绍作品设计的想法和收获. 2．小组根据评价标准对自己的作品和他组的作品进行评价. 3．从数学的角度反思活动过程中运用的方法与知识. 1．可以引导学生根据评价标准选出优秀作品，组织优秀作品分享；也可以全部分享后再评价. 2．引导学生在作品分享时聚焦问题提出的过程、合作解决问题的关键点，以及突破的策略、运用的数学知识与思想方法.3．引导学生从数学关键能力、共通性素养和合作问题解决等角度进行总结反思. 1．学生发展语言表达能力，能够清晰地表达自己的想法和观点的形成过程. 2．学生发展反思、总结与评价能力. 3．作品修正与调整.根据评价标准，改进自己的作品. 1．修正完善自已的地图. 2．课后撰写综合与实践活动感悟. 引导学生对地图作品进行完善，可从空间图形绘制、位置确定等方面给予恰当的指导. 学生修正完善自己的作品，发展反思能力. “绘制公园平面地图”是以平面直角坐标系相关知识应用为核心的跨学科实践活动.活动涉及不同的学科，例如，古树和植物主题会用到生物学的知识.文化古迹主题会涉及历史学科的知识；在绘制地图时，需要综合运用数学、地理、美术等知识.     活动由数学教师主导实施，可以协同其他学科教师一起完成，如地理教师、美术教师、生物学教师和历史教师等.根据学生特点，对涉及其他学科的内容倡导学生用学过的相关知识或自主拓展学习的知识完成.     “绘制公园平面地图”给学生提供了一个开放性的活动任务，学生从不同的视角提出具有开放性的研究问题，倡导通过团队合作来解决.如图37，活动可以分为课外、课内两部分，课外主要是提出绘制主题、完成作品绘制；课内主要是作品的展示与交流，在教师的引导下，聚焦核心素养.     在实践活动设计与教学实施中，秉持以学生为中心的基本理念.学生在这样一个涉及数学、地理、美术、生物学、历史、建筑等多学科内容的复杂问题情境中，聚焦主题，自主选择研究任务，提出并探索研究问题.在解决问题过程中，学生需要激发自己已有知识和经验，在小组合作交流中，创造性地解决问题.问题解决方向需要学生自已摸索，解决方案多元化，而非有指向性的“标准答案”.教师在活动前需要分析学生可能遇到的困难点，在学生真正遇到困难时，采用恰当的引导策略帮助学生找到问题解决的方法.     教学时，还可以选择其他场地替代本活动中的公园，如校园、社区、农场等.   例91  国内生产总值（GDP）调研 调查GDP，并对数据进行整理和分析.可以调查全国的，也可以调查一部分省份的；可以调查改革开放以来的，也可以调查其中一个阶段的. 【说明】调查GDP可作为统计与概率领域的项目学习活动，涉及经济、社会、金融等学科. 这样的活动可体现学科的育人价值.学生将经历有目的地查询数据的过程，理解GDP等经济学概念的意义，体验收集与整理数据的必要性；将经历用统计图表表达经济增长与时间的关系，感知我国改革开放以来经济的快速发展历程，感悟数学语言的表达功能；将提升学习数学的兴趣，提高民族自信心与自豪感. 在教师指导下，学生通过自主学习、合作探究，经历理解 GDP 等经济领域基本概念、查询我国（或某省） GDP 方面的信息、收集相关数据的过程，学会用数学的眼光发现并提出问题；通过对数据的整理，经历独立发现或团队分析，把握 GDP 的发展趋势，并尝试用合适的统计图表表达的过程，学会用数学的思维思考现实世界的规律、用数学的语言（函数、统计图表）表达现实世界的规律. 可以设计如表16的活动过程. 表16  教学活动设计参考样例 学习任务 学生活动 教师组织 活动意图 1，在自主学习理解 GDP 含义的基础上，提出问题. 1.学习理解 GDP的基本概念，会用具体实例解释、表述GDP. 2.通过小组合作探究，提出与GDP相关的问题. 1．引导学生理解 GDP 的概念. 2.引导学生用数学的眼光发现社会问题并提出问题. 1．通过自主学习新概念，让学生学会学习. 2．学生能够用数学的眼光发现并提出经济生活中蕴含的数学问题.3.学生学会用数学的方法描述、表达经济与社会中的问题. 2.收集并阅读与GDP相关的经济、社会方面的文献. 1.收集、整理我国（或某省）GDP 相关文献，从中获取研究数据.2.依据问题整理我国(或某省)GDP及相关方面的数据，为探究学习做数据准备. 1.指导学生收集、分析相关科普信息与文献.2.指导学生从中提取有助于解决问题的关键信息和统计数据.3.指导、总结、提炼收集数据和调查研究的基本方法. 1.提升学生信息收集与分析处理能力.2.GDP 实际意义超出了初中生的知识基础，学生可以合作学习，拓宽知识领域，提升自主学习能力，在用数学的过程中学会学习. 3.数据分析阶段. 基于我国（或某省）公开数据，分析、预测、解释. 1.帮助学生解决数据解释过程中遇到的各种疑问.2.引导学生使用合适的数学工具描述数据，探究进出口总量与GDP的关系、人均收入与 GDP的关系等，培养学生的模型观念、数据观念. 1.培养学生在复杂情境中，解决问题的能力.2.帮助学生综合运用函数、统计，以及经济学、社会科学等知识解决问题，提高分析、解决问题的能力. 4.研究成果应用、研究报告展示以及反思总结. 1.完成 GDP分析报告，了解我国经济发展领域取得的重要成就.2.小组分享自己的研究报告.3.总结小组研究的收获并反思、调整研究报告. 1.引导学生根据评价标准选出优秀研究报告，组织分享优秀报告；也可以全部分享后再评价.2.引导学生学会对数据结果进行分析，解释我国的经济发展情况.3.引导学生从经济与社会发展的视角反思GDP与社会可持续发展等深层次的问题. 1.引导学生将数据分析建模的研究结果应用于经济发展与社会学研究.2.学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，实现学科育人的目的. 教师要引导学生学习如经济学、地理等知识；启发学生从各个角度查询公开的统计数据，如国家统计局或各省统计局公布的数据；帮助学生合理运用表达方式，如折线图、趋势图、增长曲线、增减性；教会学生分析和理解数据所呈现的结果，感悟用统计学的语言表达随机现象的功效. 提倡小组合作形式，通过集体讨论，明确研究问题，设计研究方案，分工合作实施，提升综合实践的能力. 例92  样题：探究叠放杯子的总高度变化规律 图38是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，请自行定义常量与变量来建立一个函数，探究叠在一起的杯子的总高度随着杯子数量的变化规律.   【样题分析】该题要求学生能够根据图示，自定义合适的常量和变量，并利用函数描述杯子的总高度随杯子数量的变化规律.考查学生对函数概念的理解.正确作答该试题要求学生能够从数学的角度观察示意图，将问题情境抽象为数学情境，并能够运用函数的知识表示杯子总高度随杯子数量的变化规律.考查的核心素养为“会用数学的眼光观察现实世界”和“会用数学的思维思考现实世界”，核心素养的主要表现为抽象能力和运算能力. 在教学中应注意培养学生“会用数学的眼光观察现实世界”的能力，使学生意识到数学是一个能够解决现实问题的重要工具，培养学生对数学学科的兴趣，促进学生在日常生活中发挥数学的重要作用. 【参考答案】设杯子底部到杯沿底边高H ,杯沿高a（常量），杯子数量n（自变量），则总高度h=H+na. 例93  样题：公司招聘职员 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如表17. 表17  三名应聘者测试成绩   项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 （1）如果将学历、经验、能力和态度四项得分按1：1：1：1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么，谁将被录用？ （2）如果这家公司较看重员工的学历(其他三项比例相同)，你帮公司设计一个四项得分的比例，并以此为依据确定录用者，那么， 谁将被录用？ （3）如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，以此为依据确定录用者，并说一说你这样设计比例的理由. 【样题分析】这是一道社会情境的数学题，要求学生根据表格中的数据解决实际问题，考查了统计与概率领域的内容.正确作答该试题要求学生能够正确理解表格内容，分析题目要求，通过对数据的分析得到合理的结论，并能够用数学的语言表达自己的观点.考查的核心素养为“会用数学的语言表达现实世界"和“会用数学的思维思考现实世界”，核心素养的主要表现为数据观念和推理能力. 该样题的问题情境引导学生树立正确的价值观，在未来生活、工作中不能唯学历论，也要注重个人能力、工作态度等，引导学生正确规划自己的人生.教学活动中，教师在教授知识与技能的同时，应注重对学生情感、态度、价值观的培养. 【参考答案】 （1）直接相加，甲、乙各得29分，丙得30分，录用丙. （2）将学历、经验、能力和态度四项得分按3：1：1：1的比例加权平均，录用甲（2：1：1：1或4：1：1：1等能体现学历重要的比例设计均可）. （3）学生对自己设计的比例阐述理由，只要合理即可.如看重工作态度，有无经验均可，将学历、经验、能力和态度四项得分按2：1：2：3的比例加权平均，录用乙.