2022数学课程标准解读与实践：数学眼光的培养创新设计.docx

2022数学课程标准解读与实践：数学眼光的培养创新设计 一、基于数学抽象能力的案例分析——会用数学的眼光 数学是研究数量关系和空间形式的纯粹科学，而数学抽象正是研究此“纯粹状态”中的特殊能力，史宁中教授将其概括为“会用数学的眼光来观察世界”。换句话来说，是将数学还原于现实背景、回归于现实问题，以此抽象出现实世界中的数学模型。在2022年新课标中对“数学眼光”的解释主要包括以下五点： ①概念原型的理解——将知识回归于历史脉络中的原型。 ②研究对象的抽象——生活实践、自然现象、跨学科背景中事物的联系与规律。 ③数学原理的概括——对于数学概念、数学关系与数学结构的理解。 ④研究问题的策略——提出、表征、研究、解决有意义的数学问题。 ⑤抽象意识的形成——学生自动化形成对于外界事物研究的数学态度。 以上五点是学生抽象能力培养的具体内容，为教学过程提供了知识与技能、过程与方法、态度与价值观生成与建立的三维立体模型。抽象素养对于儿童的至关价值在于其潜在的爆发力，很多家长甚至老师都认为小学的内容较简单，即使学生通过死记硬背、机械记忆，也能考到高分，因此，就不够重视学生的抽象能力；但很多学生一升初中和高中，数学抽象度一旦提高，便感力不从心，只觉晦涩难懂，渐渐转变了自己曾经喜欢数学的初心，甚至出现了抗拒与厌学心理。这都与小学期间学习过程中抽象力度不够、知识记忆有余息息相关。 而若在小学期间，我们便抓住了学生抽象能力发展与培养的关键期，在此埋下一颗抽象的种子——从数感、量感、符号意识三个核心素养方面悉心灌溉，不骄不躁地耐心等待，可能这颗种子在小学期间发不了芽、接不了骨朵、开不了花，但我执着地相信，在未来的某一天，这颗孕伏已久的抽象之种终究会浮出水面，开启学生新的思维模式。 目前，在义务教育阶段，若要渗透数学抽象能力的核心素养，便要以数感、量感和符号意识三座大山为内容导向，从而在此基础上，逐渐实现学生用数学的眼光看待世界的意识与习惯。以下我将从这三个方面，以具体案例详细讲解抽象能力的培养方案。 （一）什么是数感？如何培养学生的数感？ 数感，是形成抽象能力的经验基础，是对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。2022年新课标对于数感的描述可总结为以下三点： ①理解真实情境中数的基本意义：序数/基数+感受。 ②合理进行真实情境中的估算：定标准+量化。 ③能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。 对于第一部分，笔者添加了“感受”一词，有数无感，不叫数感！凡是用数去描述现实生活，无不是表示一个序数或者是一个基数，但唯有让学生感受到这个数的存在意义，才能建立数感，譬如：一只可怜的蜗牛爬100米，需要25个小时，算下来平均每个小时走4米，与自己百米赛跑的成绩进行对比，学生能切切实实地感受到这只蜗牛爬得可真慢啊！这个100是一个基数，而蜗牛跑得慢是学生对此真实情境的感悟，两者的融合便是数感！ 对于第二部分，是对于一个真实情境赋予一个可能的数值，此举一定需要数感在背后做支撑！估测，虽可不准，但绝不是胡编乱造，而是在做“定标准，再量化”的思维工作。譬如：一栋楼里大概有多少个学生？对于此情境，若一个个地数就太麻烦了，若能以班级为标准，再以一层楼为标准进行估测便会简单许多，这也是数学“网格估测法”的奥妙所在，“估测”是数学计算过程中的简便策略。 前两个部分皆是在真实情境中，学生产生对于“数”的感和悟，经历了从现实世界到数学世界的横向数学化过程。而第三个部分则需要教师将学生置身于数学的抽象情境，让其纵向感受数的变化规律，这个过程在一定程度上与函数思想悄无声息地结合在了一起。譬如：学习10以内的减法算式时，我们会在单元的末尾呈现以下图表（10以内减法口诀表），在宏观上帮助学生建立梯级减法算式之间的联系，又从数学语言应用能力着手，尝试让学生探究并表达自己所发现的数量关系和简单规律，让学生表达何为变？何为不变？为何变？学生可能说的不那么尽如人意，却在无形中渗透着饱满的抽象。此表在课堂上的暂露头角，是“教学脱境”的大胆设计，虽没有现实情境做支撑，但结构化地联系了数与运算和数量关系等数感内容。 以上是新课标中的内容，那么如何具体来建立学生的数感呢？ 第一节：建立数感的四个关键点 1. 建立数感的第一个关键点——具身学习 要理解数感，首先得知道数是什么？数和数字又有什么区别？然后才能来谈“感”的事儿。在网上百度搜索“数”是什么？是如此描述的，"数"是数学中最基本的概念之一，它是表示事物在数量上的不同程度的基本数学概念。数字是用来记数的符号，通常也称数码。但如果我们直接和学生讲这句话，孩子们能理解是一件天方夜谭的事儿，这也意味着直接和孩子们讲数概念是行不通的，只能另辟蹊径：和孩子们具体讲讲“数，究竟是怎么形成的”。 无论是学习十以内的数、百以内的数还是千以内的数，或者更大的数，我们始终要记住这一点，数源自于数量，是对于数量的抽象。生活中是没有数这个概念的，都是以“数+量”的模型存在，而“数”唯带有量纲，才有其存在的意义和价值，比如：2只蝴蝶、5吨重、3头牛等等。 因此，数量，才是最接近孩子们生活本原的东西。 也因此，要理解“数是什么”的第一个关键点便是回归具体，建立表象。譬如：我们要给孩子们上“千以内数的认识”这节课，那么我们首先得思考以下两件事： 第一，生活中用千以内的数来表达的事物有哪些？在孩子们精彩的举例的过程中，逐渐拉进数和生活的紧密联系，孩子们也许说我的一本课外书大概是365页；一年有365天；可口可乐大概是500毫升；体育课我5分钟能跑500米；过年我收到了1000元；我一分钟能拍掌132次，在举例的过程中，学生初步感受到数的唯一性和数量的多样性。 第二，如何通过具体的活动，建立起学生对于千以内数的表象？表象的建立包括两个方面：回归具体的数数活动，经历一个一个、十个十个、百个百个地数数过程，胶囊化数数的方式由此渗透，也为万以内数的认识埋下伏笔；回归具体的表征活动，引导学生表征一个数是由几个百、几个十和几个一组成的，从纵向数学化出发，结合计数单位、进率和直观地内化数的大小。 2. 建立数感的第二个关键点——隐性数概念 数概念的获得，不是通过繁琐冗长的定义，而是通过具体的感觉来培养的，这便是数感的真实含义。那学生到底要对数什么产生感觉呢？ 我们知道学习数是一个横越一年级到五年级的事儿，每一次接触到的又大大小小不同的数，那么这些数之间究竟有没有什么共通的、可迁移的地方呢？教数学，只有脱掉马甲，发现数共同的本质内容，学生学起来才没那么费劲，不然数越学越大，最终真的变成一个天文数字了。 相通和可迁移的数感，隐藏每一个数的涵义之中，更隐藏在每一个数字的排列组合中；这个“感”贯穿了孩子们小学六年的学习时光，更横越了数域的界限，就似一个窗户纸，薄而隐性；这个理，便是我们常挂在嘴边的“进率、数位、计数单位”。 ①计数单位。读数和讲数的组成，离不开计数单位，567读作五百六十七，是由5个百、6个十、和7个一组成的，或者写成567=500+60+7。计数单位在读数和数的组成方面做出了背景支撑。 ②数位。譬如：199，这个1难道比9小吗？不，由于1站在了更高的辈分上，它的值便更大了，这便是位值制，而非位置制！999，三个老9，长得一模一样，难道意思是一样的吗？也不一样，位置不同，数的值也不同。 ③进率。计数器上，拨出999，个位再拨那么一个，会产生怎样得蝴蝶效应呢？是的，学生将经历三次满十进一，方能拨到1000。 计数单位、数位、进率，有了这三个臭皮匠，顶一个诸葛亮！每一节学习数的课，都不容忽视！马芯兰老师曾说过，对于单位这件事儿，再怎么强调都不过分！他们是学习数并建立数感的第二个关键点，更是内容结构化的起点和迁移点，从认知角度层面来说，第二个关键点带领着孩子们从数的具体走向了数的抽象。 数感的建立需在潜移默化中建立，又需在悄无声息中输出。这里的潜移默化是隐性、不可见数感意义的渗透，这里的悄无声息是孩子们从“百以内数的认识”迁移至“千以内数的认识”的自动化过程。 3. 建立数感的第三个关键点——估算 通过以上两个过程，孩子们已经建立起了数的抽象骨感，知道了满十进一的进率、了解了数位由百位向千位进军的涵义、又通晓了计数单位生长的来由，下一步也是建立数感非常关键的一步——估算，估算是对数的应用。 简单来说，估算的过程就是“定标准，再量化标准”的过程，给孩子们一堆零散的黄豆，学生抓抓后脑勺，不知道这是多少？但是换一种方式，我把这些零散的黄豆倒进杯子里，做好标记，告诉孩子们：这是100颗黄豆，请你再估一估这个杯子里又有多少个黄豆？ 此时孩子们会估了，为什么一下子又会估了呢？因为他们找到了100颗的标准，并把100颗自动化地叠加了3次，你并未告知孩子们叠加多少次，但是他们已经在不知不觉之中，自动化地经历了数的累加，而且他们不再像第一个具体表征阶段，100、100地语言表达了，就是直接在头脑中将100叠加3次。 难度再加大一点，如若就是想知道这瓶黄豆有多少颗，又不想一个一个地数，试问学生有什么简便方法吗？学生一定会千方百计地想出各种有意思的办法，将黄豆装进一个上下质地均匀的瓶子，并将其平均划分为多份，只倒出其中的一份实施数数的工作，最后将一份的黄豆数量乘以份数，便大约估出了整体黄豆的数量。学生成功地将数数的繁琐过程，转化为了数学中的运算思维，再一次从数的具体走向了数的抽象。 这是什么？这便是思维的简缩，对“数”抽象的表现，更是知识的内化所形成的自动化思维水平。心理学家曾提出学生思维水平的四个生长点：外部的原型操作、外部的语言表达、内部的语言表达、自动化的简缩思维。估算的过程，属于自动化的简缩思维，是渗透数感必不可少的一个环节。 4. 建立数感的第四个关键点——区间 “数感”建立的第四个关键点，便是区间的建立，它是数系的部分抽象展现，完整地属于符号化、抽象化的数学世界。区间的建立给我们课堂发出了一个什么信号？为什么小学和初中要学习数轴？为什么到了高中，要认识区间的表达？这些都在说一件事儿：数，永远不是孤立存在的，数与数之间皆存在着必然的联系，你是大一点儿的数，我是小一点儿的数，加上“>、<、=”符号，便存在了大小的关系；你比我大100，则我加上100等于你，在符号的参与下，数与数之间有了数量关系。 在小学阶段，数区间建立的难点在于拐弯数的突破！儿童学习数，一直以来，有几个非常关键的地方，也是最难教的地方。10以内数的认识难点是从9到10，百以内数的认识难点是从99到100的认识，千以内数的认识的难点便是999-1000。每一次转折都有新的数位产生，每一次转折都产生了无穷无尽的数朋友，数系也在10倍、10倍地增长和扩展。 那么很多老师教了10以内数的认识，又教了20以内数的认识，更教了100以内数的认识，可是当拿到“千”甚至“万”这些计数单位时，还是拿他们没办法：数这么大，从何下手呀？这是因为在“数的认识”的课堂中，缺少了一味一以贯之的草药，这便是包治百病的“数概念”。数的概念应该是一处通、百处通、处处通的，前后的“理”应是一气呵成的！你前面没有讲过“个和十”的关系，那么学生后面学习“十和百”、“百和千”之间的关系时，就会出现面临“迁移不过来”的问题！ 9和10什么关系？用大小来表达：9<10；用运算来表达：9+1=10，一次满十进一。 99和100什么关系？用大小来表达：99<100；用运算来表达：99+1=100，要经历两次满十进一。 如果今天要学习千以内的数了，我们再次问问学生： 999和1000什么关系？孩子们要学会举三反一地进行迁移和推理了，999+1=1000，要经历三次满十进一。 以下是一节千以内数的认识的梳理沟通课，沟通十以内的数、百以内的数和千以内的数之间的关系。 第二节：一年级，就要建立数感吗？ 画家追求空间的美感，搞音乐的人沉浸于乐器节奏的乐感，语言学家则重视语感的生成，而数学家或者学习数学者则是青睐数感的洗礼。 数感，是对于生活情境直觉性、主动性、自动化的数学思考。譬如：当孩子们眼前出现四根香蕉时，没有学习过数学的孩子们第一时间想到的是，香蕉是黄色的，是像月亮一样弯弯的；但经历过一段数学学习的孩子们，考虑问题开始逐渐渗入数感，他们开始忽略颜色，看到其数学本质，用一个集合4来表示整体的数量的多少，孩子们逐渐在数的过程中体会到：4不仅是在数的过程中表示最后一个物体的次序，而且它还表示整体的总数和数量。 因此数是对于数量的抽象，数感是以数学思维为基础的抽象思维感悟，是对于数与数量、数量关系及其运算结果的直观感悟，它同乐感、美感、语感一样，来自于直观的感觉，却经历了抽象的数学思维过程，最终的目的还是要回归到生活去找寻数学本质。 换句话来说，数感，不仅仅包含了直观的“感”，还存在抽象的“悟”，“感”是由外界刺激作用于主体之后，而产生的原始而具备经验性的成分，强调外在的、感官的几何直观刺激，还未达至大脑的主动性感知。而“悟”是主体主观产生的的一种对于数和数量的领悟，是由内向外的自觉性感知。 数感是孩子们知识迁移的催化剂，更是数学抽象的基础能力。叶蓓蓓认为，数感是由于数概念在人脑中的扩散，引起的人脑对于数字问题的敏感。所以，渗透数感首要的是在情境中建立数概念，然后提升数学敏感性，最终让数感变为一种生活常识来解决问题。比如:一个五年级的孩子站在操场上，却毫无数学感觉，既分不清东南西北，也估测不出操场的一圈跑道长度，这充分说明了这个孩子在数学数感方面的欠缺，久而久之，会变为数学常识素养的匮乏。 那，咱们刚是一年级的小宝宝，需要建立数感吗？ 请小伙伴们观察以下两幅图片（蓝色云朵打圈圈的地方），你就知道数感这个核心素养有多么的重要。这是沪教版数学一年级上册第一单元和第二单元——“10以内数的认识”和“10以内数的运算”两个部分，数感就像一张网，遍布了各处角落！ 一年级的知识较为简单，而上册的这两个单元就占据了数感的绝对霸主位置，可别小瞧了这简单的知识，简单的知识面前往往涵盖着数学的大道理！ 一年级的知识较为简单，而上册的这两个单元就占据了数感的绝对霸主位置，可别小瞧了这简单的知识，简单的知识面前往往涵盖着数学的大道理！