保险精算原理与实务讲义上.pptx

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1、1精算科学(Actuarial Science)精算科学是以概率论与数理统计为基础的，与经济学、金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科。在保险和社会保障领域，精算科学通过对风险事件及其损失的预先评价，实现科学的风险管理，为保险和社会保障事业的财务稳健发展提供基本保障。第1页/共217页2保险精算学的基本原理(1)要素未来事件不确定性财务收支预先评估(2)模型和方法模型：各因素相互关系的数学公式方法：借助精算模型实现预先评估(3)精算假设对未来风险发生规律的假设在过去经验的基础上，根据对未来的判断预先做出第2页/共217页3基本精算原理-例按照收支对等原则 如果1人投保1年期100,000元

2、寿险，假设1年内死亡概率4.3%，在不考虑保险公司的费用、投资收益、利润的情况下：保费=期望损失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）第3页/共217页4精算师精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师通过对风险和损失的预先评价，对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。第4页/共217页5精算师的主要职业领域保险公司（寿险、非寿险、健康保险）养老金计划社会保障银行、投资、公司财务、金融工程法律法规教育第5页/共217页6精算管理控制系统环境因素（法律、社会、人口、税收等）风险分析产品设计定价监测和分析经验数据偿付能力评估资产负债管理资产评估利润分析负债评估第6

3、页/共217页7怎样成为精算师考试制度：英国精算学会、北美寿险精算学、北美非寿险精算学会、美国养老金精算师学会、加拿大精算学会。教育认可制度：澳大利亚：初级课程认可，高级课程考试；德国、意大利、法国、瑞士、西班牙、荷兰、巴西、墨西哥等国家主要采取学历认可制度。国际精算协会的精算师后续教育制度第7页/共217页8精算职业发展1775年，英国的公平人寿社团最早将精算师引入保险领域。1848年，英国在世界上最早成立了精算学会1889年，美国精算学会1892年，法国精算学会1895年，国际精算协会2006年，中国精算师协会第8页/共217页9第二章 利息理论第9页/共217页10累积函数累积函数是单位

4、本金的累计额，以 表示。其中，。第10页/共217页11累积函数a(t)01ta(t)01ta(t)01t 图2-1 图2-2 图2-3a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。第11页/共217页12利息率利息率l1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率 第12页/共217页13单利和复利单利：只在本金上生息设第t年实际利率it，1年末

5、的累积额为:第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有第13页/共217页14单利和复利复利：在本金和利息上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有第14页/共217页15现值和贴现率第15页/共217页16现值和贴现率在复利下，第16页/共217页17现值和贴现率在单利下，第17页/共217页18现值和贴现率贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。d表示一年的贴现率:dn表示第n年贴现率:第18页/共217页19可见，di现值和贴现率第19页/共217页20现值和贴现率第20页/共217页21现值和贴现率第21

6、页/共217页22名义利率与名义贴现率名义利率:一年结算多次的规定的年利率。以 表示，m表示结算次数，第22页/共217页23名义利率与名义贴现率名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。以 表示，m表示结算次数，第23页/共217页24利息力利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。定义利息力为，故，第24页/共217页25年金年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。期首付年金期末付年金第25页/共217页26期首付年金现值=第26页/共217页27期末付年金现值=第27页/共217页28期首付年金终值第28页/共217页29期末付年金终值第29页/共217页30等额确定年金的

7、终值和现值n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图 第30页/共217页31一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，第31页/共217页32一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金现值以 表示，第32页/共217页33一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n年末的终值为，第33页/共217页34一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n年末的终值为，第34页/共217页35永续年金 定义：收付时期没有限制，每隔一个

8、间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。每年一元期末付永续年金现值为，第35页/共217页36永续年金其他永续年金现值为：第36页/共217页37变额年金变额年金是每次收付额不等的年金常见的有，每次收付额等差递增或递减每次收付额等比递增第37页/共217页38变额递增年金如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。第38页/共217页39变额递增年金两者相减后得代入上式后得 上述年金期首付时，年金现值为第39页/共217页40变额递减年金当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期

9、递减的期末付年金为，上述定期递减年金在期首付时，为 变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积第40页/共217页41等比递增年金对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：第41页/共217页42等额分期偿还等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。每次偿还金额为第k 期末的未偿还本金余额 贷款本金是B0，是Bk,还款期限为n 年，每年末还款，年实际利率为i 第42页/共217页43等额分期偿还表 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 1 R R(1-vn)Rv

10、nk R R(1-vn-k+1)Rvn-k+1 n R R(1-v)Rv0 总计总计 nR 第43页/共217页44变额分期偿还变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。原始贷款金额为B0，第k 期偿还的金额为Rk（k=1，2，,n）第44页/共217页45例 2.26一笔金额为nR元的贷款，年利率为i，期限为n 年，每年偿还R 元本金，其分期偿还表如下：时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 nR1 R(1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1)i(n-k+1)R R(n-k)R n R(1+i)iR R0 总计总计

11、 nR+i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR第45页/共217页46偿债基金偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。第46页/共217页47等额偿债基金等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j=i，则借款人每期支付总金额为，第47

12、页/共217页48变额偿债基金设原始贷款本金为B0，贷款利率为i，偿债基金利率为j，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk（k=1，2，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为(Rk iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始贷款本金B0，即，当i=j时，第48页/共217页49债券价值按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。基本符号和概念：P债券的理论价

13、格；i投资者要求的收益率或市场利率；F债券的面值；C债券的偿还值；r债券的息票率；rF每期的息票收入；g债券的修正息票率；n息票的偿还次数；K偿还值按收益率i 计算的现值；G债券的基价，第49页/共217页50债券价值n基本公式：n溢价公式：n基价公式：nMakeham公式：第50页/共217页51债券的账面价值整数息票支付周期的债券价格和账面值第k 期末的账面值为：任意时点的账面值第51页/共217页52第三章 生命表第52页/共217页53生命表相关定义生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口

14、和迁入或迁出人口。第53页/共217页54生命表基本函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,-1。ndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnqx：x岁的人在xx+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx第54页/共217页55生命表基本函数(1)(2)(3)第55页/共217页56生命表基本函数npx：xx+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。当n=1，简记为px。第56页/共217页57生命表基本函数nLx：x岁的人在xx+n生存的人年数。人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，xx+n岁

15、的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，第57页/共217页58n ：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。生命表基本函数nTx：x岁的人群未来累积生存人年数。在均匀分布假设下，第58页/共217页59生命表基本函数：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x岁的人在x+nx+n+1岁死亡的概率。：表示x岁的人在x+nx+n+m岁之间死亡的概率。第59页/共217页60生存分布一、新生儿的生存函数二、x岁余寿的生存函数三、死亡力四、整值平均余寿与中值余寿第60

16、页/共217页61nF(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。ns(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。新生儿在xz岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：新生儿的生存函数第61页/共217页62新生儿的生存函数生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，lx=l0s(x)而s(x)曲线形状如下图所示，第62页/共217页63x岁余寿的生存函数以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示nx岁的人在t时间内存活的概率tpx当x=0时，T(0)=X，正是新生儿未来余寿随机变量。nx岁的人在t时间内死亡的概率tqx第63页

17、/共217页64x岁余寿的生存函数考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁，tqx实际是一个条件概率第64页/共217页65nx岁的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示为：x岁余寿的生存函数第65页/共217页66整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数第66页/共217页67死亡力定义：的瞬时死亡率，简记死亡力与生存函数的关系第67页/共217页68死亡力第68页/共217页69实际上生命表x岁平均余寿正是T(x)随机变量的期望值死亡力第69页/共217页70死亡力n生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 01上的积分n生命表x岁生

18、存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在01上的积分n生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0上的积分 第70页/共217页71死亡力对于x岁期望剩余寿命 ，可以证明：第71页/共217页72整值平均余寿与中值余寿 nx岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，第72页/共217页73整值平均余寿与中值余寿 由于，所以 第73页/共217页74整值平均余寿与中值余寿 由于故，在死亡均匀分布假设下，故，第74页/共217页75整值平均余寿与中值余寿 中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年

19、龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以m(x)表示x岁的中值余寿，则即，第75页/共217页76非整数年龄存活函数的估计死亡均匀分布假设死亡力恒定假设巴尔杜奇(Balducci)假设第76页/共217页77有关非整数年龄的假设 使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)第77页/共217页78死亡均匀分布假设假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性

20、的。第78页/共217页79死亡均匀分布假设 (0t,0y,0t+y)第79页/共217页80当假设死亡力在xx+1上恒定时，(x为整数，0t1)，死亡力恒定假设 由死亡力的定义，第80页/共217页81死亡力恒定假设若以表示，有此时，第81页/共217页82巴尔杜奇(Balducci)假设以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0t1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即第82页/共217页83巴尔杜奇(Balducci)假设 （其中，0t1,0y1,0t+y1）此时，第83页/共217页84三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci第84页/共217页85生

21、命表的编制一、生命表编制的一般方法二、选择生命表第85页/共217页86生命表编制的一般方法 时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。Dx：某年龄x岁的死亡人数；：x岁的平均人数，即年初x岁人数与年末x岁人数的平均数，有时也用年中人数代替。第86页/共217页87nx岁的中心死亡率 （分年龄死亡率）为，生命表编制的一般方法 n生命表分年龄中心死亡率 ：生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例。第87页/共217页88生命表编制的一般方法在死亡均匀分布假设下，有，变换后，通

22、常 与 非常接近，实际中常用 近似 第88页/共217页89选择生命表选择生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择生命表的使用第89页/共217页90选择生命表函数关系第90页/共217页91第四章 多减因表第91页/共217页92定义研究同批人受两个或两个以上减因影响陆续减少的数学模型就是多减因模型。与生命表一样，多减因模型通常用多减因表的形式表示，称为多减因表。第92页/共217页93多减因表基本函数 ：确切年龄x 岁时，受(1),(2),（m)等m 个减因影响的人数。或

23、者说x 岁暴露于m 个减因下的人数。：xx+n 岁由(k)减因减少的人数，k=1,2,m，当n=1 时，记为 ：xx+n 岁由所有减因减少的总人数，当n=1 时，记为第93页/共217页94多减因表基本函数 ：xx+n 岁由（k）减因产生的减少概率，也就是（k）减因使（x）离开 的概率，当n=1 时，记 ：x 岁的人在xx+n 由所有减因导致的减少概率 ：x 岁的人在xx+n 保留在原群体中的概率第94页/共217页95减因力n与生命表死亡力类似，在多减因下也有减因力，xt时的总减因力定义为：第95页/共217页96中心减力n与中心死亡率的概念类似，在多减因分析中也有总中心减率和分减因中心减率

24、，以 表示总中心减率，定义为，第96页/共217页97n构成多减因表的各个减因都可以依各自独立的死亡力构成单减因表，把由多减因表的各个减因构成的单减因表称为联合单减因表，它是单独考虑各个减因时生成的生命表。设联合单减因表的存活函数联合单减因表第97页/共217页98各减因力的估计n恒定假设下n均匀分布假设下第98页/共217页99联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计第99页/共217页100联合单减因表的各减因均匀分布假设下的估计n当m=2 时，有，n当m=3时，有，第100页/共217页101第五章 人寿保险第101页/共217页102传统人寿保险产品传统个人寿险产品的被保险人是单个人，

25、以被保险人在保险期内死亡或生存为保险赔付或给付条件，预先规定保险金额的水平及其给付方式，并根据经验生命表和预定利率等预先确定保费水平和保单退保现金价值。在实践中，传统个人寿险产品又分为定期寿险、终身寿险、两全保险等。第102页/共217页103定期寿险均衡保费定期寿险简称为定期寿险，保险费在约定的缴费期内均衡缴付，通常缴费期与保险期相同。递增保费定期寿险的保险费在缴费期内递增，在实践中常见的递增保费定期寿险是每年更新定期寿险。保额递减定期寿险的死亡赔付金额随着已投保时期的延长而降低，保险费通常采取均衡方式。实践中最常见的保额递减寿险是以抵押贷款余额为死亡赔付额，以还款期为保险期的定期保险。第1

26、03页/共217页104两全保险定义：在规定的保险期内，如果被保险人死亡，保险人赔付死亡保险金，如果被保险人在保险满期存活，保险人给付生存保险金的保险产品。非分红保险根据精算假设和规定的保险金额确定保费和现金价值，投保人不分享公司红利。分红保险的投保人每年以红利方式分享公司利润的一部分，实际上相当于增加了保险金额，或者在规定的保险金额下减少了保险费。第104页/共217页105死亡年年末赔付寿险精算现值引例：定期寿险假如有100个40岁的人投保了1 000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3，各年预计的死亡人数为分别为1、2、3、4、5人，这时，每年的赔付支出及其折现值如

27、表4-1所示：第105页/共217页106保单精算现值将各年的赔付现值加总，可以得到发行100张保单的未来赔付支出现值（元）：所以，平均每一保单的未来赔付现值为134.68元。这一现值被称为这一保单的精算现值。第106页/共217页107(x)：x岁开始投保的人 ：对(x)的1单位元死亡年年末赔付的n年期定期寿险 的精算现值。：(x)在x+kx+k+1岁间死亡，年末x+k+1岁上的1单位 元赔付在利率i下折现到投保时的现值。：被保险人(x)在x+kx+k+1岁间死亡的概率 ：被保险人(x)在x+kx+k+1岁间死亡产生的死亡 赔付期望现值基本符号第107页/共217页108定期寿险定期寿险精算

28、现值在投保时一次性缴清方式的净保费称为趸缴净保费，也就是保单发行时的精算现值。第108页/共217页109终身寿险nAx：对(x)的1单位元死亡年年末赔付的终身寿险的精算现值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2上死亡，因此，终身寿险精算现值Ax正是(x)在各年死亡赔付期望现值之和。上式的求和上限实际为-x-1其中，是生命表极限年龄，-1是按生命表能够存活的最大年龄。第109页/共217页110生存保险 ：n年纯生存保险精算现值。定义：n年纯生存保险是以满期被保险人仍然存活为给付条件的生存保险。第110页/共217页111两全保险n ：对(x)的1单位元n年两全保险精算现值。n定义：对(x)的

29、1单位元n年两全保险，是对(x)的n年定期寿险和n年纯生存保险的合险。第111页/共217页112n ：对(x)的1单位元m年延期终身寿险的精算现值。n定义：对(x)的1单位元m年延期终身寿险，是从x+m岁起到被保险人终身止的1单位元寿险。延期m年终身寿险终身寿险可以看成由一个n年定期寿险与一个延期n年终身寿险组合 第112页/共217页113n ：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险的精算现值。n定义：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险是从x+m岁起到x+m+n年的定期寿险。延期m年的n年定期寿险 第113页/共217页114标准递增变额寿险定义：标准递增的变额寿险，是赔付额bK+1=

30、k+1，k是从投保开始到死亡时存活的整数年数的变额寿险。(IA)x：标准递增的终身寿险的精算现值。：标准递增的n年定期寿险的精算现值。第114页/共217页115标准递增变额寿险从标准递增定期寿险的意义出发，可以得出另外两个不同的公式：nn年标准递增的两全保险：是n年定期递增寿险精算现值与n年n单位元纯生存保险现值之和。其精算现值为，第115页/共217页116标准递减变额年金n定义：变额寿险当bK+1=n-k时，称为标准递减的定期寿险。n ：标准递减的定期寿险精算现值。第116页/共217页117死亡时赔付的寿险精算现值定期寿险：终身寿险：两全保险：（死亡均匀分布假设下）（死亡均匀分布假设下

31、）第117页/共217页118死亡时赔付的寿险精算现值终身递增寿险：n 年定期的死亡时赔付标准递增寿险：n 年标准递减的死亡时赔付寿险：（死亡均匀分布假设下）（死亡均匀分布假设下）（死亡均匀分布假设下）第118页/共217页119关于 的计算 n死亡时给付的寿险相当于把死亡发生年划分成m个相等的部分，在死亡发生的那个部分的期末给付，并对m趋于无穷大取极限。若以 表示在死亡发生的那个m部分末给付1 单位元的终身寿险现值，则，第119页/共217页120递推公式寿险现值的递推公式给出了相邻年龄上寿险现值的关系，为寿险现值的计算提供了一种工具，也有利于深入理解寿险现值的意义。对死亡年末赔付的1 单位

32、元的终身寿险，有，第120页/共217页121第六章 生存年金第121页/共217页122生存年金产品生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付，保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一定时期内的均衡缴付的方式。生存年金形式：l即期年金（immediate annuities）l延期年金(deferred annuities)l定期确定的生存年金l指数化年金l联合生存年金第122页/共217页123生存年金精算现值 纯生存保险：在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到规定的保险金额的保险。【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，将能从保险公司得到1 000元的一次性

33、给付。设利率i=6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。第123页/共217页124解：李明从20岁活到60岁的概率是 ，他在60岁获得这笔给付的期望值是：纯生存保险这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到：根据附表中国人寿保险业经验生命表（19901993年）（男女混合表）的资料得，l20=983 992，l40=877 671，可以计算得,所以，这笔给付的现值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。第124页/共217页125一般地：假设某人x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得到k单位元的保险金，（x）存活n年的概率为 ，得到给付金的期望现值为：表明现在x

34、岁的人有lx个，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。以 表示1单位元n年纯粹生存保险现值，即 纯生存保险变换上式得，第125页/共217页126与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系数，为在利率和生者利下n年的累积系数。纯生存保险它是利率累积因子(1+i)t与生存累积因子之积。第126页/共217页127年付一次生存年金的精算现值定义：生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否则，停止收付。一般类型：终身年金、定期年金、延期年金第127页/共

35、217页128终身生存年金【例6.3】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以每年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。解：代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。第128页/共217页129期首付终身生存年金一般地，对(x)的每年1单位元期首终身生存年金，其精算现值以表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和，如下图所示：其中，0Ex=1，求和上限实际是-x-1，为方便通常写成。第129页/共217页130期末付终身生存年金对（x）每年1单位元期末付终身年金，如下图所示：其精算现值以ax表示：第130页/共217页131定期生存年金n一般地，对（x）的每

36、年1单位元n年定期期首付生存年金，精算现值以 表示，n类似地，对(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金精算现值为：第131页/共217页132对（x）的n年延期每年1单位元延期期首付年金的精算现值以延期生存年金n年延期生存年金:从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金表示。根据定义,显然，第132页/共217页133延期生存年金n年延期的期末付终身生存年金现值为：同样地，第133页/共217页134延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一种组合形式。对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期首付生存年金，是从x+n起到x+n+m-1的生存年金。其支付情况下图所示：其精算现值以 或 表示，根据定

37、义,延期定期生存年金第134页/共217页135对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期末付生存年金，是从x+n+1起到x+n+m的生存年金。其精算现值以延期定期生存年金或 表示，根据定义：第135页/共217页136期首付年金和期末付年金精算现值的关系式。延期定期生存年金第136页/共217页137连续生存年金给付现值终身连续生存年金定期连续生存年金第137页/共217页138连续生存年金给付现值延期连续生存年金延期定期连续生存年金第138页/共217页139生存年金与寿险的关系第139页/共217页140n背景：实践中年金常常是每半年、一季度或一个月支付一次，由于生命表不直接提供非整数年龄

38、的存活概率和死亡概率，必须在一定的假设下近似计算。对（x）的每年给付1元，一年给付m次的期首付终身生存年金，其精算现值以 表示，这一年金在每个 (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保险人死亡为止。年付m次生存年金 第140页/共217页141近似公式n对（x）的每年1单位元，每次1/m的期末付的终身生存年金精算现值n对（x）的n年延期每年1单位元，一年m次收付的期末付生存年金精算现值n对（x）的n年延期每年1单位元一年m次收付的期末付生存年金精算现值n对（x）的每年1单位元，每次1/m的期首付的终身生存年金精算现值第141页/共217页142近似公式n对（x）的n年定期一年m次期末付年金，

39、精算现值为：n对（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算现值为：第142页/共217页143当 时，上面的年金称为终身变额年金。n变额年金：年金收付的数额随给付时期的不同而变动。n变额年金的精算现值是一系列收付款在利率和生者利下现值之和。如果对(x)的n年定期生存年金，给付额在年龄x，x+1，x+n-1上分别为 ，则精算现值（Actuarial Present Value，简记为 APV）为，变额生存年金第143页/共217页144n一年给付m次，期首付变额年金精算现值：n一年给付m次，期末付变额年金精算现值：变额生存年金第144页/共217页145如果年金收付额 系列为1，2，3 等差递增，

40、这一年金称为标准等差递增年金，对终身期首付标准递增年金，其精算现值用 表示，如下图所示：等差递增生存年金 第145页/共217页146n期末付终身标准递增年金精算现值，n期首付n年定期标准等差递增年金精算现值n期末付n年定期标准等差递增年金精算现值等差递增生存年金 第146页/共217页147等差递增生存年金为了得出数字结果，引入转换函数，设有，第147页/共217页148当变额年金收付额 系列为n，n-1，1等差递减时，这时期首付的年金现值以 表示，如下图所示：等差递减生存年金 期末付的年金现值第148页/共217页149设 ，即 上式成为，n实践中，某些给付确定型养老金计划和社会养老保险的

41、收付额等比例递增，这种等比例递增的年金精算现值有一个简化计算公式。n如果对(x)的n年定期期首付生存年金，给付额在年龄x，x+1，x+n-1上分别为b，b(1+g)，b(1+g)2，b(1+g)n-1，其精算现值为，（这是一个以利率j计算的给付额为b的确定年金的精算现值）等比例变额生存年金第149页/共217页150生存年金递推公式n可见，对(x)的终身生存年金的趸缴净保费，等于永续年金与一系列逐年因死亡不能得到的将来年金部分之差。第150页/共217页151第七章 保险费第151页/共217页152总保费与净保费的意义保险产品的出售价格就是购买保险必须缴付的总保费，或简称保费。理论上，保险产

42、品的总保费可以分为性质不同的两部分，一部分是作为保险金给付来源的保费，称为净保费或纯保费另一部分是作为保险公司补偿费用支出并获得一定利润的保费，称为附加保费。第152页/共217页153设保险金的现值为A，每次净保费为P，每次1单位的生存年金现值为 ，有：均衡净保费 A=P第153页/共217页154一般地，对(x)的1单位元n年定期寿险，保险金在死亡年末赔付，如保险费在t年内缴清(tn)，这时，年缴净保费用 表示，由收支平衡关系式，有，当缴费期与保险期限相等时，用 表示年缴净保费，定期寿险年缴净保费 第154页/共217页155净保费若保险金在被保险人死亡时赔付，t年限期缴费的年缴净保费以

43、表示，（在死亡均匀分布假设下）当t=n时，以 表示年缴净保费，（在死亡均匀分布假设下）第155页/共217页156对(x)的死亡年末赔付1单位元终身寿险，如果规定保费每年一次终身缴付，这时保险费的现值是终身生存年金精算现值，以Px表示这一保险的年缴均衡净保费，有，终身寿险年缴净保费 第156页/共217页157n死亡时赔付年缴净保费nn年缴清保费、1元死亡年末赔付终身寿险的年缴净保费nn年缴清保费、1元死亡时赔付终身寿险的年缴净保费终身寿险年缴净保费（在死亡均匀分布假设下）实践中，终身寿险往往采取在n年内缴费的方式。缴费期越多，保险公司收回成本的时间越短，相应的风险就越低。（在死亡均匀分布假设

44、下）第157页/共217页158当t=n时，年缴净保费以 表示，有，采取定期寿险和终身寿险相同的计算方法，很容易给出两全保险的年缴净保费计算公式。对(x)的1单位元n年定期两全保险，如果死亡赔付在死亡年年末，保费在t年内每年一次、均衡缴付，tn，这时，年缴净保费以 表示。两全保险年缴净保费 第158页/共217页159两全保险年缴净保费nt年缴清死亡时赔付两全保险的年缴净保费n在上式中，当t=n时的年缴净保费nn年1元纯粹生存保险，t年缴清的年缴净保费第159页/共217页160对（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1单位元，保费在t年内缴清(tn)。年缴均衡净保费以 表示，按照

45、保险金支付与净保费收入的平衡关系，有，延期年金年缴净保费 第160页/共217页161表示每年分次等额缴费的年缴净保费，表示每年元缴付次的年金现值，表示保险金现值，以收支平衡原则，有，如果保费每半年、一季、一月等缴付一次，这时未来净保费现值是一个一年多次收付的生存年金现值。如果以一年多次缴费的净保费 第161页/共217页162一年次缴费净保费计算公式 第162页/共217页163一年次缴费净保费计算公式 第163页/共217页164一年多次缴费的净保费期首支付，一年m次缴费的延期生存年金，年缴净保费：期末支付，一年m次缴费的延期生存年金，年缴净保费：第164页/共217页165退还保费保单的

46、净保费【例7.10】对(x)的n 年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付10 000 元外，还退还过去已缴净保费的累积，假设保险赔付在死亡年年末，保险费每年缴付一次，n年付清。计算下面两种情况下的年缴均衡净保费。(1)退还的保费部分不计利息。(2)退还的保费部分以不同于保单预定利率i 的利率j 复利累计。(3)退还的保费部分以保单定价预定利率复利累计。第165页/共217页166例题解答(1)设每年的净保费为P，如果退还的保费不计息，这时，在被保险人死亡年年末退还的保费部分是过去已缴净保费的累加，其给付以被保险人死亡为条件，故，构成一个定期递增的寿险，其收支平衡公式为，第166页/共

47、217页167例题解答(2)如果退还的保费部分以利率j 计息，退还保费部分的给付额是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值。即，其现值变量为，第167页/共217页168例题解答(3)如果退还保费的累积利率等于预定利率，这时在(2)中的E(w)成为，第168页/共217页169总保费在保险精算实务中，传统的总保费计算方法是将总保费分解为净保费和附加保费两部分，在净保费上，加上补偿费用和预防不利偏差的附加保费，形成总保费，这种方法称为净保费加成法。随着精算技术和计算机技术的发展，考虑更多未来变动因素的现金流量定价法开始使用，在这种方法下，保费不需要分解为净保费和附加保费，而是按照满足未来赔付或给付

48、、费用、退保、税金、红利等所有可能支出并获得合理利润的原则下，根据对未来现金流量的预测确定。第169页/共217页170净保费加成法固定比例法变动比例法三元素法第170页/共217页171现金流量法现金流量法是通过对一组保单未来保单年度预期收入和预期支出的估计，研究保单组随被保险人死亡、退保、分红、满期等的过程，在一定的定价策略和利润目标下，给出保单的定价。在现金流量方法下，对一个保单组，年度收入为保单组的所有保费收入和投资收入，年度支出包括保险赔付、费用、退保、满期给付、红利、准备金增加额等，年度利润就是年度收入与年度支出的差。这样，利润=保费+投资收入 费用赔付支出退保支出红利准备金增加第

49、171页/共217页172第八章 责任准备金第172页/共217页173准备金的意义准备金(reserve)：为将来某项支出而预先留存的储备金，是将来给付支出现值与将来净保费收入现值之差。准备金数额由准备金计算方法、相关的保险法律、法规、会计实务标准等决定。在保险实践中，给付准备金的积累保证了保险公司的到期偿付能力。第173页/共217页174准备金的种类 偿付能力准备金(Solvency Reserves)：为评估保险公司的偿付能力而计算的准备金。收入准备金(Earnings Reserves)：为评估收入和盈利而计算的准备金。(收益=保费收入+投资收入赔付支出展业费用维持费用准备金提存)税

50、收准备金(Tax Reserves)：为评估应税收入或应税收益而计算的准备金。第174页/共217页175净保费责任准备金计算方法未来法（prospective method）：责任准备金是保险人未来的净责任，用未来给付现值减去未来净保费现值来衡量。过去法（retrospective method）：责任准备金是保险人过去净保费收入大于赔付支出的部分，用过去净保费终值减去过去给付的保险金终值计算。第175页/共217页176将来法引例8.1 假如有100个40岁的人同时投保1 000元5年定期寿险，保费在5年内均衡缴付。设预定利率为6，预定死亡率采用CL 90-93表数据，保费缴付在保单年初，