复合材料力学讲义1.pptx

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1、非主方向的非主方向的xyxy坐标系下受力的正交各向异性简单层板坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数为：的表观工程常数为：简单层板在任意方向上的应力-应变关系第1页/共152页强度准则最大应力最大应变蔡-希尔霍夫曼蔡-胡第2页/共152页神七-出舱-太空行走尤里.加加林 约翰.格伦双子星座东方号-上升号-金鹰舱外宇航服-列昂诺夫1965-3-18 旋转 膨胀 190/min极限压力 210s 几公斤 2X3L水几千公里-乌拉尔山1965年6月 爱德华.怀特 双子星座 喷气机动枪 第3页/共152页复合材料力学重点内容简单层板的宏简单层板的宏观力学性能观力学性能简单层板的微简单层板的微

2、简单层板的微简单层板的微观力学性能观力学性能观力学性能观力学性能简单层板的应简单层板的应力应变关系力应变关系简单层板的强简单层板的强度问题度问题刚度的弹性力刚度的弹性力刚度的弹性力刚度的弹性力学分析方法学分析方法学分析方法学分析方法刚度的材料力刚度的材料力刚度的材料力刚度的材料力学分析方法学分析方法学分析方法学分析方法强度的材料力强度的材料力强度的材料力强度的材料力学分析方法学分析方法学分析方法学分析方法简单层板的宏简单层板的宏观力学性能观力学性能第4页/共152页复合材料力学重点内容经典层合理论经典层合理论层合板的层合板的强度问题强度问题层合板的应力层合板的应力应变关系应变关系刚度的刚度的特

3、殊情况特殊情况层间应力层间应力强度分析方法强度分析方法层合板设计层合板设计层合板的宏观层合板的宏观力学性能力学性能层合板的弯曲层合板的弯曲振动与屈曲振动与屈曲第5页/共152页简单层板的微观力学性能第6页/共152页考虑多组份材料的构成，组分之间的相互作用用什么样的增强相、基体及复合工艺，获得的复合材料的性能如何？材料性能如何随材料组份含量变化而变化？微观力学:研究材料性能时,详细地研究组分材料的相互作用,并作为确定不均匀复合材料性能的一部分宏观力学:假定材料是均匀的,组分材料的影响仅作为复合材料的平均“表观”性能来考虑如何预测复合材料性能的知识，对制造具有一定表观或宏观性能的复合材料来说是基

4、本的引 言第7页/共152页引 言用实验方法系统测定各种复合材料的宏观弹性特性和微观力学性能的关系涉及参数太多，费用巨大复合材料性能不稳定和试验误差，使试验结果较为分散单用试验手段很难获得全面的、系统的和有良好规律的结果，需要有理论配合微观力学研究改进复合材料宏观特性减少试验工作量反向推算复合材料中纤维和基体的平均特性第8页/共152页引 言简单层板的性能实验确定由组分材料的性能用数学方法求得微观力学方法来预测材料力学方法：对力学系统假设性能进行大量简化弹性力学方法：极值原理/精确解/近似解从设计的观点来看微观力学是宏观力学的助手局限性纤维和基体之间理想的粘接假设需要详细的实验验证第9页/共1

5、52页引 言目的用组分材料的弹性模量来确定复合材料的弹性模量用组份材料的强度研究复合材料的强度体积份数纤维（fibres）：Vf=纤维体积/复合材料总体积基体（matrix）：Vm=基体体积/复合材料总体积第10页/共152页引 言The void fraction第11页/共152页引 言Silver Copper Alloy reinforced with Carbon Fibers.In Borsic fiber-reinforced aluminum,the fibers are composed of a thick layer of boron deposited on a sma

6、ll diameter tungsten filament.第12页/共152页引 言Typical compositeTypical compositeTypical compositeTypical compositecross-section micrographcross-section micrographcross-section micrographcross-section micrographThe distribution of fibres is unhomogeneous.In order to build micromechanical models,simplify

7、ing assumptions are made on the packing of fibres.The most simple packing is the square packing as shown第13页/共152页引 言It is fairly straightforward to find an expression between the fibre volume fraction vf of such a square packing,the fibre diameter d,and the distance between fibre s：第14页/共152页引 言The

8、 fibre volume fractionTriangular packing of fibresTriangular packing of fibres第15页/共152页引 言Maximum packing is obtained in both packing models for d=s.It gives in the case of square packing vf-max=0.79,and for the triangular packing 0.91第16页/共152页引 言第17页/共152页引 言In the practice,fibre volume fraction

9、for composite based on unidirectional layers can be found in the range 0.5 to 0.8An other remark concerns the void contentTypical autoclave(pressure+vacuum)cured composite products have voids content varying from 0.1 to 1%Pressure bag(no vacuum)cured composites can have voids content in the order of

10、 5%第18页/共152页Mechanics of material approachA block of composite containing fibre and matrix is simplified to block containing two volumes.These two volumes are connected together and represent the matrix(m)and the fibre(f)with their respective properties and volume fractionsAn elasticity modulus is

11、then obtained by performing a simple experiment,where the two representative volumes are subjected to an average stress.Poisson effect are neglected第19页/共152页Mechanics of material approachBasic experiment for the Basic experiment for the transverse modulus transverse modulus(Reuss model)(Reuss model

12、)Basic experiment for the Basic experiment for the longitudinal modulus longitudinal modulus(Voigts model)(Voigts model)第20页/共152页引 言简单层板假设宏观均匀线弹性宏观地正交各向异性无初应力纤维假设均匀性线弹性各向同性规则地排列完全成一直线 基体假设基体假设基体假设基体假设 均匀性均匀性均匀性均匀性 线弹性线弹性线弹性线弹性 各向同性各向同性各向同性各向同性 界面假设界面假设界面假设界面假设 理想粘结，穿过界面理想粘结，穿过界面理想粘结，穿过界面理想粘结，穿过界面无应

13、变间断无应变间断无应变间断无应变间断 粘结不理想，其性能粘结不理想，其性能粘结不理想，其性能粘结不理想，其性能低于由微观分析得到低于由微观分析得到低于由微观分析得到低于由微观分析得到的结果的结果的结果的结果第21页/共152页粘结理论界面的粘结由纤维和基体之间粘着力引起的吸附和浸润相互扩散静电吸引化学键结合机械粘着界面对宏观弹性常数的影响远不如对强度影响，对E1和12的影响，也不如对E2和G12的影响大第22页/共152页Reinforcement Matrix InterfaceReinforcement Matrix InterfaceStrong interfacehigh streng

14、th、stiffness,low resistance to fractureWeak interfacelow strength、stiffness,high resistance to fractureWettability the extent to which a liquid will spread over a solid surface第23页/共152页Reinforcement Matrix InterfaceReinforcement Matrix InterfacedxlFSoap filmBy 1st law of thermodynamics:By 1st law o

15、f thermodynamics:Work done=increment in free energyWork done=increment in free energyF F dx=dx=dAdAWhere Where=free energy per unit area of=free energy per unit area of liquid gas interfaceliquid gas interfaceforce per unit length=surface tensionforce per unit length=surface tension第24页/共152页Reinfor

16、cement Matrix InterfaceReinforcement Matrix InterfaceThe necessary condition for spreading of the liquidThe necessary condition for spreading of the liquidliquidliquidSolidSolidgasgas GL SG SLDesign spreading coefficientDesign spreading coefficientSC SC 0 0 wetting occurs wetting occursSC SC 0 0 no

17、wetting is possible no wetting is possibleF F dx=dx=dAdA第25页/共152页ExampleExampleliquid:Epoxy：LG=40mJ/m2Solids:Alumina：SG=1100 mJ/m2polyethylene：SG=30 mJ/m2epoxy aluminaSC=1100 （SL+40）=1060 SLwetting is possibleepoxy polyethyleneSC=30（SL+40）=（SL+10）0No wetting is possible!第26页/共152页Reinforcement Matr

18、ix InterfaceReinforcement Matrix InterfaceBy force equilibrium(at the stop liquid front on solid)Contact angleContact angle第27页/共152页Interfacial BondingInterfacial Bondingmechanical bondingsurface roughness interlocking or keyingnormal compression force thermal contraction热收缩热收缩热收缩热收缩第28页/共152页Inter

19、facial BondingInterfacial BondingElectrostatic bondingcoulombic force short range of interaction第29页/共152页Interfacial BondingInterfacial BondingChemical bondingsecondary bonding（次价键）硅烷硅烷硅烷硅烷(类类类类););););氢化硅氢化硅氢化硅氢化硅;硅氢化物硅氢化物硅氢化物硅氢化物第30页/共152页Interfacial BondingInterfacial BondingReaction or inter di

20、ffusion bondingPolymers intertwining of molecules（分子链缠绕）Ceramics interphaseMetals (intermetallic compounds)PMCPMCCMC/MMCCMC/MMC第31页/共152页微观力学方法的基础代表性体积单元代表性体积单元：材料的最小范围或小块，分布于其上的应力和应变是宏观上均匀的，能够完全表征材料的所有特征从微观的角度上，由于材料的不均匀性，应力和应变是不均匀的，体积尺度是很重要的一般来说，在一个代表性体积单元中只有一个纤维，但也可能需要多于一根纤维（复合定义的内涵）单向复合材料简单层板中，纤维

21、的间距是代表性体积单元的一维，另外两维的一维是简单层板的厚度，或当厚度大于一层纤维厚度是纤维在后读方向的间距，第三维是任意的第32页/共152页微观力学方法的基础体积单元第33页/共152页Continuous-Aligned-Random FibresLongitudinal and Transverse LoadingContinuous&AlignedDiscontinuous(short)&AlignedDiscontinuous&RandomRelative strength,stiffness.第34页/共152页刚度的材料力学分析方法基本假设基本假设在单向纤维复合材料中，在单向纤

22、维复合材料中，纤维和基体在纤维方向上纤维和基体在纤维方向上的应变是一致的的应变是一致的纤维纤维1121LL基体基体基体基体垂直于垂直于1 1轴的截面在承载轴的截面在承载前是平面，在承载后仍然前是平面，在承载后仍然是平面是平面材料力学方法中最基本的材料力学方法中最基本的假设之一，在板、壳、梁假设之一，在板、壳、梁理论分析中经常用到理论分析中经常用到第35页/共152页纤维纤维1121LL基体基体基体基体刚度的材料力学分析方法表观弹性模量表观弹性模量表观弹性模量表观弹性模量E E E E1 1 1 1的确定：的确定：的确定：的确定：纤维方向表观弹性模量混合率表达式纤维方向表观弹性模量混合率表达式（

23、与试验的吻合程度（与试验的吻合程度8090%8090%）并联模型并联模型(iso-strain)(iso-strain)第36页/共152页ExampleCalculate the composite modulus for polyester reinforced with 60 vol%E-glass under iso-strain conditions.Epolyester=6.9 x 103 MPaEE-glass=72.4 x 10 3 MPaEc=(0.4)(6.9x10Ec=(0.4)(6.9x103 3 MPa)+(0.6)(72.4x10 MPa)+(0.6)(72.4x1

24、03 3 MPa)MPa)=46.2 x 10=46.2 x 103 3 MPa MPa第37页/共152页刚度的材料力学分析方法纤维纤维 2 22 21 1基体基体基体基体 2 2WW串联模型串联模型与试验值相比，较小，由于纤维随与试验值相比，较小，由于纤维随机排列，兼有串联和并联的成分机排列，兼有串联和并联的成分(iso-stress)(iso-stress)表观弹性模量表观弹性模量表观弹性模量表观弹性模量E E E E2 2 2 2的确定：的确定：的确定：的确定：第38页/共152页刚度的材料力学分析方法无量纲化无量纲化无量纲化无量纲化E E2 2/E/EmmE Ef f/E/Emm=1

25、0=10E Ef f/E/Emm=5=5E Ef f/E/Emm=1=11 1V Vf fVf=1Vf=1Vf=1Vf=1，预测的模量为纤维模量，预测的模量为纤维模量，预测的模量为纤维模量，预测的模量为纤维模量即使即使即使即使E E E Ef f f f=10E=10E=10E=10Emmmm，要提高横向模量，要提高横向模量，要提高横向模量，要提高横向模量到基体模量的两倍，需要到基体模量的两倍，需要到基体模量的两倍，需要到基体模量的两倍，需要50%50%50%50%以以以以上的纤维体积含量（理想粘接）上的纤维体积含量（理想粘接）上的纤维体积含量（理想粘接）上的纤维体积含量（理想粘接）第39页/

26、共152页刚度的材料力学分析方法假设的不完善性：在纤维和基体界面上的横向应变是不一致的与实验不符垂直于纤维和基体边界上的位移完全一致将形成精确解-弹性力学解法纤维和基体的泊松比不同，在纤维和基体中出现了纵向应力以及在纤维和基体界面出现了剪应力纤维纤维 2 22 21 1基体基体基体基体 2 2WW第40页/共152页刚度的材料力学分析方法纤维纤维 1 1WW2 21 1L L L L基体基体基体基体 W/2W/2E E E E1 1 1 1混合率表达式混合率表达式混合率表达式混合率表达式表观泊松比表观泊松比表观泊松比表观泊松比 12 2 2 2的确定：的确定：的确定：的确定：第41页/共152

27、页刚度的材料力学分析方法纤维纤维 2 21 1基体基体基体基体WW f f mm/2/2表观剪切模量表观剪切模量表观剪切模量表观剪切模量G GG G的确定：的确定：的确定：的确定：假设纤维和基体中的假设纤维和基体中的假设纤维和基体中的假设纤维和基体中的剪应力相等剪应力相等剪应力相等剪应力相等E E E E2 2 2 2第42页/共152页The inverse rule of mixtureThe inverse rule of mixtureThis relation is often called the inverse rule of mixture.Note again that th

28、e fibre transverse modulus should be used.This equation is generally known as being inadequate for predicting the transverse modulusThis is due to the fact the assumption made on the equality of the stress in the matrix and the fibre in the volume-in-series model is not valid in a real compositeThis

29、 can be shown on basis of strain energy approach第43页/共152页The inverse rule of mixtureThe inverse rule of mixtureA second reason for the inaccuracy of models for the transverse modulus composite based on orthotropic fibre(carbon and aramid)is that the fibre transverse modulus is difficult to measure(

30、and has actually never directly been measured)Quoted values for the transverse modulus of fibres are actually derived from the comparison between micromechanical model results and experiments.The same actually applies for the shear modulus of these orthotropic fibres第44页/共152页The inverse rule of mix

31、tureThe inverse rule of mixtureThe Reuss model can be improved by simply adding a matrix volume in parallel to the series model This geometrical model is an approximation of a square fibre packingParallel-series model forParallel-series model forthe transverse modulusthe transverse modulus(Reuss mod

32、el)(Reuss model)第45页/共152页Semi-empirical modelsSemi-empirical modelsThe Tsai-Hahn equations use similar assumptions as the inverse rule of mixture,but adds a stress partitioning factor in order to take into account the mismatch in stress in the fibre and in the matrix.The Tsai-Hahn equation for the

33、transverse modulus is:This equation gives for =1 the inverse rule of mixture.A similar equation can be written for the shear modulus第46页/共152页Semi-empirical modelsSemi-empirical modelsOther widely used equations are the Halpin-Tsai equations,which for the transverse modulus are:第47页/共152页ExampleCarb

34、on reinforced polyetherimide(PEI，聚醚)基体质量分数mm=41.4%，纤维体积分数Vf=51%面内性能测试和预报第48页/共152页Example混合律获得纵向弹性模量E1=109GPa第49页/共152页Example第50页/共152页Example第51页/共152页考虑材料处于二向应力状态时E2的确定简化假设沿纤维方向，纤维与基体的变形相等纤维与基体承受着同一横向应力利用两向应力状态下的应力应变关系（胡克定律），忽略纤维和基体界面上的剪应力，得出第52页/共152页考虑材料处于二向应力状态时E2的确定对某些复合材料有对对对对E E2 2修正不明显修正不明

35、显修正不明显修正不明显第53页/共152页考虑材料处于二向应力状态时E2的确定对碳/环氧复合材料，由于碳纤维很细，一般不用单丝而用加捻的纤维束，欧克凡尔（J.C.Ekvall）考虑了由于纤维约束引起在基体中的三向应力状态而得到了如下的混合率表达式加捻的纤维束增强了基加捻的纤维束增强了基加捻的纤维束增强了基加捻的纤维束增强了基体体体体第54页/共152页圆形截面纤维增强复合材料对E2的影响上述分析基于纤维的横截面为方形或矩形时导出实际为圆形，对模型进行修正欧克尔采用了折算半径的概念，令R=df/sdf为圆截面纤维的直径，s为纤维的间距sRdf折算半径实际上反映了纤折算半径实际上反映了纤折算半径实

36、际上反映了纤折算半径实际上反映了纤维含量体积比维含量体积比维含量体积比维含量体积比VfVf的影响的影响的影响的影响第55页/共152页圆形截面纤维增强复合材料对E2的影响经过复杂的数学演算和推倒，当 如果如果如果如果R=0R=0，即，即，即，即Vf=0Vf=0，全部为基体，全部为基体，全部为基体，全部为基体第56页/共152页刚度的材料力学分析方法conc.of fibersE-matrixE-fiber*Upper boundUpper boundLower boundLower bound(iso-strain)(iso-stress)Actual Values第57页/共152页上下限=

37、？第58页/共152页刚度的弹性力学分析方法刚度估算分为材料力学、弹性力学方法不严密夏米斯（Chamis）和森德克（Sendeckyj）把求刚度的微观力学方法分成许多类：网络分析法：纤维提供所有纵向刚度，基体提供横向剪切刚度及泊松比，比较保守，但仍有人用，缠绕复合材料材料力学法独立模型法用能量极值原理的变分法精确解，统计法，离散单元法半经验法和微观结构理论弹性力学弹性力学第59页/共152页刚度的弹性力学分析方法弹性力学的极值法Paul在1960年首次提出用弹性力学的极值法来讨论度多相材料弹性模量的上、下限分析合金（均匀分布和没有优先方向），材料是各向同性的基体的性能用m表示，弥散相的性能用d

38、表示第60页/共152页刚度的弹性力学分析方法满足上述条件最简单的关系是：满足上述条件最简单的关系是：时，混合律得出复合材料模量的上限时，混合律得出复合材料模量的上限假设复合材料组分对复合材料刚度起的作用正比于它们假设复合材料组分对复合材料刚度起的作用正比于它们的刚度和体积含量的刚度和体积含量第61页/共152页刚度的弹性力学分析方法 从复合材料的柔度从复合材料的柔度1/E1/E必须附和必须附和V Vmm=1=1时为基体的柔度时为基体的柔度 1/E1/Emm和和V Vd d=1=1时为弥散材料的柔度得到时为弥散材料的柔度得到柔度混合律柔度混合律 由此得到的复合材料的弹性模量为下限由此得到的复合

39、材料的弹性模量为下限.对于确定复合材料线弹性模量对于确定复合材料线弹性模量E的单向拉伸试验中，假设的单向拉伸试验中，假设应力和应变状态是宏观上均匀的，但在微观范围内，应力应力和应变状态是宏观上均匀的，但在微观范围内，应力和应变状态都不均匀。和应变状态都不均匀。在单向拉伸试验中：在单向拉伸试验中：应变能可以写成以下两种形式应变能可以写成以下两种形式第62页/共152页刚度的弹性力学分析方法最小势能原理：在所有的协调位移场中，真实位移场的势能最小最小余能原理：在所有的许可应力场中，真实应力场的余能最小第63页/共152页最小余能原理：（应力）最小余能原理：（应力）最小余能原理：（应力）最小余能原理

40、：（应力）物体表面作用着力（力矩），令物体表面作用着力（力矩），令证明：证明：表观弹性模量的下限表观弹性模量的下限不一定满足位移不一定满足位移不一定满足位移不一定满足位移连续条件和位移连续条件和位移连续条件和位移连续条件和位移边界条件边界条件边界条件边界条件 满足满足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场应力平衡方程和指定的边界条件的应力场，即容，即容许应力场，令许应力场，令U Uo o是由应力是由应力-应变关系式和应变能表达关系应变关系式和应变能表达关系式得到的特定应力场下的应变能式得到的特定应力场下的应变能第64页/共152页证明：证明：表观弹性模量的下限表观弹性模量的下限应变能表达关系式应

41、变能表达关系式由规定载荷引起的物体的实际应变能由规定载荷引起的物体的实际应变能U U不超过不超过U Uo o对于单向载荷试件，满足该载荷和应力平衡方程的内应力场为：对于单向载荷试件，满足该载荷和应力平衡方程的内应力场为：第65页/共152页证明：证明：表观弹性模量的下限表观弹性模量的下限应变能可写为：应变能可写为：不是常数不是常数不是常数不是常数与材料力学求得的模量一致第66页/共152页证明：证明：表观弹性模量的上限表观弹性模量的上限最小势能原理最小势能原理最小势能原理最小势能原理：（应变）：（应变）：（应变）：（应变）物体表面作用力为零外的表面有给定的位移，令物体表面作用力为零外的表面有给

42、定的位移，令 不一定满足应力平衡方程和指定不一定满足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场的边界条件的应力场 是任一满足指定位移边界条件的相容应变场，是任一满足指定位移边界条件的相容应变场，即容许应变场即容许应变场第67页/共152页证明：证明：表观弹性模量的上限表观弹性模量的上限U U*是由应力是由应力-应变关系式：应变关系式：和应变能表达关系式和应变能表达关系式得出的在得出的在 下下的应变能，因此，由规定的位移得到的物体中的实际应变的应变能，因此，由规定的位移得到的物体中的实际应变能能U U不超过不超过U U*第68页/共152页证明：表观弹性模量的上限证明：表观弹性模量的上限 使单轴向试件

43、承受一个伸长使单轴向试件承受一个伸长 L L，是平均应变，是平均应变，L L是试件长度，相应于试是试件长度，相应于试件边界上的平均应变的内应力场为：件边界上的平均应变的内应力场为：利用应力利用应力-应变关系应变关系第69页/共152页证明：表观弹性模量的上限证明：表观弹性模量的上限给定应变场下，基体的应力为：给定应变场下，基体的应力为：弥散材料的应力为：弥散材料的应力为：第70页/共152页证明：表观弹性模量的上限证明：表观弹性模量的上限代入应变能方程得到应变能表达式：代入应变能方程得到应变能表达式：第71页/共152页证明：表观弹性模量的上限证明：表观弹性模量的上限泊松比泊松比 是未知的，因

44、此是未知的，因此E E的上限也是未知的，按最小势能的上限也是未知的，按最小势能原理，应变能表达式原理，应变能表达式U U*必须对不确定的常数必须对不确定的常数 求极小值，以求极小值，以确定确定E E的界限，即：的界限，即：时时第72页/共152页证明：证明：表观弹性模量的上限表观弹性模量的上限由于基体和弥散相是各向同性的由于基体和弥散相是各向同性的由于基体和弥散相是各向同性的由于基体和弥散相是各向同性的总是正值总是正值总是正值总是正值第73页/共152页证明：证明：表观弹性模量的上限表观弹性模量的上限U UU U*相应于以泊松比为函数的最大、最小相应于以泊松比为函数的最大、最小相应于以泊松比为

45、函数的最大、最小相应于以泊松比为函数的最大、最小或拐点或拐点或拐点或拐点U U*为绝对极小值为绝对极小值第74页/共152页证明：证明：表观弹性模量的上限表观弹性模量的上限繁琐第75页/共152页证明：证明：表观弹性模量的上限表观弹性模量的上限如果如果PaulPaulPaulPaul的方法主要用来解决各向同性复合材料，也可以用来解的方法主要用来解决各向同性复合材料，也可以用来解的方法主要用来解决各向同性复合材料，也可以用来解的方法主要用来解决各向同性复合材料，也可以用来解释纤维增强复合材料，与材料力学方法得到的结果相一致释纤维增强复合材料，与材料力学方法得到的结果相一致释纤维增强复合材料，与材

46、料力学方法得到的结果相一致释纤维增强复合材料，与材料力学方法得到的结果相一致第76页/共152页刚度的弹性力学分析方法第77页/共152页刚度的弹性力学分析方法玻璃玻璃玻璃玻璃/环氧复合材料环氧复合材料环氧复合材料环氧复合材料上下限差得很大上下限差得很大上下限差得很大上下限差得很大HashinHashinHashinHashin（哈欣）和（哈欣）和（哈欣）和（哈欣）和ShtrikmanShtrikmanShtrikmanShtrikman（施特里特曼）（施特里特曼）（施特里特曼）（施特里特曼）试图缩小试图缩小试图缩小试图缩小PaulPaulPaulPaul给出的上下给出的上下给出的上下给出的上

47、下限，以得到不均匀各向同限，以得到不均匀各向同限，以得到不均匀各向同限，以得到不均匀各向同性材料模量更为有用的估性材料模量更为有用的估性材料模量更为有用的估性材料模量更为有用的估算算算算上限上限上限上限下限下限下限下限E E E EEmEmEmEmEfEfEfEfVfVfVfVf第78页/共152页刚度的弹性力学分析方法用同心球模型来处理不均匀材料这一材料如同在弹性基体材料中有一同心弹性球体，它与在复合材料总体积中的球形包含物的体积含量成比例此模型中虽然包含的球互不接触，但是随着球形部分体积百分比的增加，接触的可能性就增大，如果不接触，意味着球形部分完全理想排列，实际上是不现实的HashinH

48、ashinHashinHashin（哈欣）和（哈欣）和（哈欣）和（哈欣）和ShtrikmanShtrikmanShtrikmanShtrikman（施特里特曼）（施特里特曼）（施特里特曼）（施特里特曼）试图缩小试图缩小试图缩小试图缩小PaulPaulPaulPaul给出的上下给出的上下给出的上下给出的上下限，以得到不均匀各向同限，以得到不均匀各向同限，以得到不均匀各向同限，以得到不均匀各向同性材料模量更为有用的估性材料模量更为有用的估性材料模量更为有用的估性材料模量更为有用的估算算算算第79页/共152页空隙空隙纤维纤维基体基体刚度的弹性力学分析方法哈欣和罗森推广到纤维增强复合材料：哈欣和罗森

49、推广到纤维增强复合材料：考虑纤维的圆形截面，可以是空心或考虑纤维的圆形截面，可以是空心或实心的实心的规则的空心纤维规则的空心纤维规则的空心纤维规则的空心纤维六角形阵列六角形阵列六角形阵列六角形阵列第80页/共152页刚度的弹性力学分析方法哈欣和罗森的纤维增哈欣和罗森的纤维增强材料的几何形状和强材料的几何形状和复合材料圆柱体模型复合材料圆柱体模型不规则的空心纤不规则的空心纤不规则的空心纤不规则的空心纤维随机阵列维随机阵列维随机阵列维随机阵列纤维方向模量可用混合率纤维方向模量可用混合率横向模量的表达式十分复杂横向模量的表达式十分复杂第81页/共152页刚度的弹性力学分析方法精确解利用弹性力学知识，

50、求出精确解是十分复杂而困难的，但可以用其结果来比较材料力学方法的正确性多用圣维南半逆解法来解决很大程度上取决于复合材料的几何形状、排列和纤维、基体的特性第82页/共152页300刚度的弹性力学分析方法六角形阵列和代表性体积六角形阵列和代表性体积六角形阵列和代表性体积六角形阵列和代表性体积单元单元单元单元矩形截面纤维的交错式正方矩形截面纤维的交错式正方矩形截面纤维的交错式正方矩形截面纤维的交错式正方形阵列和代表性体积单元形阵列和代表性体积单元形阵列和代表性体积单元形阵列和代表性体积单元第83页/共152页刚度的弹性力学分析方法圆形截面纤维正方形阵列和圆形截面纤维正方形阵列和圆形截面纤维正方形阵列