清华大学弹性力学冯西桥FXQChapter能量原理A学习教案.pptx

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1、会计学1清华大学弹性力学清华大学弹性力学(l xu)冯西桥冯西桥FXQChapter能量原理能量原理A第一页，共113页。能量(nngling)原理Chapter 10 泛函的极值与变分 能量方法的一些基本概念 可能功原理(yunl)和功的互等定理 虚功原理(yunl)和余虚功原理(yunl)最小势能原理(yunl)和最小余能原理(yunl)弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法第1页/共113页第二页，共113页。变分与变分法Appendix Bp 泛函极值(j zh)问题p 函数的微分与变分p 复合函数的变分p 泛函的变分p 变分法 泛函的极值泛函的极值(j zh)(j z

2、h)与变分与变分第2页/共113页第三页，共113页。Appendix B.1泛函极值(j zh)问题 求条件极值的拉格朗日乘子法求条件极值的拉格朗日乘子法条件极值问题：求函数 在满足条件 下的极值。引入函数引入函数(hnsh)：驻值条件驻值条件(tiojin)：第3页/共113页第四页，共113页。Appendix B.1泛函极值(j zh)问题如果变量如果变量 J 依赖于在一定依赖于在一定(ydng)约束条件下函数关系可约束条件下函数关系可以任意变化的函数以任意变化的函数 y(x)，此，此y(x)称为自变函数，而依赖于自称为自变函数，而依赖于自变函数的变量称为泛函。变函数的变量称为泛函。泛

3、函泛函泛函：泛函：函数函数(hnsh(hnsh)：第4页/共113页第五页，共113页。Appendix B.1泛函极值(j zh)问题例例1 1 最短连线问题最短连线问题 连接连接 A A，B B 两点两点的曲线长度的曲线长度 L L 是随是随曲线形状曲线形状(xngzhun)(xngzhun)，即曲，即曲线方程线方程 y=y(x)y=y(x)而变的，它是自变而变的，它是自变函数函数 y(x)y(x)的泛函：的泛函：第5页/共113页第六页，共113页。Appendix B.1泛函极值(j zh)问题例例2 悬臂梁问题悬臂梁问题(wnt)悬臂梁悬臂梁-砝码系统的总势能砝码系统的总势能是悬臂梁

4、挠度曲线是悬臂梁挠度曲线 y(x)的泛函。的泛函。可以可以(ky)证明，使总势能证明，使总势能 取极小值的挠度曲取极小值的挠度曲线就是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。线就是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。第7页/共113页第八页，共113页。Appendix B.1泛函极值(j zh)问题左端受到约束边界条件：左端受到约束边界条件：右端是自由边界条件。右端是自由边界条件。在泛函在泛函 中容许出现中容许出现(chxin)与自变函数在无约与自变函数在无约 束端处的边界值束端处的边界值y(l)有关的项，称为边界项。有关的项，称为边界项。第8页/共113页第九页，共113页。Appendix

5、B.1泛函极值(j zh)问题当自变函数当自变函数 y(x)改变改变(gibin)时，泛函的值也将随之改变时，泛函的值也将随之改变(gibin)。定义：若泛函定义：若泛函 在在 状态下的值，比在状态下的值，比在 的邻域的邻域 内任意状态内任意状态 y(x)下的值都小（或都大），下的值都小（或都大），即即 则称泛函则称泛函 在状态在状态 下取极小值（或极大值），统称取极下取极小值（或极大值），统称取极值。值。或第9页/共113页第十页，共113页。Appendix B.2函数(hnsh)的微分和变分 微分微分(wi fn)：函数函数(hnsh)(hnsh)的微分和变分的微分和变分 变分：变分：第

6、10页/共113页第十一页，共113页。Appendix B.2函数(hnsh)的微分和变分函数函数(hnsh)y(x)的一阶导数的一阶导数 仍是自变量仍是自变量 x 的函数的函数(hnsh)。于是。于是 的变分为的变分为第13页/共113页第十四页，共113页。Appendix B.2函数(hnsh)的微分和变分 复合复合(fh)函数函数 复合复合(fh)(fh)函数的变分函数的变分 微分：微分：第14页/共113页第十五页，共113页。Appendix B.2函数(hnsh)的微分和变分 复合复合(fh)(fh)函数的变分函数的变分 微分微分(wi fn)：变分：变分：第16页/共113页

7、第十七页，共113页。Appendix B.3复合(fh)函数的变分又 高阶变分：高阶变分：第17页/共113页第十八页，共113页。Appendix B.3复合(fh)函数的变分由于变分由于变分y可以独立选择，与自变量可以独立选择，与自变量y及其各阶导数及其各阶导数(do sh)无关，所以变分无关，所以变分y（及其各阶导数（及其各阶导数(do sh)）对自变量对自变量y（及其各阶导数（及其各阶导数(do sh)的偏导数的偏导数(do sh)均为零，即均为零，即作为自变函数的增量作为自变函数的增量(zn lin)，y（及其各阶导（及其各阶导数）的高阶变分均为零，即数）的高阶变分均为零，即第18

8、页/共113页第十九页，共113页。Appendix B.4泛函的变分泛函和复合函数的区别泛函和复合函数的区别(qbi)是：复合函数依赖于自是：复合函数依赖于自变量变量x，而泛函则依赖于自变函数，而泛函则依赖于自变函数 y(x)。当。当x 给定后，立给定后，立即能算出复合函数即能算出复合函数F的一个相应值，但算不出泛函的一个相应值，但算不出泛函 J 的的值来，因为值来，因为J 和定义域内的所有（而不是一个）和定义域内的所有（而不是一个）x处的处的函数值函数值 F 有关。有关。泛函的变分泛函的变分第19页/共113页第二十页，共113页。Appendix B.4泛函的变分泛函泛函J的各阶变分：的

9、各阶变分：由变分由变分y引起引起(ynq)的泛函的泛函 J 的增量为：的增量为：第20页/共113页第二十一页，共113页。Appendix B.5变分法变分法的基本问题：在满足约束条件的容许变分法的基本问题：在满足约束条件的容许(rngx)函函数中，求能使泛函数中，求能使泛函 J(y(x)取极值的自变函数取极值的自变函数 ，若，若 其中其中 ；y(x)为为 邻域内的任意容许邻域内的任意容许(rngx)函数。函数。第21页/共113页第二十二页，共113页。Appendix B.5变分法泛函极值泛函极值(j zh)的必要条件（驻值条件）为泛函的一阶变的必要条件（驻值条件）为泛函的一阶变分为零，

10、即分为零，即泛函的极值的充分条件还需考虑泛函的极值的充分条件还需考虑(kol)二阶变分，即二阶变分，即若若 ，则还需看高阶变分的性质。，则还需看高阶变分的性质。第22页/共113页第二十三页，共113页。Appendix B.5变分法p 变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理 p设设 (x)是闭区间是闭区间 上的连续函数上的连续函数(hnsh)，y 是该区间上自变函数是该区间上自变函数(hnsh)y(x)的变分，如果的变分，如果 y 在满足约束条件的前提下任意变化时，下式始终在满足约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立成立 p则被积函数则被积函数(hnsh)(x)在区间在区间 上处处为零，

11、上处处为零，即即第23页/共113页第二十四页，共113页。一元自变函数的泛函驻值问题在域内y(x)应具有直到四阶的连续导数。在 x=a 处为约束(yush)边界，指定：在 x=b 处为自由边界。Appendix B.6欧拉方程(fngchng)和自然边界条件第24页/共113页第二十五页，共113页。Appendix B.6欧拉方程(fngchng)和自然边界条件根据两端根据两端(lin dun)的边界条件，变分的边界条件，变分y的边界的边界值应满足：值应满足：泛函泛函的驻值条件为：的驻值条件为：第25页/共113页第二十六页，共113页。Appendix B.6欧拉方程(fngchng)和

12、自然边界条件自然自然(zrn)边界条件边界条件欧拉微分方程欧拉微分方程(wi fn fn chn)第26页/共113页第二十七页，共113页。Appendix B.6欧拉方程(fngchng)和自然边界条件若令若令则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为即为材料力学中梁即为材料力学中梁(zhn lin)的挠度微分方程。的挠度微分方程。即第27页/共113页第二十八页，共113页。Appendix B.6欧拉方程(fngchng)和自然边界条件自然边界条件成：自然边界条件成：这就是自由端处剪力和弯矩的力边界条件。此外，基本边界条这就是自由端处剪力和

13、弯矩的力边界条件。此外，基本边界条件就是固支端的位移边界条件：件就是固支端的位移边界条件：这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度(nod)曲曲线。线。第28页/共113页第二十九页，共113页。能量(nngling)原理Chapter 10 泛函的极值与变分 变分提法的基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理(dngl)虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法第29页/共113页第三十页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1变分方法（能量法）：变分方法（

14、能量法）：考虑整个考虑整个(zhngg)(zhngg)系统的能量关系，建立泛函变系统的能量关系，建立泛函变分方程分方程在给定约束条件下，求泛函极值的变分问题在给定约束条件下，求泛函极值的变分问题 弹性弹性(tnxng)(tnxng)力学的微分提法和变力学的微分提法和变分提法分提法微分方法微分方法：u从微元入手，建立基本微分方程从微元入手，建立基本微分方程u在给定边界条件下求解微分方程的边值问题在给定边界条件下求解微分方程的边值问题第30页/共113页第三十一页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1p 变分问题的两种解法p 欧拉法：将变分方程转化为微分方程(wi fn f

15、n chn)（称为欧拉方程）进行求解。p 直接法：直接求解变分方程。第31页/共113页第三十二页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1 真实状态与可能状态 弹性力学的三类基本关系弹性力学的三类基本关系a)变形关系变形关系：几何方程和位移边界条件：几何方程和位移边界条件b)静力关系静力关系(gun x)：包括平衡方程和力边界：包括平衡方程和力边界条件。在静力关系条件。在静力关系(gun x)中只出现力学量，中只出现力学量，而与几何量无关。而与几何量无关。c)本构关系本构关系(gun x)：把力学量和几何量联系：把力学量和几何量联系起来。起来。第32页/共113页第三十三

16、页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基本关系的以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基本关系的真实状态。真实状态。本章本章(bn zhn)则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本关系的可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本关系的真实状态。系的真实状态。第33页/共113页第三十四页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1能量原理中的可能状态：能量原理中的可能状态：变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而

17、不管它变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状态。用右上是否满足静力关系和本构关系的任何变形状态。用右上角加角加(k)来表示来表示(biosh)。描述变形可能状态的基本量是变形可能位移描述变形可能状态的基本量是变形可能位移 和变形可能应变和变形可能应变 。第34页/共113页第三十五页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1经典能量原理中的可能状态有两类：经典能量原理中的可能状态有两类：可能位移：应连续，且满足给定的位移边界条件；可能位移：应连续，且满足给定的位移边界条件；可能应变：和可能位移应满足几何方程。可能应变：和可能

18、位移应满足几何方程。变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是真实变形状态。力学全部基本关系，它就是真实变形状态。真实变形状态是由物体真实变形状态是由物体(wt)所受载荷引起的，变形可能所受载荷引起的，变形可能状态则与给定载荷没有必然的因果关系。状态则与给定载荷没有必然的因果关系。第35页/共113页第三十六页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1虚位移虚位移(wiy)(wiy)：从某一可能位移：从某一可能位移(wiy)(wiy)到相邻的另一可到相邻的另一可能位移能位移(wiy)(wiy)

19、的微小位移的微小位移(wiy)(wiy)变化变化 ，记作，记作第36页/共113页第三十七页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1静力可能状态：满足静力关系（平衡方程和给定的力边静力可能状态：满足静力关系（平衡方程和给定的力边界条件），而不管它是否满足变形关系和本构关系的任界条件），而不管它是否满足变形关系和本构关系的任何平衡状态。何平衡状态。用右上角加用右上角加(s)的符号表示，如的符号表示，如静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时满足静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性弹性(tnxng)力学全部基本关系，它就是真实状态。力学全部基本关系，它就是

20、真实状态。虚应力：可能应力场的变分虚应力：可能应力场的变分第37页/共113页第三十八页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1 变形功、可能功与虚功广广广广义义义义力力力力：某某某某个个个个按按按按同同同同一一一一比比比比例例例例(bl)(bl)加加加加载载载载的的的的力力力力系系系系（如如如如：弯弯弯弯矩、扭矩）矩、扭矩）矩、扭矩）矩、扭矩）广广广广义义义义位位位位移移移移：与与与与所所所所作作作作用用用用的的的的广广广广义义义义力力力力求求求求内内内内积积积积等等等等于于于于功功功功的的的的几几几几何何何何量量量量（如：转角、扭角）（如：转角、扭角）（如：转角、扭角

21、）（如：转角、扭角）第40页/共113页第四十一页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1 变变变变形形形形功功功功：载载载载荷荷荷荷在在在在其其其其本本本本身身身身所所所所引引引引起起起起(ynq)(ynq)的的的的物物物物体体体体准准准准静静静静态态态态弹弹弹弹性性性性变形上所做的功。变形上所做的功。变形上所做的功。变形上所做的功。线弹性情况：线弹性情况：线弹性情况：线弹性情况：可可可可能能能能功功功功和和和和虚虚虚虚功功功功：载载载载荷荷荷荷在在在在任任任任何何何何运运运运动动动动可可可可能能能能位位位位移移移移（或或或或虚虚虚虚位位位位移移移移）上所做的功。上所做

22、的功。上所做的功。上所做的功。第41页/共113页第四十二页，共113页。载荷载荷载荷载荷 P P 在其本身所引起的在其本身所引起的在其本身所引起的在其本身所引起的 挠度挠度挠度挠度(nod)w(nod)w 上所做的变形上所做的变形上所做的变形上所做的变形功为：功为：功为：功为：假设梁产生一个变形可能位移，在假设梁产生一个变形可能位移，在假设梁产生一个变形可能位移，在假设梁产生一个变形可能位移，在A A点出的挠度点出的挠度点出的挠度点出的挠度(nod)(nod)值为值为值为值为 ，则载荷，则载荷，则载荷，则载荷 P P 在可能挠度在可能挠度在可能挠度在可能挠度(nod)(nod)上所做的可能功

23、上所做的可能功上所做的可能功上所做的可能功为：为：为：为：基本概念和术语(shy)Chapter 10.1wA第42页/共113页第四十三页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1 弹性应变能和弹性应变余能U 和 Uc 分别是物体应变场和应力场的单值泛函，与变形历史(lsh)无关。第43页/共113页第四十四页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1 真实状态真实状态(zhungti)的的 W 和和 Wc 满足如下互余关系满足如下互余关系 应力应变关系：应力应变关系：线弹性体：线弹性体：第44页/共113页第四十五页，共113页。总势能定义总势能定义

24、(dngy)(dngy)为：弹为：弹性体的应变能和载荷系统的性体的应变能和载荷系统的外力势之和外力势之和 ，即，即 基本概念和术语(shy)Chapter 10.1 弹性弹性(tnxng)(tnxng)系统的势能系统的势能第45页/共113页第四十六页，共113页。基本概念和术语(shy)Chapter 10.1应变(yngbin)能 体力(tl)势 面力势 外力势第49页/共113页第五十页，共113页。总余势能定义总余势能定义(dngy)(dngy)为：弹为：弹性体的应变余能和支承系统的性体的应变余能和支承系统的余能之和余能之和 ，即，即 基本概念和术语(shy)Chapter 10.1

25、弹性弹性(tnxng)(tnxng)系统的余能系统的余能第50页/共113页第五十一页，共113页。能量(nngling)原理Chapter 10 泛函的极值和变分 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理(dngl)虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法第53页/共113页第五十四页，共113页。可能(knng)功原理可能功原理(yunl)&功的互等定理Chapter 10.2第一状态(s)第二状态(k)第54页/共113页第五十五页，共113页。可能(knng)功原理&功的互等定理Chapter 10.2考虑状态考虑状态(s

26、)(s)中的体力、面力和可能应力在状态中的体力、面力和可能应力在状态(k)(k)的相的相应可能位移和可能应变上所做的功，分别为：应可能位移和可能应变上所做的功，分别为：利用利用(lyng)(lyng)边界条件和高斯积分定理，把面力功边界条件和高斯积分定理，把面力功 Ap Ap 改写成改写成第57页/共113页第五十八页，共113页。可能功原理(yunl)&功的互等定理Chapter 10.2 可能(knng)功原理即：第58页/共113页第五十九页，共113页。可能(knng)功原理&功的互等定理Chapter 10.2uu 物理意义物理意义物理意义物理意义uu 外外外外力力力力与与与与内内内

27、内力力力力构构构构成成成成自自自自平平平平衡衡衡衡力力力力系系系系，它它它它们们们们在在在在可可可可能能能能位位位位移移移移(wiy)(wiy)上上上上做做做做的总功为零的总功为零的总功为零的总功为零uu 适用性适用性适用性适用性uu 静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；静力可能状态和几何可能状态是完全独立的；uu 与本构关系无关，适用于任何连续介质与本构关系无关，适用于任何连续介质与本构关系无关，适用于任何连续介质与本构关系无关，适用于任何连续介质uu 可能应力和位移可能应力和位移可能应力和位移可能应力和位移

28、(wiy)(wiy)不要求是微小量，但要求不要求是微小量，但要求不要求是微小量，但要求不要求是微小量，但要求第60页/共113页第六十一页，共113页。可能功原理(yunl)&功的互等定理Chapter 10.2 功的互等定理（功的互等定理（Betti 互等互等定理）定理）把可能功原理用于线弹性体就可导出把可能功原理用于线弹性体就可导出把可能功原理用于线弹性体就可导出把可能功原理用于线弹性体就可导出功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理。第二(d r)状态(2)第一状态(1)第61页/共113页第六十二页，共113页。可能功原理(yunl)&功的互等定理Chapter 10.2先把第

29、一状态选作状态先把第一状态选作状态先把第一状态选作状态先把第一状态选作状态(s)(s)，第二，第二，第二，第二(d r)(d r)状态选作状态状态选作状态状态选作状态状态选作状态(k)(k)，则根据可能功原理有：则根据可能功原理有：则根据可能功原理有：则根据可能功原理有：再把第二再把第二再把第二再把第二(d r)(d r)状态选作状态状态选作状态状态选作状态状态选作状态(s)(s)，第一状态选作状态，第一状态选作状态，第一状态选作状态，第一状态选作状态(k)(k)，同，同，同，同理有：理有：理有：理有：第63页/共113页第六十四页，共113页。可能功原理(yunl)&功的互等定理Chapte

30、r 10.2对于线弹性体，由弹性张量的对称性得对于线弹性体，由弹性张量的对称性得对于线弹性体，由弹性张量的对称性得对于线弹性体，由弹性张量的对称性得这称为内功这称为内功这称为内功这称为内功(nigng)(nigng)互等定理。互等定理。互等定理。互等定理。这称为外功这称为外功这称为外功这称为外功(wigng)(wigng)互等定理或互等定理或互等定理或互等定理或BettiBetti互互互互等定理。等定理。等定理。等定理。第64页/共113页第六十五页，共113页。可能(knng)功原理&功的互等定理Chapter 10.2BettiBetti互等定理：互等定理：互等定理：互等定理：若线弹性体受

31、两组不同的力作用，则第一组力在第二若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二若线弹性体受两组不同的力作用，则第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。引起的位移上所做的功。引起的位移上所做的功。引起的位移上所做的功。优点：可以避免求解物体优点：可以避免求解物体优点：可以避免求解物体优点：可以避免求解物体(wt)(wt)内应力、应变和位移内应力、应变和位移内应力、应变和位

32、移内应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。适用性：线弹性体适用性：线弹性体适用性：线弹性体适用性：线弹性体 第65页/共113页第六十六页，共113页。可能功原理(yunl)&功的互等定理Chapter 10.2例第66页/共113页第六十七页，共113页。能量(nngling)原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理(yunl)，功的互等定理 虚功原理(yunl)和余虚功原理(yunl)最小势能原理(yunl)和

33、最小余能原理(yunl)弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法第67页/共113页第六十八页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3对可能位移取变分，即假想对可能位移取变分，即假想对可能位移取变分，即假想对可能位移取变分，即假想(jixing)(jixing)发生一个约束允许发生一个约束允许发生一个约束允许发生一个约束允许的、无限小的虚位移，根据可能功原理，有的、无限小的虚位移，根据可能功原理，有的、无限小的虚位移，根据可能功原理，有的、无限小的虚位移，根据可能功原理，有 虚功原理(yunl)（虚位移原理(yunl)）或其中(qzhng):第68页/共113页

34、第六十九页，共113页。正正正正定定定定理理理理：外外外外力力力力在在在在虚虚虚虚位位位位移移移移上上上上所所所所做做做做的的的的虚虚虚虚功功功功等等等等于于于于应应应应力力力力在在在在虚虚虚虚应应应应变变变变上上上上所所所所做的虚功，即做的虚功，即做的虚功，即做的虚功，即逆逆逆逆定定定定理理理理：凡凡凡凡是是是是总总总总能能能能满满满满足足足足虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理的的的的应应应应力力力力场场场场，必必必必定定定定(bdng)(bdng)是是是是与与与与外外外外力力力力相相相相平平平平衡衡衡衡，且且且且满满满满足足足足力力力力边边边边界界界界条条条条件件件件的的的的静静静静力力力力

35、可可可可能能能能应应应应力力力力场场场场。（满足虚功原理与满足平衡方程和力边界条件是等价的）（满足虚功原理与满足平衡方程和力边界条件是等价的）（满足虚功原理与满足平衡方程和力边界条件是等价的）（满足虚功原理与满足平衡方程和力边界条件是等价的）虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3pp 虚功原理的两种叙述虚功原理的两种叙述虚功原理的两种叙述虚功原理的两种叙述(xsh)(xsh)方式方式方式方式第69页/共113页第七十页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3uu用虚功原理解题用虚功原理解题用虚功原理解题用虚功原理解题(ji t)(ji t)的步骤：的步骤：的步骤：的步骤

36、：假假设设可可能能位位移移场场 ，它它包包含含n个个待待定定参参数。数。由几何方程和本构方程得到由由几何方程和本构方程得到由 对应的对应的应力应力 把把 求求变变分分，得得到到虚虚位位移移 和和虚虚应变应变 。由虚功原理解出各待定参数。由虚功原理解出各待定参数。第70页/共113页第七十一页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3uu例例例例2 2：求简支梁的挠度：求简支梁的挠度：求简支梁的挠度：求简支梁的挠度(nod)(nod)取：取：取：取：对位移对位移对位移对位移(wiy)(wiy)变分：变分：变分：变分：第71页/共113页第七十二页，共113页。虚功原理和余虚功原理

37、Chapter 10.3求内力求内力求内力求内力(nil)(nil)：第72页/共113页第七十三页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3代入虚功代入虚功代入虚功代入虚功(x n)(x n)方程，求待定方程，求待定方程，求待定方程，求待定系数：系数：系数：系数：得到得到得到得到(d do)(d do)问题的解问题的解问题的解问题的解:第73页/共113页第七十四页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3时时 精精 确确(jngqu)解：解：0.07%0.020818230.23%0.020785421.45%0.02053191n第74页/共113页第七十

38、五页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3 余虚功原理余虚功原理 可能功有两种变分形式可能功有两种变分形式可能功有两种变分形式可能功有两种变分形式:它对位移它对位移它对位移它对位移(应变应变应变应变)的变分称为的变分称为的变分称为的变分称为虚功虚功虚功虚功，对力，对力，对力，对力(应力应力应力应力)的变分则称为的变分则称为的变分则称为的变分则称为余虚功余虚功余虚功余虚功。把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生把可能功原理对可能应力取变分，即假定应力发生在一个静力允许的、无限小的虚变

39、化。则可导出在一个静力允许的、无限小的虚变化。则可导出在一个静力允许的、无限小的虚变化。则可导出在一个静力允许的、无限小的虚变化。则可导出 称为称为称为称为余虚功原理余虚功原理余虚功原理余虚功原理或或或或虚应力原理虚应力原理虚应力原理虚应力原理。第75页/共113页第七十六页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3p 余虚功原理的两种叙述方式p正定理：位移边界上的虚反力在给定位移上做的余虚功等于虚应力在可能应变上做的余虚功。p逆定理：凡是能满足(mnz)余虚功原理的变形状态，必定是满足(mnz)位移边界 条 件 的 协 调 的 变 形 状 态。（满 足(mnz)余虚功原理与满

40、足(mnz)协调方程和位移边界条件是等价的。）第76页/共113页第七十七页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3例例例例 求双跨梁求双跨梁求双跨梁求双跨梁B B点处的反力点处的反力点处的反力点处的反力R R。假设一个与外载相平衡的静力可假设一个与外载相平衡的静力可假设一个与外载相平衡的静力可假设一个与外载相平衡的静力可能反力内力能反力内力能反力内力能反力内力(nil)(nil)系系系系 相应梁内弯矩为相应梁内弯矩为相应梁内弯矩为相应梁内弯矩为(左段左段左段左段)：第77页/共113页第七十八页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3 令每个力参数相互独立

41、地发生微小令每个力参数相互独立地发生微小令每个力参数相互独立地发生微小令每个力参数相互独立地发生微小(wixio)(wixio)变化，相应变化，相应变化，相应变化，相应的梁内虚弯矩为：的梁内虚弯矩为：的梁内虚弯矩为：的梁内虚弯矩为：用本构关系用本构关系用本构关系用本构关系(gun x)(gun x)求用力参数表示的静力可能求用力参数表示的静力可能求用力参数表示的静力可能求用力参数表示的静力可能广义应变。静力可能曲率为广义应变。静力可能曲率为广义应变。静力可能曲率为广义应变。静力可能曲率为 第78页/共113页第七十九页，共113页。虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3在位移边界上给定三

42、个支点的位移为在位移边界上给定三个支点的位移为在位移边界上给定三个支点的位移为在位移边界上给定三个支点的位移为对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一个方程对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一个方程对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一个方程对每个力参数的微小变化可由与虚功原理导出一个方程(fngchng)(fngchng)，共得，共得，共得，共得mm个余虚功方程个余虚功方程个余虚功方程个余虚功方程(fngchng)(fngchng)。由由由由mm个余虚功个余虚功个余虚功个余虚功(x n)(x n)方程解出力参数：方程解出力参数：方程解出力参数：方程解出力参数：第79页/共113页

43、第八十页，共113页。能量(nngling)原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程(fngchng)弹性力学变分问题的直接解法第81页/共113页第八十二页，共113页。最小势能最小势能(shnng)(shnng)原理原理最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4假设该弹性系统是保守系统，存在假设该弹性系统是保守系统，存在假设该弹性系统是保守系统，存在假设该弹性系统是保守系统，存在(cnzi)(cnzi)总势能。总势能。总势能。总势能。第82页/共113页第八十三页，共113页

44、。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4真实真实真实真实(zhnsh)(zhnsh)状态的总状态的总状态的总状态的总势能为势能为势能为势能为 变形可能状态变形可能状态变形可能状态变形可能状态(zhungti)(zhungti)由由由由 和和和和 描述，仅满足变形关描述，仅满足变形关描述，仅满足变形关描述，仅满足变形关系系系系 它的总势能为它的总势能为它的总势能为它的总势能为第83页/共113页第八十四页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4两种状态两种状态两种状态两种状态(zhungti)(zhungti)的总势能之差为的总势能之差为的总势能之差为

45、的总势能之差为利用可能利用可能利用可能利用可能(knng)(knng)功原理，有：功原理，有：功原理，有：功原理，有：第84页/共113页第八十五页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4只要只要(zhyo)(zhyo)应变能函数应变能函数 W W 是凸函数，则有：是凸函数，则有：最小势能原理：在一切最小势能原理：在一切(yqi)(yqi)变形可能变形可能的状态的状态 中，真实状态的总势能最小。中，真实状态的总势能最小。第85页/共113页第八十六页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4 可以是有限量，并没有引进无限可以是有限量，并没有

46、引进无限小位移变分小位移变分u的概念，所以最小势能原理是一个的概念，所以最小势能原理是一个大范围极值原理大范围极值原理。第86页/共113页第八十七页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4这也是虚功原理在弹性保守这也是虚功原理在弹性保守(boshu)(boshu)系统中的特殊系统中的特殊形式。形式。最小势能(shnng)原理的变分形式：第87页/共113页第八十八页，共113页。最小余能原理真实状态(zhungti)ui，ij，ij 满足弹性力学基本关系和用余能表示的逆弹性关系它的总余能为 最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4第89页/共113页

47、第九十页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4静力可能状态仅满足静力可能状态仅满足(mnz)(mnz)静力关系静力关系它的总余能为：它的总余能为：在V 内在Su 内在S 内第90页/共113页第九十一页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4两种状态两种状态(zhungti)(zhungti)的总余能之差为：的总余能之差为：利用利用(lyng)(lyng)可能功原理，则有：可能功原理，则有：第91页/共113页第九十二页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4只要应变只要应变(yngbin)(yngbin)余

48、能函数余能函数WcWc是凸函数，必有是凸函数，必有最小余能原理最小余能原理：在一切静力可能状态中，：在一切静力可能状态中，真实状态的总余能最小。真实状态的总余能最小。第92页/共113页第九十三页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4以上证明以上证明(zhngmng)适用于小变形弹性力学范围适用于小变形弹性力学范围内的任何静力可能状态，真实的是大范围内的极内的任何静力可能状态，真实的是大范围内的极小值。小值。这也是虚余功原理在弹性保守系统中的特殊这也是虚余功原理在弹性保守系统中的特殊(tsh)(tsh)形形式。式。最小余能原理的变分形式：第93页/共113页第九十

49、四页，共113页。两个原理(yunl)的关系对于真实状态有：最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4由可得第94页/共113页第九十五页，共113页。最小势(余)能原理(yunl)Chapter 10.4于是于是(ysh)(ysh)有：有：第95页/共113页第九十六页，共113页。能量(nngling)原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理(dngl)虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法第100页/共113页第一百零一页，共113页。变分问题(wnt)的欧拉方程Chapter 10.

50、5例例 2 2 柱形杆扭转问题柱形杆扭转问题解：剪应力解：剪应力(yngl)(yngl)和扭转和扭转的应力的应力(yngl)(yngl)函数表达式函数表达式为为第106页/共113页第一百零七页，共113页。变分问题(wnt)的欧拉方程Chapter 10.5应变应变(yngbin)余能为余能为系统系统(xtng)总总余能为余能为第107页/共113页第一百零八页，共113页。变分问题(wnt)的欧拉方程Chapter 10.5第108页/共113页第一百零九页，共113页。变分问题(wnt)的欧拉方程Chapter 10.5于是于是(ysh)，可得欧拉方程：，可得欧拉方程：应力函数表示的协调