大数定律与中心极限定理.pptx

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1、1.1 1.1 特征函数的定义特征函数的定义第1页/共131页1.2 1.2 特征函数的计算特征函数的计算第2页/共131页例例 常用分布的特征函数常用分布的特征函数第3页/共131页第4页/共131页第5页/共131页第6页/共131页第7页/共131页1.3 1.3 特征函数的性质第8页/共131页证明第9页/共131页证明第10页/共131页证明第11页/共131页证明第12页/共131页证明第13页/共131页例例 常用分布的特征函数常用分布的特征函数第14页/共131页第15页/共131页第16页/共131页第17页/共131页解第18页/共131页第19页/共131页证明第20页/

2、共131页第21页/共131页证明第22页/共131页第23页/共131页证明第24页/共131页第25页/共131页第26页/共131页第27页/共131页第28页/共131页证明第29页/共131页证明第30页/共131页第31页/共131页解第32页/共131页解第33页/共131页第34页/共131页1.4 1.4 分布函数的再生性第35页/共131页第36页/共131页第37页/共131页第38页/共131页2 大数定律大数定律“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的

3、一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。第39页/共131页 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率第40页/共131页 定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对于任意正数,有第41页/共131页 定义:设Xk是随机变量序列，数学期望E(Xk)(k=1,2,.)存在，若对于任意 0，有则称随机变量序列Xn服从大数定律

4、.2.1 大数定律的定义大数定律的定义第42页/共131页定理(契比雪夫(Chebyshev)大数定律):设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),k=1,2,.,若存在常数C,使得D(Xk)C(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有证明2.2 大数定律大数定律车贝晓夫第43页/共131页第44页/共131页契比雪夫大数定律的特殊情况 推论:设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有 注:第45页/共131页 车贝晓夫大数定律表明，独立随机变量序列Xn，如果方差有共同的上界，则

5、与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1.随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是车贝晓夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述第46页/共131页 例:设Xk是相互独立的随机变量序列,均服从参数为的泊松分布,则Xk服从大数定律.证明:已知E(Xk)=,D(Xk)=,所以Xk满足契比雪夫大数定律的所有条件,故对于任意给定的0,恒有即Xk服从大数定律.第47页/共131页第48页/共131页证明第49页/共131页定理(伯努里大数定律):):设进行n n次独立重复试验，每次试验中事件A A发生的概率为p p，记n n为n n次试验中事件A A发生的频率，则对任意的0

6、,0,有证明证明第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则贝努里第50页/共131页由切由切比雪夫大数定律有比雪夫大数定律有第51页/共131页伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.（理论保障）第52页/共131页蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律 当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得的近似值.针长L线距a第53页/共131页解第54页/共131页第55页/共131页解第56页/共131页定理(泊松

7、大数定律):设Xk是两两不相关的随机变量序列:PXk=1=pk,PXk=0=qk 其中qk=1-pk,则对于任意给定的0,恒有 0(pk-qk)2=(pk+qk)2-4pkqk证明 4pkqk(pk+qk)2=1 E(Xk)=pk,D(Xk)=pk qk0,恒有第58页/共131页定理(马尔可夫大数定律):设随机变量序列Xk,若有马尔可夫条件则对于任意给定的0,恒有第59页/共131页解第60页/共131页第61页/共131页定理(辛钦大数定律):设Xk是相互独立同分布的的随机变量序列,若有数学期望E(Xk)=(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有 注:若对同一随机变量X进行观察,把第k次

8、观察的结果看着一个随机变量Xk,则Xk是相互独立且与X同分布的随机变量序列.由辛钦大数定律知:对随机变量X进行n次观察的算术平均值依概率收敛于其数学期望E(X),这就为寻找随机变量的数学期望提供了一条切实可行的途径.辛钦第62页/共131页解第63页/共131页3 随机变量序列的收敛性则称随机变量序列Xn依概率收敛于X,记为 定义：设Xn是随机变量序列,若存在随机变量X(或常数),对于任意0,有3.1 依概率收敛第64页/共131页 定理:设Xk依概率收敛于a,Yk依概率收敛于b,f(x,y)在点(a,b)连续,则f(Xk,Yk)依概率收敛f(a,b).证明:因f(x,y)在点(a,b)连续,

9、故对任给的0,存在0,当(x-a)2+(y-b)2 2时有|f(Xk,Yk)-f(a,b)|(Xk-a)2+(Yk-b)2 2|f(x,y)-f(a,b)|0,有不加证明地给出如下定理第72页/共131页 定理:若随机变量序列Xn以概率1收敛于X,则Xn依概率收敛于X.证明:显然对任意n有由于随机变量序列Xn以概率1收敛于X即Xn依概率收敛于X.第73页/共131页 定理:若随机变量序列Xn依概率收敛于X,则Xn依分布收敛于X.证明:设随机变量序列Xn和随机变量X的分布函数分别为Fn(x)和F(x),对任意的x,y R有Xy=Xnx,Xy Xnx,Xy Xn x Xn x,Xy从而F(y)Fn

10、(x)+PXn x,X y如果y x,Xy P|Xn-X|x-y0,(n)第74页/共131页同理,当xz时,有于是,当yx x,Xy P|Xn-X|x-y0,(n)第75页/共131页 例:抛掷一枚均匀的硬币,有两个可能结果 1=出现正面,2=出现反面,于是有P1=P2=1/2令则随机变量X的分布函数为第76页/共131页若令Y()=-X(),则Y()与X()有相同的分布函数F(x),再令Xn()=X(),则Xn()的分布函数Fn(x)=F(x),于是对任意的x R有但对任意识0=P2|X|=P|X|/2=1即不可能有Xn依概率收敛于Y.第77页/共131页 定理:随机变量序列Xn依概率收敛

11、于常数C的充要条件是:Xn的分布函数列Fn(x)弱收敛于常数C的分布函数F(x),即 证明:必要性已证,下面只证充分性.由于XC的分布函数为第78页/共131页对任意的0有P|Xn-C|=PXn C+PXn C-1-Fn(C+/2)+Fn(C-)由于Fn(x)弱收敛于F(x),并注意到F(x)的表达式只在C点不连续,从而即Xn依概率收敛于常数C.第79页/共131页3.5 弱收敛的判断方法由于此定理表明了分布函数与特征函数的一一对应关系有连续性,因此该定理称为特征函数的连续性定理第80页/共131页证明第81页/共131页第82页/共131页定理(辛钦大数定律):设Xk是相互独立同分布的随机变

12、量序列,若有数学期望E(Xk)=(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有证明第83页/共131页第84页/共131页3.6 强大数定律 定义:设随机变量序列Xn有有限的数学期望E(Xn),若则称随机变量序列Xn服从强大数定律.第85页/共131页 定理:设Xn是相互独立的随机变量序列,且都有相同的0-1分布:PXn=1=p,PXn=0=q其中0p1,q=1-p,则Xn服从强大数定律.定理:设Xn是相互独立的随机变量序列,且则Xn服从强大数定律.第86页/共131页 推论:设Xn是相互独立的随机变量序列,若存在常数C,对任意的n=1,2,都有D(Xn)105的近似值.解 易知E(Vk)=5,D

13、(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分布N(0,1),于是第97页/共131页第98页/共131页解第99页/共131页第100页/共131页解第101页/共131页第102页/共131页第103页/共131页4.3 二项分布的正态近似 定理(德莫佛-拉普拉斯极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn B(n,p),(op1),则对于任意x,恒有注:此为林德贝尔格-勒维定理的特殊情况.第104页/共131页 证明:设X1,X2,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布(PXi=0=1-p,PXi=1=p)的随机变量,则Yn=X1+X2+Xn由于E(Xi)=p,D(

14、Xi)=p(1-p)(i=1,2,n),由独立同分布的中心极限定理得第105页/共131页第106页/共131页例:蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率.解：将一枚匀称硬币抛掷4040次，记X表示正面出现的次数，X服从参数n=4040,p=0.5的二项分布。EX=2020，DX=1010，由于n较大，棣莫弗拉普拉斯极限定理，X近似服从正态分布.第107页/共131页第108页/共131页例(供电问题):某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工

15、率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?第109页/共131页用X表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验.依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：P(XN)0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）第110页/共131页由德莫弗-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是 P(XN)=P(0XN)这里 np=120,np(1-p

16、)=48由3准则，此项为0.第111页/共131页查正态分布函数表得由 0.999，从中解得N141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.3.1,故第112页/共131页第113页/共131页解若第i个对象收看此节目若第i个对象不看此节目第114页/共131页第115页/共131页例：设浙江林学院学生10000名，在周一晚上去自习的概率为0.7，假设彼此自习是相互独立的，设 X为周一晚上学生去上自习的人数.（1）写出X 的分布；（2）用切贝谢夫不等式估算周一晚上学生上自习的人数在68007200之间的概率的近似值；（3

17、）用棣莫弗-拉普拉斯定理计算周一晚上学生上自习人数在68007200之间的概率的近似值.第116页/共131页解:（1）（2）第117页/共131页（3）第118页/共131页例:在一家保险公司里有1000010000个人参加寿命保险，每人每年付1212元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得10001000元，问：(1)(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)(2)其他条件不变，为使保险公司有90%90%的把握一年的利润不少于6000060000元，赔偿金至多可设为多少？第119页/共131页解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中 n=1

18、0000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=10000 12-1000X于是由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X60000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;（2）设赔偿金为）设赔偿金为a元，则令元，则令由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于第121页/共131页 在前面介绍的中心极限定理中,不仅要求随机变量序列相互独立,而且要求它们同分布.而实际问题中的许多随机变量序列,说其具有独立性是合理的,但很难满足同分布的要求.为了解决此问题,引入下面的林德贝尔格条件:4.4 独立不同分布下的中心极限定理第122页/共131

19、页 定义:设Xk为相互独立的随机变量序列,且具有数学期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,记 (1)若Xk是连续型随机变量序列,密度函数列为pk(x),如果对任意的0,有 (2)若Xk是离散型随机变量序列,Xk的分布列为PXk=xkj=pkj,j=1,2,如果对任意的0,有则称Xk满足林德贝尔格条件.第123页/共131页 定理(林德贝尔格定理):设独立随机变量序列Xk满足林德贝尔格条件,则对任意实数x,有注:由林德贝尔格定理可以推出林德贝尔格-勒维定理:设Xk为相互独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2,若Xk为连续型随机变量,密度函数为pk(x)=p(x),则第124页/共131页第125页/共131页 定理(李雅普诺夫定理):设Xk为相互独立的随机变量序列,且具有数学期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,记若存在0,使得则对任意的实数x有第126页/共131页证明 只需验证Xk满足林德贝尔格条件.仍设Xk为连续型随机变量,密度函数为pk(x),则有第127页/共131页第128页/共131页解若学生答对第i题若学生答错第i题第129页/共131页第130页/共131页感谢您的观看！第131页/共131页