数学模型学习教案.pptx

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1、数学模型数学模型第一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2.1 系统(xtng)的微分方程第1页/共132页第二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决(qju)各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。l 数学模型数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量(binling)之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述静态数学模型：静态条

2、件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系变量之间关系(gun x)(gun x)的代数方程。的代数方程。动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。第2页/共132页第三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYl 建立(jinl)数学模型的方法 解析(ji x)法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律(gul)列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模数学模型应能反映系统内在的

3、本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第3页/共132页第四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域：微分方程微分方程 差分方程差分方程 状态方程状态方程复数复数(fsh)(fsh)域：域：传递函数传递函数 方框图方框图频率域：频率域：频率特性频率特性 线性与非线性线性与非线性数学模型的数学模型的 分布分布(fnb)(fnb)性与集中性与集中性性准确性和简化准确性和简化 参数时变性参数时变性第4页/共132页第五页，共132页。QINGDAO UNIVERSI

4、TYQINGDAO UNIVERSITYl 建立数学模型的一般(ybn)步骤 分析系统(xtng)工作原理和信号传递变换的过程，确定系统(xtng)和各元件的输入、输出量；从输入(shr)端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排第5页/共132页第六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 机械(jxi)平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fK(t)机械平移系

5、统(xtng)及其力学模型fC(t)第6页/共132页第七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统(xtng)可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧(tnhung)）的数量。第7页/共132页第八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 弹簧(tnhung)阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统(xtng)运动方程为一阶常系数微分方程。第8页/共132页第九页，共

6、132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq R-L-C无源无源(w yun)电路网络电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络第9页/共132页第十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY一般(ybn)R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统(xtng)简化为：第10页/共132页第十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第11页/共132页第十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDA

7、O UNIVERSITY电枢控制(kngzh)式直流电动机这里输入是电枢电压这里输入是电枢电压uaua和等效到电机转和等效到电机转轴上的负载转矩轴上的负载转矩MLML，输出，输出(shch)(shch)是转是转速速w w 电枢电枢(din sh)(din sh)回路方程为回路方程为 其中其中e ea a 为反电势为反电势Km称为电动机称为电动机电磁力矩常数电磁力矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程，再根据牛顿定律可得机械转动方程此时激磁电流为常数，所以此时激磁电流为常数，所以kd称为电动机称为电动机反电势常数反电势常数 电机通电后产生转矩电机通电后产生转矩第12页/共132页第十三页，共13

8、2页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY分别称为分别称为电磁时间常数电磁时间常数和和机电时间常数机电时间常数其中其中 和和分别是分别是转速与电压传递系数转速与电压传递系数和和转速与负载转速与负载和和传递系数传递系数。第13页/共132页第十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感(din n)、电容、液感、液容 等）的个数。系统的动态特性(txng)是系统的固有特性(txng)，仅取决 于系统的结构及其参数

9、。本章(bn zhn)作业：2.4(a)2.11第14页/共132页第十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY随动系统(xtng)的例子：第15页/共132页第十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2）放大器）放大器-发电机励磁发电机励磁 3）发电机）发电机-电动机组电动机组4）传动机构）传动机构1）电位器组）电位器组第16页/共132页第十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY整理整理(zhngl)得：得：代入参数代入参数(cnsh)得

10、得:第17页/共132页第十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2.2 非线性数学模型的线性化 线性系统(xtng)与非线性系统(xtng)可以(ky)用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；q 线性系统线性是指系统满足(mnz)叠加原理，即：可加性：齐次性：或：第18页/共132页第十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY线性系统满足线性系统满足(mnz)(mnz)叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理，而非线性系

11、统则不满足(mnz)(mnz)叠加原理。叠加原理。系统系统(或微分方程或微分方程)满足线性性质满足线性性质(xngzh)(xngzh)就是满足叠加原理，就是满足叠加原理，或者说，满足叠加原理的系统或者说，满足叠加原理的系统(或微分方程或微分方程)就称为线性系统就称为线性系统(或微分方程或微分方程)。线性定常系统线性定常系统(xtng)(xtng)第19页/共132页第二十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY用非线性微分方程描述(mio sh)的系统。非线性系统不满足叠加原理。q 非线性系统(xtng)为分析方便，通常在合理(hl)的条件下，将

12、非线性系统简化为线性系统处理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。第20页/共132页第二十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY线性系统优点线性系统优点(yudin)(yudin)：可以应用叠加原理可以应用叠加原理(yunl)(yunl)，以及应用线性理论对系，以及应用线性理论对系统进行分析和设计统进行分析和设计线性系统缺点线性系统缺点(qudin)(qudin)：有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的分析和综合是非常

13、复杂的；线性化定义线性化定义将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。第21页/共132页第二十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY假设：假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量在控制系统整个调节过程中，所有变量(binling)(binling)与平衡与平衡工作点之间只会产生足够微小的偏差工作点之间只会产生足够微小的偏差以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的

14、绝对值，而是它们对额定绝对值，而是它们对额定(dng)(dng)工作点的偏差工作点的偏差第22页/共132页第二十三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY例：液压伺服机构数学模型的线性化例：液压伺服机构数学模型的线性化第23页/共132页第二十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY()，第24页/共132页第二十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY当预定(ydng)工作条件：q(x0,p0)=0,x0=0,p0=0则：q=q,x=x,p=p

15、第25页/共132页第二十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 第26页/共132页第二十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYl 线性化处理线性化处理(chl)的注意事项的注意事项 线性化方程的系数(xsh)与平衡工作点的选择有关；线性化是有条件(tiojin)的，必须注意线性化方程适 用的工作范围；某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理。第27页/共

16、132页第二十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYinout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性第28页/共132页第二十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2.3 2.3 拉氏变换拉氏变换(binhun)(binhun)及其反变换及其反变换(binhun)(binhun)l 拉氏变换拉氏变换(binhun)的定义的定义 设函数(hnsh)f(t)(t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：则函数f(t)的拉普

17、拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；第29页/共132页第三十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYF(s)称为函数(hnsh)f(t)的拉普拉氏变换或象函数(hnsh)，它是一个复变函数(hnsh)；f(t)称为F(s)的原函数(hnsh)；L为拉氏变换(binhun)的符号。l 拉氏反变换拉氏反变换(binhun)的定义的定义 L1为拉氏反变换的符号。第30页/共132页第三十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYl 几种典型函数几种典型函数(hnsh)的拉氏变换的拉氏变

18、换 q 单位(dnwi)阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数101 )(1)(10=sesdtettLstst第31页/共132页第三十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 指数函数(zh sh hn sh)（a为常数）指数函数0tf(t)1第32页/共132页第三十三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 正弦(zhngxin)函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由欧拉公式(gngsh)，有：第33页/共132页第三十四页，共132

19、页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY从而：同理：第34页/共132页第三十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 单位(dnwi)脉冲函数(t)0tf(t)单位脉冲函数1由洛必达法则：所以：第35页/共132页第三十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 单位速度(sd)函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1第36页/共132页第三十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 单位(dnwi)

20、加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接(zhji)或通过一定的转换得到。第37页/共132页第三十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq幂函数的拉氏变换(binhun)第38页/共132页第三十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYl 拉氏变换的主要拉氏变换的主要(zhyo)定理定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数(chngsh)；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)q a，b为常数

21、(chngsh)；显然，拉氏变换为线性变换。微分定理 第39页/共132页第四十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY同样有：式中，f(0)，f(0)，为函数(hnsh)f(t)的各阶导数在t=0时的值。第40页/共132页第四十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY当f(t)及其各阶导数(do sh)在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第41页/共132页第四十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 积分(jfn)定理 当初始条件为零时

22、：同样：当初始条件为零时(ln sh)：第42页/共132页第四十三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 延迟(ynch)定理 设当t0时，f(t)=0，则对任意(rny)0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第43页/共132页第四十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 位移(wiy)定理 例：第44页/共132页第四十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 初值定理(dngl)初值定理建立了函数(hnsh)f(t)在t

23、=0+处的初值与函数(hnsh)sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。终值定理(dngl)终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。第45页/共132页第四十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 卷积定理 f(t)和g(t)的卷积可表示(biosh)为：其中(qzhng)，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第46页/共132页第四十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 时间(shjin)比例尺的改变例：第47页/共132页第四十八页，共132页。QI

24、NGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要(xyo)将将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。分分式的拉氏变换在表中可以查到。直接按公式求原函数太复杂直接按公式求原函数太复杂(fz)，一般都用查拉氏，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接必须是一种能直接查到的原函数的形式。查到的原函数的形式。l拉氏反变换拉氏反变换(binhun)(binhun)方法方法第48页/共132

25、页第四十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY例例1：例例2：第49页/共132页第五十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY例例3：第50页/共132页第五十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYF(s)只含有不同只含有不同(b tn)的实数的实数极点极点称为s=pi极点处的留数于是(ysh)：第51页/共132页第五十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第52页/共132页第五十三页，

26、共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY有共轭极点有共轭极点(jdin)例：例：第53页/共132页第五十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY有重极点有重极点(jdin)假若假若(jiru)F(s)有有L重极点重极点,而其余极点均不相同。而其余极点均不相同。第54页/共132页第五十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第55页/共132页第五十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第56页/共

27、132页第五十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第57页/共132页第五十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第58页/共132页第五十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2.4 2.4 系统系统(xtng)(xtng)的传的传递函数递函数 2-4-1 传递函数的概念传递函数的概念(ginin)和定义和定义 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统(xtng)输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。零初始条件：q t0时，

28、输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；第59页/共132页第六十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY式中：（t）输入(shr)，（t）输出为常系数(xsh)设系统(xtng)或元件的微分方程为：称为传递函数第60页/共132页第六十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 几点结论(jiln)传递函数是复数s域中的系统数学模型，是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应(xingyng)微分方程中的各项系数

29、对应相等，完全取决于系统结构参数；与系统的输入无关。若输入给定(i dn)，则系统输出特性完全由传递函 数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性。第61页/共132页第六十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY传递函数的概念主要适用于单输入单输出(shch)系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数是复变量(binling)s 的有理真分式，即nm；传递函数的

30、概念通常只适用(shyng)于线性定常系统；传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。第62页/共132页第六十三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY令：则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定(judng)着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。特征方程第63页/共132页第六十四页，共132页。QINGD

31、AO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 其中：其中：传递系数传递系数(xsh)(xsh)；-zi -zi 零点（零点（i=1,mi=1,m）；）；-pj -pj 极点（极点（j=1,nj=1,n）。）。表示成零点、极点(jdin)形式：系统传递函数的极点系统传递函数的极点(jdin)(jdin)就是系统的特征根。零点就是系统的特征根。零点和极点和极点(jdin)(jdin)的数值完全取决于系统的结构参数。的数值完全取决于系统的结构参数。传递函数的表示形式第64页/共132页第六十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY

32、零、极点(jdin)分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形(txng)称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图012312-1-2-3-1-2j第65页/共132页第六十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY写成时间常数形式：分别称为(chn wi)时间常数，K称为(chn wi)放大系数第66页/共132页第六十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY若零点或极点(jdin)为共轭复数，则一般用

33、2阶项来表示。若 为共轭复极点(jdin)，则：或其系数(xsh)由 求得；式中：或：第67页/共132页第六十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY传递函数列写大致步骤：方法(fngf)一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法(fngf)二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量整理成传递函数的形式 传递函数求解(qi ji)示例 第68页/共132页第六十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVE

34、RSITYq 质量-弹簧-阻尼(zn)系统的传递函数 所有(suyu)初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义(dngy)，系统的传递函数为：第69页/共132页第七十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq R-L-C无源(w yun)电路网络的传递函数 所有(suyu)初始条件均为零时，其拉氏变换为：第70页/共132页第七十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第71页/共132页第七十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq求电枢(d

35、in sh)控制式直流电动机的传递函数方程(fngchng)两边求拉氏变换为：令 ，得转速对电枢电压的传递函数：令 ，得转速(zhun s)对负载力矩的传递函数：第72页/共132页第七十三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2-4-2 2-4-2 2-4-2 2-4-2 典型典型典型典型(dinxng)(dinxng)(dinxng)(dinxng)环节及其传递函数环节及其传递函数环节及其传递函数环节及其传递函数任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节(hunji)所组成。G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(

36、s)Xo(s).G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)Xo(s)第73页/共132页第七十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY式中：或：第74页/共132页第七十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY由上式可见(kjin)，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般(ybn)，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：第75页/共132页第七十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSIT

37、Y比例(bl)环节：K一阶微分(wi fn)环节：s+1二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：第76页/共132页第七十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入(shr)，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：或：因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节延迟环节 。第77页/共132页第七十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 比例(bl)环节 输出量不失真、无惯性(gunxng)地跟随输入量，两者成比例关系。其运动(y

38、ndng)方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。第78页/共132页第七十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY比例(bl)环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器第79页/共132页第八十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 惯性(gunxng)环节 凡运动方程(fngchng)为一阶微分方程(fngchng)：形式的环节(hunji)称为惯性环节(hunj

39、i)。其传递函数为：T时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关式中，K环节增益（放大系数）；第80页/共132页第八十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY如：弹簧(tnhung)-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC第81页/共132页第八十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第82页/共132页第八十三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 微分(wi fn)环节 输出量正比(zhngb)于输入量的微分。运动

40、方程为：传递函数为：式中，微分(wi fn)环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。第83页/共132页第八十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第84页/共132页第八十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY除了上述纯微分环节(hunji)外，还有一类一阶微分环节(hunji)，其传递函数为：微分环节的输出(shch)是输入的导数，即输出(shch)反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。第8

41、5页/共132页第八十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 积分(jfn)环节 输出量正比于输入量对时间(shjin)的积分。运动方程为：传递函数为：式中，T积分环节(hunji)的时间常数。第86页/共132页第八十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY积分(jfn)环节特点：输出量取决于输入量对时间的积累过程(guchng)。且具有记忆功能；具有明显(mngxin)的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时

42、的值A。第87页/共132页第八十八页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY如：有源积分(jfn)网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a第88页/共132页第八十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 振荡(zhndng)环节 含有两个独立的储能(ch nn)元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：第89页/共132页第九十页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY式中，T振荡环节的时间常数

43、 阻尼比，对于(duy)振荡环节，01 K比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准(biozhn)形式为（K=1）：n称为(chn wi)无阻尼固有频率。第90页/共132页第九十一页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY若 ，传递函数有一对(y du)共轭复数极点。y(t)t0单位(dnwi)阶跃响应曲线极点(jdin)分布图第91页/共132页第九十二页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY如：质量-弹簧-阻尼(zn)系统传递函数：式中，当时，为振荡环节。第92页/共132页第九十三页，共132页

44、。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 二阶微分(wi fn)环节 式中，时间常数 阻尼比，对于二阶微分(wi fn)环节，01 K比例系数 运动(yndng)方程：传递函数：第93页/共132页第九十四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYq 延迟(ynch)环节 惯性环节从输入开始(kish)时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；运动方程：传递函数：式中，为纯延迟时间。延迟环节从输入(shr)开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出完全等于输入(shr)。延

45、迟环节与惯性环节的区别：第94页/共132页第九十五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量第95页/共132页第九十六页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY第96页/共132页第九十七页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYx(t)ty(t)t延迟环节是一个非线性的超越函数(hnsh)，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或第97页/共132页第九十八页，共132页。QINGDAO U

46、NIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2.5 2.5 2.5 2.5 系统系统系统系统(xtng)(xtng)(xtng)(xtng)的传递函数方框图及其的传递函数方框图及其的传递函数方框图及其的传递函数方框图及其简化简化简化简化 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号及其功能以及信号(xnho)(xnho)在系统中的传递、在系统中的传递、变换过程。变换过程。第98页/共132页第九十九页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQING

47、DAO UNIVERSITY第99页/共132页第一百页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY1 1、方框（或环节）：表示对信号进行的数学变换，方、方框（或环节）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统框中写入元部件或系统(xtng)(xtng)的传递函数。的传递函数。方框与实际系统方框与实际系统(xtng)(xtng)中的元部件并非一一对应。中的元部件并非一一对应。G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算(yn sun)功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)第100页/共132页第一百零一页，共132页。QINGDAO

48、UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY2 2、信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号 的流向，在直的流向，在直线旁标记线旁标记(bioj)(bioj)信号的时间函数或象函数。信号的时间函数或象函数。3 3、引出点（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从同、引出点（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s),x(t)信号线第101页/共132页第一百零二页，共132页。QINGDAO UNIVERS

49、ITYQINGDAO UNIVERSITY 4.求和(qi h)点（比较点、综合点）信号之间代数加减(ji jin)运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足(mnz)代数运算的交换律、结合律和分配律。X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)第102页/共132页第一百零三页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITYABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出(shch)是唯一的。第103页/共132页

50、第一百零四页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以(ky)由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。第104页/共132页第一百零五页，共132页。QINGDAO UNIVERSITYQINGDAO UNIVERSITY 系统(xtng)方框图的建立 q 步骤(bzhu)建立系统各元部件的微分方程,明确(mngqu)信号 的因果关系（输入/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部 件的方框图。按照信号在系统中的传递、变换过程，依 次将各部件