文科经管类微积分常微分方程学习教案.pptx

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1、会计学1文科文科(wnk)经管类经管类 微积分微积分 常微分方程常微分方程第一页，共72页。例2.列车(lich)在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车(lich)获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车(lich)才能停住,以及列车(lich)在这段时间里行驶了多少路程?解解:设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米.根据题意未知函数ss(t)应满足:s=-0.4.(1)s|t0=0,s|t0=20.(2)由(1)式，积分一次,得 s=-0.4tC1;(3)再积分一次,得 s0.2t2 C1tC2,(4)这 里 C1,C2都 是 任 意(rny)常数.把条件(tiojin

2、)s|t0=20代入(3)式得 20C1;把条件(tiojin)s|t0=0代入(4)式得 0C2.把C1,C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20,(5)s0.2t220t.(6)在(5)式中令v0,得t=50(s).再把t50代入(6),得 s0.25022050500(m).下页第2页/共72页第二页，共72页。提示(tsh):微分方程(wi fn fn chn)常微分方程与偏微分方程 未知函数(hnsh)是一元函数(hnsh)的微分方程,叫常微分方程.未知函数(hnsh)是多元函数(hnsh)的微分方程,叫偏微分方程.它们都是微分方程例1中所列的关系式为s0.4.例2中所列的关系

3、式为下页凡含有凡含有未知函数未知函数的导数或微分的方程叫的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例第3页/共72页第三页，共72页。微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数(hnsh)的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.提示(tsh):例1中所列的关系式为s0.4.例2中所列的关系式为这是一阶微分方程(wi fn fn chn)这是二阶微分方程v几个基本概念 下页第4页/共72页第四页，共72页。v几个(j)基本概念 提示(tsh):微分方程的解 满足(mnz)微分方程的函数叫做该微分方程的解.在例1中,微分方程y2x的解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C

4、1tC2,s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.下页第5页/共72页第五页，共72页。求所给函数(hnsh)的导数:解解:这表明(biomng)函数 满足所给方程,因此所给函数是所给方程的解.下页例例2 2由上式得:第6页/共72页第六页，共72页。下页若一个函数(hnsh)中出现的两个常数不能通过运算合并为一个常数(chngsh)，那么这两个常数(chngsh)是独立的，中的是独立(dl)的，而中的可以合并为一个常数，所以这里的 不独立例如v常数互相独立 第7页/共72页第七页，共72页。v几个(j)基本概念 提示(tsh):微分方程(wi fn fn chn)的解 满足微分方程(w

5、i fn fn chn)的函数叫做该微分方程(wi fn fn chn)的解.通解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.特解 确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解叫特解.在例1中,微分方程y2x的解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2,s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.通解通解通解特解什解什么解?下页第8页/共72页第八页，共72页。解通解(tngji)特解其它(qt)共同点：不同点：第9页/共72页第九页，共72页。v几个(j)基本概

6、念 提示(tsh):初始条件 用于确定通解(tngji)中任意常数的条件,称为初始条件.对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00,s|t020的解.下页y2x第10页/共72页第十页，共72页。v几个(j)基本概念 初始条件 用于确定(qudng)通解中任意常数的条件,称为初始条件.初值问题(wnt)求微分方程满足初始条件的解的问题(wnt)称为初值问题(wnt).问题,记为 提示:例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.例2是求微分方程s0.4满

7、足初始条件s|t00,s|t020的解.下页y2x第11页/共72页第十一页，共72页。例解解微分方程微分方程(wi fn fn chn)初始条件初始条件通解通解(tngji)特解特解第12页/共72页第十二页，共72页。高等院校非数学类本科数学课程 一元一元(y yun)(y yun)微积分微积分学学 大 学 数 学（一一）脚本(jiobn)编写：教案(jio n)制作：可分离变量的微分方程第13页/共72页第十三页，共72页。第二节第二节第二节第二节 可分离可分离可分离可分离(fnl)(fnl)(fnl)(fnl)变量的一阶微分变量的一阶微分变量的一阶微分变量的一阶微分方程方程方程方程为微

8、分方程为微分方程(wi fn fn chn)的通解的通解.两边两边(lingbin)积分积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程.称称则则第14页/共72页第十四页，共72页。下页 例例2.求微分方程 的通解.方程(fngchng)可化为 解解:分离(fnl)变量得 两边(lingbin)积分得 于是原方程的通解为 第15页/共72页第十五页，共72页。解解或解或解例例2 2(C1为任意(rny)常数)第16页/共72页第十六页，共72页。例例例例1.1.求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程(wi fn fn(wi fn fn chnchn)的通解(tngji).解解:分离分离(fnl)

9、变量得变量得两边积分得即(C 为任意常数)说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y0)第17页/共72页第十七页，共72页。高等院校非数学类本科数学课程 一元一元(y yun)(y yun)微积分微积分学学 大 学 数 学脚本(jiobn)编写：教案(jio n)制作：一阶线性微分方程第18页/共72页第十八页，共72页。4.14.14.14.1一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn(wi fn(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)fn chn)fn chn)一阶线性微分方程的标准一阶线

10、性微分方程的标准(biozhn)形式形式:上方程上方程(fngchng)称为齐次的称为齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.第19页/共72页第十九页，共72页。齐次方程齐次方程(fngchng)的通解为的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程(fngchng)一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)的解法的解法:使用分离变量法使用分离变量法第20页/共72页第二十页，共72页。2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程(fngchng)(fngchng)常数常数(chngsh)变易法变易法把齐次方程通解把齐次方程通解(tngji)(t

11、ngji)中的常数变易为待定函数的方法中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换第21页/共72页第二十一页，共72页。积分积分(jfn)得得所以所以(suy)一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应对应(duyng)齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解第22页/共72页第二十二页，共72页。解解例例1 1第23页/共72页第二十三页，共72页。例例7 7 求方程求方程(fngchng)(fngchng)解解 将方程将方程(fngchng)改写改写为为 的通解(tngji).先求齐次方程的通解.分离变

12、量,得 两端积分并整理,得齐次方程的通解 用常数变易法求非齐次线性方程的通解，故原方程的通解为：y=(ex+c)(x+1)2 将 y与y代入非齐次方程,并整理,得两端积分,得第24页/共72页第二十四页，共72页。例1求方程(fngchng)的通解(tngji).解:对应(duyng)的齐次方程为:分离变量得即或所以齐次方程的通解为:用常数变易法求非齐次线性方程的通解，代入方程得即所以因此非齐次方程的通解为:第25页/共72页第二十五页，共72页。例例例例解：解：解：解：求方程(fngchng)的通解(tngji).将 与 互换,得方程(fngchng)齐次方程分离变量得所以齐次方程的通解为:

13、用常数变易法求非齐次线性方程 的通解，得的通解为:第26页/共72页第二十六页，共72页。例例例例8.8.8.8.解：解：解：解：求方程(fngchng)的通解(tngji).将 与 互换,得方程(fngchng)的通解为:将 与 换回,得方程的通解为:第27页/共72页第二十七页，共72页。上页下页结束返回首页铃一、二阶线性微分方程(wi fn fn chn)举例二、线性微分方程(wi fn fn chn)的解的结构4.3.2 4.3.2 二阶线性微分方程二阶线性微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)上页下页铃结束返回首页第28页/共72页第二十八页，共72页。一、二

14、阶线性微分方程一、二阶线性微分方程(wi fn fn chn)举例举例v二阶线性微分方程(wi fn fn chn)二阶线性微分方程的一般(ybn)形式为若方程右端f(x)0时,方程称为齐次的,否则称为非齐次的.或 yP(x)yQ(x)yf(x).下页第29页/共72页第二十九页，共72页。304.2.3 可降阶二阶微分方程(wi fn fn chn)二、二、型的微分方程型的微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程(wi fn fn chn)三、三、型的微分方程型的微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 第30页/共72页第三十页，共72页。31再积一次可得再积一次可得依次通过依次通过

15、2次积分次积分(jfn),可得含可得含 2 个任意常数的通解个任意常数的通解 .（纯（纯 x 型）型）一、一、型的微分方程型的微分方程 第31页/共72页第三十一页，共72页。32例例例例1.1.解解:第32页/共72页第三十二页，共72页。33型的微分方程型的微分方程(wi fn fn chn)设设原方程原方程(fngchng)化为一阶方程化为一阶方程(fngchng)设其通解设其通解(tngji)为为则得则得再一次积分再一次积分,得原方程的通解得原方程的通解二、二、（缺（缺 y 型）型）第33页/共72页第三十三页，共72页。34例例例例2.2.求解求解求解求解(qi ji)(qi ji)

16、解解:代入方程代入方程(fngchng)得得分离分离(fnl)变变量量积分得积分得利用利用于是有于是有两端再积分得两端再积分得利用利用因此所求特解为因此所求特解为第34页/共72页第三十四页，共72页。35例例例例3 3：求满足：求满足：求满足：求满足(m(m nz)nz)的积分的积分(jfn)曲线，使其在曲线，使其在点（点（1，0）处有切线）处有切线(qixin)解：解：由题意可知此为缺由题意可知此为缺 y 型，且型，且令令代入原方程得代入原方程得分离变量得分离变量得所得积分曲线为：所得积分曲线为：第35页/共72页第三十五页，共72页。36三三、型的微分方程型的微分方程(wi fn fn

17、chn)令令故方程故方程(fngchng)化为化为设其通解设其通解(tngji)为为即得即得分离变量后积分分离变量后积分,得原方程的通解得原方程的通解（缺（缺 x 型）型）第36页/共72页第三十六页，共72页。37例例例例4.4.求解求解求解求解(qi ji)(qi ji)代入方程代入方程(fngchng)得得两端两端(lin dun)积分得积分得故所求通解为故所求通解为解解:第37页/共72页第三十七页，共72页。38例例例例5.5.解初值问题解初值问题解初值问题解初值问题解解:令令代入方程代入方程(fngchng)得得积分积分(jfn)得得利用利用(lyng)初始条件初始条件,根据根据积

18、分得积分得故所求特解为故所求特解为得得第38页/共72页第三十八页，共72页。39内容内容(ni(nirngrng)小小结结可降阶微分方程可降阶微分方程(wi fn fn chn)的解法的解法 降阶法降阶法逐次逐次(zh c)积分积分令令令令第39页/共72页第三十九页，共72页。二、线性微分方程二、线性微分方程(wi fn fn chn)的解的结构的解的结构C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2000.C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2 方 程(fngchng)y+P(x)y+Q(x)y=0的 任 意 两 个 解y1(x)与y2(x)的

19、线性组合C1y1(x)+C2y2(x)也是它的解,其中C1、C2是任意常数.简要(jinyo)证明:这是因为v定理1(齐次方程的解的叠加原理)下页举例：举例：已知cos x与sin x都是方程yy0的解.方程的通解为 yC1cos xC2sin x.第40页/共72页第四十页，共72页。将其代入方程将其代入方程(fngchng),故有故有特征特征(tzhng)根根二阶二阶设解设解得得特征方程特征方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数常系数(xsh)齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶

20、二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数.第41页/共72页第四十一页，共72页。两个两个(lin)特解特解二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程有两个有两个(lin)不相等的实根不相等的实根特征方程特征方程得齐次方程得齐次方程(fngchng)的通解为的通解为设设解解其中其中r为待定常数为待定常数.第42页/共72页第四十二页，共72页。有两个有两个(lin)相等的实根相等的实根一特解为一特解为化简得化简得二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程设设取取则则知知得齐次方程得齐次方程(fngchng)的通解为的通解为其中其中(

21、qzhng)r为待定常数为待定常数.设设解解特征方程特征方程第43页/共72页第四十三页，共72页。有一对有一对(y du)共轭复根共轭复根为了得到为了得到(d do)实数形式的解实数形式的解,重重新新组组合合二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的两个复数的两个复数(fsh)形式的解形式的解.其中其中r为待定常数为待定常数.得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:设设解解特征方程特征方程第44页/共72页第四十四页，共72页。小结小结(xi(xiojioji)特征特征(tzhng)(tzhng)根的情况根的情况通解通解(tngji)(tngji)

22、的表达式的表达式 实根实根实根实根复根复根的通解的不同形式的通解的不同形式.特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程第45页/共72页第四十五页，共72页。例解解特特 征征 根根通通 解解 形形 式式第46页/共72页第四十六页，共72页。例解解特特 征征 根根通通 解解 形形 式式第47页/共72页第四十七页，共72页。称为称为(chn wi)解解特征方程特征方程故所求通解故所求通解(tngji)为为例例由常系数由常系数(xsh)齐次线性方程的特征方程的根齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法特征

23、方程法.特征根特征根第48页/共72页第四十八页，共72页。解解特征方程特征方程故所求通解故所求通解(tngji)为为例例二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征特征(tzhng)根根特特 征征 根根通通 解解 形形 式式第49页/共72页第四十九页，共72页。例例解初值问题解初值问题解解特征方程特征方程特征特征(tzhng)根根所以方程所以方程(fngchng)的通解为的通解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程(二重根二重根)特解特解第50页/共72页第五十页，共72页。二、二阶常系数非齐次线性方程二、二阶常系数非齐次线性方程二、二阶常系数非齐次线性方程二、

24、二阶常系数非齐次线性方程(xin xn(xin xn fn fn chn chn)解的性质及求解法解的性质及求解法解的性质及求解法解的性质及求解法回顾回顾(hug)(hug)一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn)对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解(1)第51页/共72页第五十一页，共72页。提示(tsh):我们(w men)把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个(y)特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解

25、,那么 y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解.v定理3(非齐次方程的通解的结构)举例:已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0的通解,y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解,因此 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx2的通解.下页第52页/共72页第五十二页，共72页。证明(zhngmng)提示:Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x)Y P(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*0f(x)f(x).设y*(x)是二阶非齐次线性方程(fngchng)y+P(x)y+Q(x)y

26、=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程(fngchng)的通解,那么 y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程(fngchng)y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解.v定理(dngl)3(非齐次方程的通解的结构)下页第53页/共72页第五十三页，共72页。二阶常系数(xsh)线性非齐次微分方程:根据解的结构定理(dngl),其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法(fngf)：根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,待定系数法待定系数法三角函数三角函数多项式多项式指数函数指数函数第54页/共72页第五十四页，共72页。方程方程(2)对应对应(duyng)的齐次方程的齐

27、次方程(1)的特征方程及特征根的特征方程及特征根为为单根单根二重根二重根一对一对(y du)共轭复共轭复根根 你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？为常数(chngsh)方程方程有下列形式的特解：有下列形式的特解：第55页/共72页第五十五页，共72页。假设假设(jish)方程方程有下列有下列(xili)形式的特形式的特解：解：则则代入方程代入方程(fngchng)(2)，得，得即即第56页/共72页第五十六页，共72页。第57页/共72页第五十七页，共72页。综上讨论综上讨论(toln)可知可知设特解为

28、设特解为其中其中(qzhng)(qzhng)代入原方程代入原方程(fngchng),(fngchng),来确定来确定Q(x).第58页/共72页第五十八页，共72页。例2.求微分方程(wi fn fn chn)y-5y+6y=xe2x的通解.这里Pm(x)x,2.与所给方程(fngchng)对应的齐次方程(fngchng)为y-5y+6y=0,它的特征方程(fngchng)为r2-5r+6=0.特 征 方 程(fngchng)有 两 实 根r12,r23.于是齐次方程(fngchng)的通解为YC1e2xC2e3x.由 于 2是 特 征 方 程(fngchng)的单根,所以特解应设为y*x(b

29、0 xb1)e2x.解解:把 代入所给方程,得 2b0 x2b0b1x.比较(bjio)两端x同次幂的系数,得-2b0=1,2b0-b1=0.于是求得所给方程的一个特解为 从而所给方程的通解为 首页第59页/共72页第五十九页，共72页。解解对应齐次方程对应齐次方程(fngchng)通解通解特征方程特征方程特征特征(tzhng)根根代入原方程代入原方程(fngchng)得得例例6 6第60页/共72页第六十页，共72页。解解对应对应(duyng)的齐次方程的特征方程为的齐次方程的特征方程为特征特征(tzhng)根根为为对应的齐次方程对应的齐次方程(fngchng)的通解为的通解为将它代入原方程

30、，得将它代入原方程，得请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第61页/共72页第六十一页，共72页。比较两边比较两边(lingbin)同类项的系数，得同类项的系数，得故原方程故原方程(fngchng)有一特有一特解为解为综上所述，原方程综上所述，原方程(fngchng)的通解为的通解为解解请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第62页/共72页第六十二页，共72页。解解对应对应(duyng)的齐方程的特征方程的齐方程的特征方程为为特征特征(tzhng)根根为为对应的齐次方程对应的齐次方程(fngchng)的通的通解为解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得请

31、同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第63页/共72页第六十三页，共72页。上式即上式即故原方程故原方程(fngchng)有一特有一特解为解为综上所述，原方程综上所述，原方程(fngchng)的的通解为通解为解解请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算第64页/共72页第六十四页，共72页。设y1*(x)与y2*(x)分别(fnbi)是方程 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)与 y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)的是方程y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)的特解.v定理4(非齐次方程(fngchng)

32、的解的叠加原理)简要(jinyo)证明:这是因为 y1*+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2*=y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*=f1(x)f2(x).结束第65页/共72页第六十五页，共72页。例解解对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为综上所述，原方程综上所述，原方程(fngchng)的通解为的通解为第66页/共72页第六十六页，共72页。二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二选一二选一先选0,再选.第67页/共72页第六十七页，共72页。解解例例7 7所求通解所求通解(tngji)(tngji)为为 第68页/共72页第六十八页，共72页。解解例例8 8所求通解所求通解(tngji)(tngji)为为 第69页/共72页第六十九页，共72页。珍惜时间认真珍惜时间认真(rn zhn)复习复习第70页/共72页第七十页，共72页。第71页/共72页第七十一页，共72页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第72页/共72页第七十二页，共72页。