清华大学计算固体力学件连续介质力学PPT学习教案.pptx

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1、会计学1清华大学计算固体清华大学计算固体(gt)力学件连续介力学件连续介质力学质力学第一页，共90页。第第2 2讲讲 连续介质力学连续介质力学(l xu)(l xu)1 1引言引言2 2变形和运动变形和运动3 3应变度量应变度量4 4应力应力(yngl)(yngl)度量度量5 5守恒方程守恒方程6 6LagrangianLagrangian守恒方程守恒方程7 7极分解和框架不变性极分解和框架不变性第1页/共90页第二页，共90页。1 引言引言(ynyn)连续介质力学连续介质力学(l xu)是非线性有限元分析的基石。是非线性有限元分析的基石。从描述变形和运动开始。在刚体的运动中从描述变形和运动开

2、始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加学中扮演了中心的角色，许多更加(gnji)(gnji)困困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。转动。第2页/共90页第三页，共90页。1 1 引言引言(ynyn)(ynyn)非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用(yngyng)(yngyng)最频繁的是：最频繁的是：应变度量：应变度量：GreenGreen应变

3、张量和变形率。应变张量和变形率。应力度量：应力度量：CauchyCauchy应力、名义应力和第二应力、名义应力和第二PiolaPiolaKirchhoffKirchhoff应力，简称为应力，简称为PK2PK2应力。应力。还有许多其它的度量，过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也许还有许多其它的度量，过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也许(yx)(yx)只是学术过量的一种显示。只是学术过量的一种显示。我们只用一种应力和应变度量的方式

4、进行讲授，也涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授，也涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。第3页/共90页第四页，共90页。1 1 引言引言(ynyn)(ynyn)守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。推导并解释极分解原理，检验推导并解释极分解原理，检验 CauchyCauchy应力张量的客

5、观应力张量的客观(kgun)(kgun)率，也称作框架不变率。解释了率型本构方程要求客观率，也称作框架不变率。解释了率型本构方程要求客观(kgun)(kgun)率的原因，然后表述了几种非线性有限元中常用的客观率的原因，然后表述了几种非线性有限元中常用的客观(kgun)(kgun)率。率。第4页/共90页第五页，共90页。2 变形变形(bin xng)和和运动运动 它它们们的的属属性性和和响响应应可可以以用用空空间间变变量量的的平平滑滑函函数数来来表表征征，至至多多具具有有有有限限个个不不连连续续点点。它它忽忽略略(hl)(hl)了了非非均均匀匀性性，诸诸如如分分子子、颗颗粒粒或或者者晶晶体体结

6、结构构。晶晶体体结结构构的的特特性性有有时时也也通通过过本本构构方方程程出出现现在在连连续续介介质质模模型型中中，但但是是假假定定其其响响应应和和属属性性是是平平滑滑的的，只只具具有有有限个不连续点。有限个不连续点。连连续续介介质质力力学学的的目目的的(md)就就是是提提供供有有关关流流体体、固固体体和和组组织织结结构的宏观行为的模型。构的宏观行为的模型。Kinematic description:应变是如何度量的？应变是如何度量的？Kinetic description:应力是如何度量的？应力是如何度量的？Mesh description:网格移动如何联系连续体的运动？网格移动如何联系连续体

7、的运动？第5页/共90页第六页，共90页。2 2 变形变形(bin xng)(bin xng)和运动和运动 在初始域和当前在初始域和当前(dngqin)域域域之间的映射域之间的映射 初始初始(ch sh)构形构形 当前构形当前构形 材料点的位置矢量材料点的位置矢量 ei 直角坐标系的单位基矢量，直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。位置矢量的分量。第6页/共90页第七页，共90页。2 2 变形变形(bin xng)(bin xng)和运动和运动 运动运动(yndng)描述描述空间空间(kngjin)坐标坐标 当当参参考考构构形形与与初初始始构构形形一一致致时时，在在 t t0 0 时时

8、刻刻任任意意点点处处的的位位置置矢矢量量 x x 与其材料坐标一致与其材料坐标一致 一致映射一致映射 为为常常数数值值的的线线被被蚀蚀刻刻在在材材料料中中，恰恰似似LagrangianLagrangian网网格格；它它们们随随着着物物体体变变形形，当当在在变变形形构构形形中中观观察察时时，这这些些线线就就不不再再是是CartesianCartesian型型。这这种种观观察察方方式式下下的的材材料料坐坐标标被被称称为为流流动动坐坐标标。但但是是，当当我我们们在在参参考考构构形形中中观观察察材材料料坐坐标标时时，它它们们不不随随时时间间改改变变。建建立立的的方方程程，是是在在参参考考构构形形上上观

9、观察察材材料料坐坐标标，因因此此以以固固定定的的CartesianCartesian坐坐标标系系推推导导方方程程。另另一方面无论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。一方面无论怎样观察，空间坐标系都不随时间变化。材料坐标材料坐标第7页/共90页第八页，共90页。2 2 变形变形(bin xng)(bin xng)和运动和运动 运动运动(yndng)描述描述 在在流流体体力力学学中中，根根据据参参考考构构形形来来描描述述运运动动通通常常是是不不可可能能的的，并并且且没没有有必必要要。在在固固体体力力学学中中，应应力力一一般般依依赖赖于于变变形形和和它它的的历历史史，所所以以必必须须指指定定一一个个

10、未未变变形形构构形形，普普遍遍采采用用LagrangianLagrangian描描述述，独独立立变变量量是是材材料料(cilio)(cilio)坐坐标标X X 和时间和时间t t。位移位移速度速度加速度加速度速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数 第8页/共90页第九页，共90页。2 变形变形(bin xng)和和运动运动 运动运动(yndng)描述描述独立变量是空间坐标独立变量是空间坐标x x 和时间和时间t t，称为，称为(chn wi)(chn wi)空间或空间或EulerianEulerian描述描述 通过链规则得到材料时间导数通过链规则得

11、到材料时间导数 空间时间导数空间时间导数 对流项、迁移项对流项、迁移项 矢量场的左梯度矢量场的左梯度 第9页/共90页第十页，共90页。空空间间变变量量 x x 和和时时间间(shjin)(shjin)t t 的的任任何何函函数数的的材材料料时时间间(shjin)(shjin)导导数可以通过链规则得到数可以通过链规则得到和张量函数和张量函数(hnsh)其材料其材料(cilio)时间导数给出为时间导数给出为对于标量函数对于标量函数2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述左梯度矩阵左梯度矩阵 第10页/共90页第十一页，共90页。变形变形(bin xng)梯度是运动函数的梯度是运动函数的Jaco

12、bian 矩阵矩阵 2 变形变形(bin xng)和和运动运动 第一个指标第一个指标(zhbio)代表运动，第二个指标代表运动，第二个指标(zhbio)代表偏导数代表偏导数 材料坐标左材料坐标左梯度的转置梯度的转置 直角坐标系下直角坐标系下二维二维的变形梯度给出为的变形梯度给出为F F 的行列式用的行列式用J J 表示，称作表示，称作JacobianJacobian行列式或变形梯度行列式行列式或变形梯度行列式第11页/共90页第十二页，共90页。2 变形变形(bin xng)和和运动运动 变形变形(bin xng)梯度梯度将当前构形和参考将当前构形和参考(cnko)构形上的积分联系起来构形上的

13、积分联系起来 二维域二维域 Jacobian行列式的材料时间导数给出为行列式的材料时间导数给出为左散度左散度第12页/共90页第十三页，共90页。2 变形变形(bin xng)和和运动运动 运动运动(yndng)条件条件除了在有限数量的零度量集合上，假设描述除了在有限数量的零度量集合上，假设描述(mio sh)运动和物体运动和物体变形的映射变形的映射满足以下条件：满足以下条件：连续可微，一对一（连续可微，一对一（F可逆），可逆），J 0 这这些些条条件件保保证证函函数数足足够够平平滑滑以以至至于于满满足足协协调调性性，即即在在变变形形物物体体中中不不存存在在缝缝隙隙和和重重叠叠。运运动动及及其

14、其导导数数可可以以是是非非连连续续或或者者在在零零尺尺度度集集合合上上具具有有非非连连续续的的导导数数（如如裂裂纹纹），所所以以它它是是分分段段连连续续可可微微的的。增增加加不不包包括括零零尺尺度度集集合合的的附附加加条条件件以以解解释释裂裂纹纹形形成成的的可可能能性性。在在形形成成裂裂纹纹的的表表面面上上，上上述述条条件件不不满满足足。零零尺尺度度集集合合在在一一维维情情况况中中是是点点，在在二二维维中中是是线线，三三维维中中是是平平面面，因因为为一一个个点点具具有有零零长长度度，一一条条线线具具有有零零面面积积，一一个个表表面面具具有有零零体积。体积。第13页/共90页第十四页，共90页。

15、2 2 变形变形(bin xng)(bin xng)和和运动运动 运动运动(yndng)条件条件 变变形形梯梯度度通通常常在在材材料料的的界界面面上上是是非非连连续续的的。在在某某些些现现象象中中，例例如如扩扩展展裂裂纹纹，运运动动本本身身也也是是非非连连续续的的。要要求求(yoqi)(yoqi)在在运运动动及及其其导导数数中中非非连连续续的的数数量量是是有有限限的的。实实际际上上发发现现，有有些些非非线线性性解解答答可可能能拥拥有有无无限限数数量量的的非非连连续续。然然而而，这这些些解解答答非非常常罕罕见见，不不能能被被有限元有效地处理，所以将不关注这些解答。有限元有效地处理，所以将不关注这

16、些解答。第第二二个个条条件件，即即运运动动为为一一对对一一的的，要要求求对对于于在在参参考考构构形形上上的的每每一一点点，在在当当前前构构形形上上有有唯唯一一的的点点与与之之对对应应，反反之之亦亦然然。这这是是F F规规则则的的必必要要充充分分条条件件，即即F F是是可可逆逆的的。当当变变形形梯梯度度F F是是正正常常的的，则则 ，因因为为当当且且仅仅 当当时时F F的的逆逆才才存存在在。因因此此，第第二二个个条条件件和和第第三三个个条条件件是是有有联联系系的的。更更强强的的条条件件是是J J 必必须须为为正正而而不不仅仅是是非非零零，在在第第3.5.43.5.4节节可可以以看看到到这这遵遵循

17、循了了质质量量守守恒恒。这这个个条条件件在在零零尺尺度度集集合合上上也也可可以以违违背背。例例如如，在在一一个个裂裂纹纹的的表表面面上上，每每一一个个点点都都成成为为了了两两个点。个点。第14页/共90页第十五页，共90页。运动运动(yndng)条件条件 一个Lagrangian网格的刚体转动，显示在参考(初始(ch sh)、未变形)构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。转转动动是是正正交交变变换换的的一一个个例例子子，R R是是正正交交矩矩阵阵。一一个个矩矩形形单单元元的的LagrangianLagrangian网网格格的的刚刚体体转转动动，如如图图所所示示。可可以以(ky)(ky)看看

18、出出，在在刚刚体体转转动动中中单单元元的的边边发发生生转转动动，但但是是边边与与边边之之间间的的夹夹角角保保持持不不变变。单单元元的的边边是是X X 或或Y Y 坐坐标标为为常常数数的的直直线线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。一一个个刚刚体体的的运运动动包包括括平平动动和和绕绕原原点点的的转转动动，刚刚体体转转动动和和坐坐标标转换的关系为转换的关系为 第15页/共90页第十六页，共90页。2 2 变形变形(bin xng)(bin xng)和运动和运动 二维问题二维问题(wnt)角速度角速度 空间空间(kngjin)坐标

19、坐标 角速度张量或角速度矩阵角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量偏对称张量也称作反对称张量 二维问题二维问题 动力学教材中的刚体运动方程动力学教材中的刚体运动方程 第16页/共90页第十七页，共90页。例例3.13节点节点(ji din)三角形有限元，设节点三角形有限元，设节点(ji din)的运动为的运动为求解变形求解变形(bin xng)梯度和梯度和Jacobian行列式为时间的行列式为时间的函数，函数，当当Jacobian行列式保持常数时求出行列式保持常数时求出a和和b的值。的值。2 2 变形变形(bin(bin xng)xng)和运动和运动 (1)第17页/共90页第十八

20、页，共90页。三角形三角形3节点线性位移节点线性位移(wiy)单元单元的构形的构形 解：解：在初始在初始(ch sh)构形中，构形中，t=0 面积面积(min j)坐标坐标 2 变形和运动变形和运动(2)第18页/共90页第十九页，共90页。将未变形将未变形(bin xng)构形中的节点坐标代入上式构形中的节点坐标代入上式 在初始在初始(ch sh)构形中，构形中，t=0 得到得到(d do)三角形坐标与材料坐标之间的关系三角形坐标与材料坐标之间的关系 即即 得到运动的表达式得到运动的表达式 变形梯度为变形梯度为 2 变形和运动变形和运动 将将(1)和和(3)代入代入(2)(3)第19页/共9

21、0页第二十页，共90页。在在单单元元中中的的位位移移是是材材料料坐坐标标的的线线性性函函数数，变变形形梯梯度度(t(t d)d)仅仅为为时时间间函函数数，若给定时间，若给定时间，F F 为常数。为常数。JacobianJacobian行列式给出为行列式给出为变形变形(bin xng)梯度为梯度为 当当 J的行列式为常数的行列式为常数(chngsh)，这种运动是没有变形的转动；这种运动是没有变形的转动；当当 一一个个剪剪切切变变形形和和一一个个转转动动，其其中中单单元元的的面面积积保保持持常常数数。这这种种类类型型的的变变形称为等体积变形；形称为等体积变形；不可压缩材料的变形就是等体积变形不可压

22、缩材料的变形就是等体积变形。2 变形和运动变形和运动 J行列式也保持常数，这种情况对应于行列式也保持常数，这种情况对应于第20页/共90页第二十一页，共90页。例例3.3 一一个个单单位位正正方方形形4 4节节点点单单元元，其其中中3 3个个节节点点固固定定(gdng)(gdng)。求求导致导致JacobianJacobian行列式等于零时节点行列式等于零时节点3 3位置的轨迹。位置的轨迹。除节点除节点3 3之外所有节点均固定之外所有节点均固定(gdng)(gdng)，矩形单元的位移场由双线性场给出，矩形单元的位移场由双线性场给出2 2 变形变形(bin(bin xng)xng)和运动和运动

23、第21页/共90页第二十二页，共90页。沿着沿着(yn zhe)(yn zhe)由节点由节点1 1和和2 2以及节点以及节点1 1和和4 4所定义的边界上位移场为零，运动为所定义的边界上位移场为零，运动为 变形变形(bin xng)梯度梯度 则则Jacobian行列式为行列式为检验什么时候检验什么时候Jacobian行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料行列式为零，只需考虑单元未变形构形中材料(cilio)点点的的Jacobian行列式，即单位正方形行列式，即单位正方形 显然显然 且且J是最小是最小 当当 对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定 节点节点

24、3 3越过未变形单元的对角线越过未变形单元的对角线 2 2 变形和运动变形和运动 第22页/共90页第二十三页，共90页。例例3.4小小变变形形情情况况下下一一个个(y(y)扩扩展展裂裂纹纹周周围围的的位位移移场场给给出为出为 初始未开裂(ki li)的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形 2 2 变形变形(bin(bin xng)xng)和运动和运动 这这个个位位移移场场对对应应于于沿沿着着X X轴轴的的开开口口裂裂纹纹，且且裂裂尖尖速速度度为为c c。求求出出沿沿着着直直线线 上上的的位位移移间间断断。并并问问这这个个位位移移场场是是否满足运动连续性要求？否满足运动连续性要求？第23页/共90

25、页第二十四页，共90页。解：解：2 2 变形变形(bin(bin xng)xng)和运动和运动 运运动动(yndng)为为 ，。位移场的间断是在公式位移场的间断是在公式(gngsh)(gngsh)中关于中关于 和和 的差值：的差值：所以位移的跳跃或间断为所以位移的跳跃或间断为其它任何地方的位移场都是连续的。其它任何地方的位移场都是连续的。这这个个运运动动满满足足第第1414页页所所给给出出函函数数连连续续性性准准则则，因因为为不不连连续续仅仅仅仅发发生生在在一一条条线线上上，在在二二维维中中这这是是一一个个零零尺尺度度的的集集合合。从从图图中中可可以以看看出出，在在这这个个运运动动中中裂裂纹纹

26、尖尖端端后后面面的的线线被被分分成成两两条条线线。在在设设计计运运动动时时也也可可能能该该线线并并不不分分离离，只只是是在在切切线线位位移移场场上上发发生生间间断断。现现在在这这两两种种运运动动都都常常常常应应用用在在非线性有限元分析中。非线性有限元分析中。第24页/共90页第二十五页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量1.1.GreenGreen应变应变(yngbin)E(yngbin)E2.2.变形率张量变形率张量D D 许许多多应应变变和和应应变变率率度度量量出出现现在在连连续续介介质质力力学学的的文文献献中中；然然而而，在在有有限限元元方方法法中中应应用

27、用最最普普遍遍的的是是上上面面两两种种度度量量。在在描描述述本本构构方方程程时，如果需要，有时使用其它度量更加有利时，如果需要，有时使用其它度量更加有利(yul)(yul)。对对于于任任何何刚刚体体运运动动(含含刚刚体体转转动动)，应应变变度度量量必必须须为为零零。如如果果在在刚刚体体转转动动中中应应变变度度量量不不为为零零，预预示示着着有有非非零零应应变变，结结果果导导致致非非零应力。下面看一个例子零应力。下面看一个例子3.63.6。第25页/共90页第二十六页，共90页。一个单元一个单元(dnyun)绕着原点转动了绕着原点转动了角。计算线性应变角。计算线性应变 例例3.6取它们取它们(t

28、men)对材料坐标求导对材料坐标求导 如果如果较大较大(jio d)，伸长应变不为零。，伸长应变不为零。对对于于任任何何刚刚体体运运动动(含含刚刚体体转转动动)，应应变变度度量量必必须须为为零零。这这就就是是为为什什么在非线性理论中放弃一般的线性应变位移方程的关键因素。么在非线性理论中放弃一般的线性应变位移方程的关键因素。3 3 应变度量应变度量第26页/共90页第二十七页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量 下下面面将将看看到到在在刚刚体体转转动动中中E E和和D D为为零零。应应变变度度量量也也应应该该满满足足其其它它的的准准则则，比比如如，当当变变形形增增

29、大大时时它它也也相相应应的的增增大大，等等等等。然然而而，能能够够(nnggu)(nnggu)表表示示刚刚体体运运动动是是至至关重要的，并且指明什么时候使用几何非线性理论。关重要的，并且指明什么时候使用几何非线性理论。到底多么到底多么(du me)(du me)大的转动需要进行非线大的转动需要进行非线性分析？性分析？说说明明在在转转动动中中线线性性应应变变的的误误差差是是二二阶阶的的，线线性性分分析析的的适适用用性性在在于于容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小。容许误差的量级，最终取决于感兴趣的误差大小。因此，线性应变张量不能用于大变形问题。因此，线性应变张量不能用于大变形问题。第27页

30、/共90页第二十八页，共90页。线线性性分分析析的的适适用用性性则则在在于于能能够够容容许许误误差差的的量量级级，最最终终取取决决于于感感兴兴趣趣的的应应变变的的大大小小。如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变量量级级是是10-210-2，那那么么1 1的的误误差差是是能能够够接接受受的的（几几乎乎总总是是这这样样(zhyng)(zhyng)）。如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变更更小小，可可接接受受的的转转动动更更小小，对对于于10-410-4量量级级的应变，为满足的应变，为满足1 1的误差，转动必须是的误差，转动必须是10-3 10-3 弧度量级的。弧度量级的。这这些些指指导导数数据据假假设设平平

31、衡衡解解答答是是稳稳定定的的，即即不不可可能能发发生生屈屈曲曲。然然而而，屈屈曲曲是是可可能能的的，即即使使是是在在很很小小的的应应变变下下，所所以以当当可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量。可能发生屈曲时，应该使用能适合应付大变形的度量。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量第28页/共90页第二十九页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度度量量GreenGreen应变应变(yngbin)(yngbin)张量定张量定义义 材材料料矢矢量量dXdX长长度度平平方方的的变变化化。GreenGreen应应变变度度量量了了当当前前(变变形形)构构形

32、形和和参参考考(未未变变形形)构构形形中中一一个个微微小小(wixio)(wixio)段段长长度度的的平平方方的的差差。利用变形梯度公式利用变形梯度公式,将公式左边重新写成为矩阵形式将公式左边重新写成为矩阵形式 整理上面公式为整理上面公式为提出相同的项得到提出相同的项得到 对于任何对于任何dX都成立都成立第29页/共90页第三十页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量GreenGreen应变应变(yngbin)(yngbin)张量张量E E以位移的形式使用指标以位移的形式使用指标(zhbio)(zhbio)写法写法 代入上式，表示为位移梯度的形式代入上式，表示为位

33、移梯度的形式 第30页/共90页第三十一页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量 在在任任何何刚刚体体运运动动(yndng)(yndng)中中，GreenGreen应应变变张张量量为为零零，满满足足了了应应变变度度量量的的一一个个重重要要求。要要求。考虑考虑(kol)(kol)刚体运动刚体运动 由变形梯度由变形梯度F 定义定义，绕原点纯转动时，绕原点纯转动时，给出为给出为FR（证明见例（证明见例3.2)式中式中转动转动张量张量满足正交满足正交性性，R是正交矩阵是正交矩阵 GreenGreen应变张量应变张量E E第31页/共90页第三十二页，共90页。第二个运动度

34、量第二个运动度量D D，称为，称为(chn wi)(chn wi)速度应变速度应变,是变形的率度量是变形的率度量,定义速度梯定义速度梯度度 3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量变形变形(bin xng)(bin xng)率张量率张量D D速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为速度梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分为 令令变形率变形率(对称对称)转动转动(反对称反对称)二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量都可二阶张量或方阵的标准分解：以上面的方式，任何一个二阶张量都可以表示为它的对称部分和反对称部分的和以表示为它的对称部分和反对称部分的和 所以所

35、以第32页/共90页第三十三页，共90页。没有变形，转动张量和角速度张量相等：没有变形，转动张量和角速度张量相等：W。由速度梯度定义，在刚体由速度梯度定义，在刚体(gngt)运动中变形率运动中变形率D0，所以，所以LW，积分积分其中其中xT和和vT是积分是积分(jfn)常数，对比刚体动力常数，对比刚体动力学公式：学公式：得到得到(d(d do)do)在在刚刚体体转转动动中中，转转动动和和角角速速度度张张量量是是相相同同的的。当当刚刚体体除除了了转转动动之之外外还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量。还有变形时，转动张量一般区别于角速度张量。3 3 应变度量应变度量变形率张量变形率张量D D变

36、形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量变形率是微小材料线段长度的平方的变化率度量 第33页/共90页第三十四页，共90页。证明证明(zhngmng)在刚体运动中变形率在刚体运动中变形率D03 应变应变(yngbin)度量度量变形变形(bin xng)率张量率张量D第34页/共90页第三十五页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量变形变形(bin xng)(bin xng)率的率的GreenGreen应变率形式应变率形式 将将变变形形率率与与GreenGreen应应变变张张量量的的率率联联系系(linx)(linx)起起来来，首首先先得得到到速速度度场场的的材料梯

37、度，并通过链规则表示为空间梯度的形式材料梯度，并通过链规则表示为空间梯度的形式 取变形梯度取变形梯度 的材料时间导数的材料时间导数 应用链规则展开恒等式应用链规则展开恒等式得到 代入上面公式，有代入上面公式，有第35页/共90页第三十六页，共90页。3 3 应变应变(yngbin)(yngbin)度量度量变形率的变形率的GreenGreen应变应变(yngbin)(yngbin)率形式率形式将变形率与将变形率与Green应变应变(yngbin)张量的率张量的率联系起来联系起来将变形率将变形率D前面点积前面点积FT，后面点积，后面点积F，得到，得到 这两种度量是看待相同过程的两种方式：这两种度量

38、是看待相同过程的两种方式：Green应变率是在参考应变率是在参考构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的构形中表达的，变形率是在当前构形中表达的。两种形式的性质的区别是，在例两种形式的性质的区别是，在例3.7中将会看到中将会看到Green应变率对时间积应变率对时间积分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的。分是与路径无关的，而变形率对时间积分是与路径有关的。逆变换得到逆变换得到 前推运算前推运算后拉运算后拉运算第36页/共90页第三十七页，共90页。例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用拉伸和转动联合作用(zuyng)(zuyng)下的应变度量下的应变度量 考虑考虑(kol)运动运动

39、 其中其中a和和b是正常数。计算作为时间函数的变形梯度是正常数。计算作为时间函数的变形梯度(t d)F，Green应变应变和变形率张量，并验证在和变形率张量，并验证在t0与与t1时的值。定义时的值。定义计算变形梯度计算变形梯度F 以以上上变变形形包包括括同同时时沿沿着着X和和Y轴轴材材料料线线的的拉拉伸伸和和单单元元转转动动。在在任任何何时时刻刻在在单单元元中中的的变变形形梯梯度度是是常常数数，应应变变度度量量也也是是常常数数。得得到到Green应变张量，由公式给出应变张量，由公式给出F，这样得到：，这样得到：第37页/共90页第三十八页，共90页。得到得到(d do)Green应变张量应变张

40、量当当t0时，有时，有xX和和E0，计算变形率，先获得速度，取运动的材料计算变形率，先获得速度，取运动的材料(cilio)时间导时间导数数 在在t0时，时，xX，yY，c1，s0，AB1，速度，速度(sd)梯度在梯度在t0时为时为 例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 第38页/共90页第三十九页，共90页。为了确定变形率的时间历史为了确定变形率的时间历史(lsh)，计算变形梯度的时间导数和逆，计算变形梯度的时间导数和逆 等式右边的第一项是变形率，因为等式右边的第一项是变形率，因为(yn wi)它是速度梯度的对称部分，它是速度梯度的对称部分，而第二项

41、是转动，它是反对称部分。变形率在而第二项是转动，它是反对称部分。变形率在t1时给出为时给出为因此，当在中间步骤中，剪切速度因此，当在中间步骤中，剪切速度(sd)应变是非零的，应变是非零的，在在t1时刻的构形中只有伸长的速度时刻的构形中只有伸长的速度(sd)应变是非零的。应变是非零的。当当t1时刻的时刻的Green应变率通过对变形率后拉运算给出应变率通过对变形率后拉运算给出例例3.5 3.5 拉伸和转动联合作用下的应变度量拉伸和转动联合作用下的应变度量 第39页/共90页第四十页，共90页。一一个个单单元元经经历历了了图图示示的的变变形形(bin(bin xng)xng)阶阶段段。在在这这些些阶

42、阶段段之之间间的的运运动动是是时时间间的的线线性性函函数数。计计算算每每一一阶阶段段的的变变形形(bin(bin xng)xng)率率张张量量D D，对对于于回回到到未未变变形形(bin(bin xng)xng)构构形形的的整整个个变变形形(bin(bin xng)xng)循循环环，获获得得变变形形(bin xng)(bin xng)率的时间积分。率的时间积分。例例3.7 3.7 计算变形计算变形(bin xng)(bin xng)率率的时间积分的时间积分 假假定定变变形形(bin(bin xng)xng)的的每每个个阶阶段段都都发发生生在在一一个个单单位位时时间间间间隔隔内内。时间标定与结果

43、无关，从构形时间标定与结果无关，从构形1 1到构形到构形2 2的运动为：的运动为：确定变形梯度确定变形梯度第40页/共90页第四十一页，共90页。得得到到速速度度梯梯度度(t(t d)d)和和变变形形率率为为 例例3.7 3.7 计算变形计算变形(bin xng)(bin xng)率的时间积分率的时间积分 这这样样，变变形形率率就就是是一一个个纯纯剪剪切切，即即两两个个拉拉伸伸(l(l shn)shn)分分量量都都为为零零。由由公式得到公式得到GreenGreen应变为：应变为：比较上面两式，比较上面两式，E E2222非零，而非零，而D D22220 0，当，当a a为小量时，为小量时，E

44、E2222也小。也小。从构形从构形2 2到构形到构形3 3剪切与剪切与y y向拉伸的联合运动：向拉伸的联合运动：第41页/共90页第四十二页，共90页。例例3.7 3.7 计算变形计算变形(bin xng)(bin xng)率率的时间积分的时间积分 从从 构构 形形(u(u xn)3xn)3到到 构构 形形(u(u xn)4xn)4纯剪切运动：纯剪切运动：从构形从构形(u xn)4(u xn)4到构形到构形(u xn)5(u xn)5y y向拉伸（压缩）运动：向拉伸（压缩）运动：在在构构形形5 5中中的的GreenGreen应应变变为为零零，因因为为在在t=4t=4时时的的变变形形梯梯度度是是

45、单单位位张张量量，F FI I。变形率对时间的积分给出为。变形率对时间的积分给出为第42页/共90页第四十三页，共90页。例例3.7 3.7 计算计算(j sun)(j sun)变形率的时变形率的时间积分间积分 变变形形率率在在回回到到初初始始构构形形结结束束的的整整个个循循环环上上的的积积分分不不为为零零。这这个个问问题题的的最最后后构构形形对对应应于于未未变变形形构构形形，所所以以应应变变的的度度量量应应该该为为零零，变变形形率率的的积积分不为零，变形率的积分是路径相关的。分不为零，变形率的积分是路径相关的。对对于于第第5 5章章描描述述的的次次弹弹性性材材料料，这这是是一一个个重重要要(

46、zhngyo)(zhngyo)的的诠诠释释。它它同同时时也也暗暗示示变变形形率率的的积积分分不不是是整整个个应应变变的的一一个个很很好好的的度度量量。必必须须注注意意到到D D在在一一个个循循环环上上的的积积分分结结果果是是表表征征变变形形的的二二阶阶常常数数，所所以以只只要要这这些些常常数数非非常常小小，误误差差是是可可以以忽忽略略不不计计的的。GreenGreen应应变变率率在在任任何何闭闭合合循循环环上上的的积积分分等等于于零零，因因为为它它是是GreenGreen应应变变E E的的时时间间导导数数。换换句句话话说说，GreenGreen应应变变率率的的积积分分是路径无关的。是路径无关的

47、。第43页/共90页第四十四页，共90页。4 4 应力应力(yngl)(yngl)度量度量1 Cauchy应力应力(yngl)，2 名义应力名义应力(yngl)张量，张量，P3 PK2应力应力(yngl)张量，张量，S法向矢量通常法向矢量通常(tngchng)在左边在左边 以以Cauchy应应力力的的形形式式表表示示面面力力，称称为为Cauchy定定理理，或或者者Cauchy假假定定。它它包包括括当当前前表表面面的的法法线线和和面面力力（每每单单位位面面积积上上的的力力），称称为为物物理理应应力力或或真真实实应应力力。例例如，如，Cauchy应力的迹，应力的迹，这这是是流流体体力力学学中中普普

48、遍遍使使用用的的真真实实压压力力p。应应力力度度量量P和和S的的迹迹没没有有给给出出真真实实压压力力，因因为为它它们们参参考考未未变变形形的的面面积积。使使用用约约定定，在在拉拉伸伸中中Cauchy应应力力的的法法向向分分量量为为正正，由由公公式，在压缩时压力是正的。式，在压缩时压力是正的。在角动量守恒中将看到，在角动量守恒中将看到，Cauchy应力张量是对称的，即应力张量是对称的，即T。第44页/共90页第四十五页，共90页。4 4 应力应力(yngl)(yngl)度量度量1 Cauchy应力应力(yngl)，2 名义应力名义应力(yngl)张量，张量，P3 PK2应力应力(yngl)张量，

49、张量，S第45页/共90页第四十六页，共90页。4 4 应力应力(yngl)(yngl)度量度量 名义应力名义应力P表示表示(biosh)是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，是在参考表面上的面积和法线，即未变形表面，它的定义类似于它的定义类似于Cauchy应力的定义。名义应力是非对称的。应力的定义。名义应力是非对称的。名义应力的转置称作为名义应力的转置称作为PK1(第一第一Piola-Kirchhoff)应力。应力。PK2应力为对称的，它和应力为对称的，它和Green应变应变(yngbin)率在功率上是共轭的。率在功率上是共轭的。PK2应力被广泛应用于路径无关材料，如橡胶应力被广泛应用于

50、路径无关材料，如橡胶(势能）。势能）。在在Nanson关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来关系中，当前法线与参考法线通过下式联系起来 为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以为了说明如何得到不同应力度量之间的转换关系，将以Cauchy应应力的形式建立名义应力的表达式。力的形式建立名义应力的表达式。通过通过Nanson关系关系第46页/共90页第四十七页，共90页。4 4 应力应力(yngl)(yngl)度量度量由于上式对于(duy)任意的n0都成立，所以有对于对于(duy)任意的任意的n0都成立，有都成立，有作矩阵变换作矩阵变换从公式可以看到，从公式可以看到，PPT(FFT)，即