泰勒公式的讲解学习教案.pptx

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1、会计学1泰勒公式泰勒公式(gngsh)的讲解的讲解第一页，共58页。类似可以(ky)定义更高阶的偏导数.z=f(x,y)的三阶(sn ji)偏导数共有八(23)种情形：首页第2页/共58页第二页，共58页。又如 z=f(x,y)关于(guny)x 的 n 1 阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数(do sh)统称为高阶偏导数(do sh).再关于(guny)y 的一阶偏导数为首页第3页/共58页第三页，共58页。例1 求函数 解 的二阶偏导数(do sh)及 首页第4页/共58页第四页，共58页。注意 从上面两个(lin)例子看到，有但这一结论(jiln)并不总成立.首页.arctan2的所有二阶

2、偏导数求函数例xyz=第5页/共58页第五页，共58页。例如(lr)二者不等首页第6页/共58页第六页，共58页。定理(dngl)17.7例如 对三元(sn yun)函数 u=f(x,y,z),说明(shumng)本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.首页第7页/共58页第七页，共58页。例6 证明(zhngmng)函数 证 利用(lyng)对称性,有满足(

3、mnz)拉普拉斯方程首页第8页/共58页第八页，共58页。注意 多元抽象复合(fh)函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常(jngchng)遇到,下列几个(j)例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.首页第9页/共58页第九页，共58页。得首页.),(3222yxzxzyxxfz=，求设例第10页/共58页第十页，共58页。首页第11页/共58页第十一页，共58页。首页第12页/共58页第十二页，共58页。例 设 f 具有二阶连续(linx)偏导数,求解 首页第13页/共58页第十三页，共58页。二、中值定理和泰勒二、中值定理和泰勒(ti l)公式公式 凸区域 若区域 D

4、 上任意(rny)两点的连线都含于 D若 D 为区域(qy)，则对任何 恒有凸区域非凸区域 内，则称 D 为凸区域.首页第14页/共58页第十四页，共58页。一元函数中值定理(dngl)回顾首页第15页/共58页第十五页，共58页。证令由定理(dngl)的条件知(t)在 0,1 上连续，在(0,1)内可微.由复合(fh)函数的求导法则于是(ysh)由于 D 为凸区域，所以从而有于是根据一元函数中值定理，存在 使得首页第16页/共58页第十六页，共58页。首页第17页/共58页第十七页，共58页。二、二元函数的泰勒二、二元函数的泰勒(ti l)公式公式一元函数泰勒公式(gngsh)回顾首页第18

5、页/共58页第十八页，共58页。其中(qzhng)一般(ybn)地,表示(biosh)表示首页第19页/共58页第十九页，共58页。这正是二元函数(hnsh)的拉格朗日中值公式.Rn 称为(chn wi)其拉格朗日型余项.首页第20页/共58页第二十页，共58页。证 令其中(qzhng)由定理的假设，在 0,1 在满足一元函数泰勒定理条件，于是有下面(xi mian)计算 首页第21页/共58页第二十一页，共58页。利用多元复合(fh)函数求导法则可得:首页第22页/共58页第二十二页，共58页。一般(ybn)地,将上述(shngsh)导数代入公式：即得二元函数泰勒(ti l)公式.首页第23

6、页/共58页第二十三页，共58页。若在泰勒(ti l)公式中只要求余项 首页第24页/共58页第二十四页，共58页。首页 在泰勒公式中,如果取0,000=yx,则称为n阶麦克劳林公式.第25页/共58页第二十五页，共58页。带入型余项的泰勒(ti l)公式中：首页().08.141),(496.3它计算（到二阶为止），并用）的泰勒公式，在点（求例yxyxf=第26页/共58页第二十六页，共58页。首页第27页/共58页第二十七页，共58页。即令 x=1.08,y=3.96,则有x-1=0.08,y-1=-0.04,把这个值与前面用全微分(wi fn)近似公式计算的结果相比较，这个(zh ge)

7、结果更接近于真值 1.356307.首页第28页/共58页第二十八页，共58页。三三 极值极值(j(j zh)zh)问题问题定义(dngy)若函数则称函数(hnsh)在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有 注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.首页第29页/共58页第二十九页，共58页。例如(lr)在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值(j zh).首页第30页/共58页第三十页，共58页。若例如(lr),定理(dngl)17.10(必要条件)函数(hnsh)存在偏导数,证取得极值,取得极值，取得极值，稳

8、定点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有故则称(x0,y0)为 f 的稳定点或驻点.所以所以首页第31页/共58页第三十一页，共58页。在原点(0,0)没有(mi yu)偏导数，但它在原点有极小值;所以(suy)，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在(cnzi)的点取得.首页第32页/共58页第三十二页，共58页。时,具有(jyu)极值 定理(dngl)17.11(充分条件)的某邻域内具有二阶连续(linx)偏导数,令则:1)当A0 时取极小值.2)当 3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且首页第33页/共58页第三十三页，共58页。证

9、由二元函数的泰勒公式(gngsh),并注意则有所以(suy)首页第34页/共58页第三十四页，共58页。其中(qzhng),是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是(ysh)(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见(kjin),从而z0,因此 的正负号可由 确定。首页第35页/共58页第三十五页，共58页。从而(cng r)z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨(w fn)设 A0,则 时,有异号;同号(tn ho).可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,首页第36页/共58页第三十六页，共58页。+若 AC 0,则必有 B0,不妨(bfng)设 B0

10、,此时(c sh)可见(kjin)z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则若 A0,则 B0,为零或非零首页第37页/共58页第三十七页，共58页。此时(c sh)因此(ync)不能断定(x0,y0)是否(sh fu)为极值点.首页第38页/共58页第三十八页，共58页。并求出偏导数(do sh)不存在的点.求出二阶偏导数(do sh)的值：首页第39页/共58页第三十九页，共58页。例求函数解 第一步 求稳定(wndng)点得稳定(wndng)点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步 判别(pnbi).在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值

11、.求二阶偏导数 故 f 在(1,0)有极值,又因首页第40页/共58页第四十页，共58页。在点(3,0)处不是(b shi)极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是(b shi)极值;故 f 在(-3,2)有极值(j zh),又因首页第41页/共58页第四十一页，共58页。例 讨论(toln)函数 及在点(0,0)是否取得(qd)极值.解 显然(xinrn)(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 (0,0)不是因此为极小值.正负0并且在(0,0)都有 可能为的极值点.首页第42页/共58页第四十二页，共58页。例例8 8 求求 在原点是否在原点是否(sh(sh

12、fu)fu)有极值。有极值。首页第43页/共58页第四十三页，共58页。最大值最小值（简称(jinchng)最值）问题函数(hnsh)f 在闭域上连续函数(hnsh)f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大)(大)依据首页第44页/共58页第四十四页，共58页。例解 设水箱(shuxing)长,宽分别为 x,y 米,则高为则水箱所用材料(cilio)的面积为令得驻点(zh din)某厂要用铁板做一个体积为2 米3 的有盖根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，问当长、宽、高各

13、取怎样的尺寸因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.时,才能使用料最省?米,首页第45页/共58页第四十五页，共58页。例 有一宽为 24cm 的长方形铁板(ti bn),把它折起来做成解 设折起来的边长为 x cm,则断面(dun min)面积x24一个断面(dun min)为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面首页第46页/共58页第四十六页，共58页。令解得:由题意(t y)知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有(zhyu)一个(y)驻点,故此点即为所求.首页第47页/共58页第四十七页，共58页。问题(wnt)的提出:已知一

14、组实验(shyn)数据求它们的近似函数(hnsh)关系 yf(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求最小二乘法 首页第48页/共58页第四十八页，共58页。偏差(pinch)有正有负,值都较小且便于(biny)计算,可由偏差(pinch)平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体 首页第49页/共58页第四十九页，共58页。特别,当数据点分布近似(j

15、n s)一条直线时,问题(wnt)为确定 a,b 令满足(mnz):使得解此线性方程组 即得 a,b首页第50页/共58页第五十页，共58页。例为了测定刀具(doj)的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验(shyn)数据如下:找出一个能使上述数据大体(dt)适合的经验公式.解 通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7首页第51页/共58页第五十一页，共58页。得法方程组解得 故所求经验(jngyn)公式为0 0

16、 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述(shngsh)经验公式的优劣,计算各点偏差(pinch)如下:首页第52页/共58页第五十二页，共58页。称为(chn wi)均方误差,对本题(bnt)均方误差它在一定(ydng)程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086

17、 0.093 0.200 首页第53页/共58页第五十三页，共58页。称为(chn wi)均方误差,对本题(bnt)均方误差它在一定(ydng)程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 首页第54页/共58页第五十四页，共58页。作业(zuy)：P.141 1 首页第55页/共58页第五十五页，共58页。设 f 在 a,b 连续(linx)，在(a,b)可导，则存在使得(sh de)中值公式(gngsh)也可表示为：一元函数中值定理首页第56页/共58页第五十六页，共58页。一元函数的泰勒(ti l)公式:设函数(hnsh)在 x0 的某邻域(ln y)首页第57页/共58页第五十七页，共58页。感谢您的观看(gunkn)！第58页/共58页第五十八页，共58页。