二阶与三阶行列式线性代数.ppt

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1、1数学数学(shxu)(shxu)好玩好玩.陈省身陈省身但得此中味但得此中味,勿为醒者传勿为醒者传.李白李白武林高手的最高境界武林高手的最高境界(jngji):(jngji):无招无招.第1页/共49页第一页，共50页。2数学的好玩之处数学的好玩之处,主要在于主要在于(ziy)(ziy)数学中有些极具数学中有些极具实用意义的内容实用意义的内容,包含了深刻的奥妙包含了深刻的奥妙,发人深思发人深思,使使人惊讶人惊讶.比如以数学家比如以数学家EulerEuler命名的一个命名的一个(y)(y)公式公式:其中其中i i是虚数单位是虚数单位(dnwi),(dnwi),是圆周率是圆周率,e,e是一个无理数

2、是一个无理数,第2页/共49页第二页，共50页。3主要(zhyo)内容第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵矩阵第三章第三章 向量向量(xingling)(xingling)组的线性相关性组的线性相关性第四章第四章 线性方程组线性方程组第五章第五章 矩阵对角化矩阵对角化第六章第六章 二次型二次型第3页/共49页第三页，共50页。4参考书目同济大学同济大学 线性代数线性代数 高等高等(godng)教育出版社教育出版社湘潭大学湘潭大学 线性代数线性代数 科学出版社科学出版社北京大学北京大学 高等高等(godng)代数代数 高等高等(godng)教育出版社教育出版社（第三版）（第三版）第4页/

3、共49页第四页，共50页。5线性代数(xin xn di sh)(xin xn di sh)简史线性代数是高等代数的一大分支线性代数是高等代数的一大分支(fnzh)(fnzh)。我们知道。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容在线性代数中最重要的内容(nirng)(nirng)就是行列式就是行列式和矩阵。和矩阵。行列式和矩阵行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意在十九世纪受到很大的注意,而且写了成而且写了成千篇关于这两个课题的文章。千篇关于这两个课题的文章。向量的概念向量

4、的概念,从数学的观点来看不过是有序三元数组的一从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合个集合,然而它以力或速度作为直接的物理意义然而它以力或速度作为直接的物理意义,并且数并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。学上用它能立刻写出物理上所说的事情。第5页/共49页第五页，共50页。6线性代数学科和矩阵线性代数学科和矩阵(j zhn)(j zhn)理论是伴随着线性系统理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念行列式的概念(ginin)(ginin)最早是由十七世纪日本数学家关孝和最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在提出来的，他在 168

5、3 1683 年写了一部叫做解伏题之法的著年写了一部叫做解伏题之法的著作，意思是作，意思是“解行列式问题的方法解行列式问题的方法”，书里对行列式的，书里对行列式的概念概念(ginin)(ginin)和它的展开已经有了清楚的叙述。和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲欧洲(u zhu)(u zhu)第一个提出行列式概念的是德国的数学家，第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz,1693Leibnitz,1693年）。年）。第6页/共49页第六页，共50页。71750 年克莱姆（年克莱姆（Cramer）发表了求解线性系统方程的）发表

6、了求解线性系统方程的重要重要(zhngyo)基本公式（既人们熟悉的基本公式（既人们熟悉的 克莱姆法则）。克莱姆法则）。1764 年年,贝佐特贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定号的手续系统化了。对给定(i dn)了含了含 n 个未知个未知量的量的 n 个齐次线性方程个齐次线性方程,Bezout 证明了系数行列式证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。等于零是这方程组有非零解的条件。第7页/共49页第七页，共50页。8范德蒙范德蒙(Vandermonde)是第一个对行列式理是第一个对行列式理论进行系统的阐述论进行系统的阐述(即把行列式

7、理论与线性方程即把行列式理论与线性方程组求解组求解(qi ji)相分离相分离)的人。并且给出了一条的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。是这门理论的奠基人。第8页/共49页第八页，共50页。9拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)在在 1772 1772 年的论文对积分和世界年的论文对积分和世界体系的探讨中体系的探讨中,证明了证明了 Vandermonde Vandermonde 的一些规则的一些规则,并推广了他的展开行

8、列式的方法并推广了他的展开行列式的方法,用用 r r 行中所含的子式行中所含的子式和它们的余子式的集合和它们的余子式的集合(jh)(jh)来展开行列式，这个方法现来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比（德国数学家雅可比（Jacobi Jacobi）也于）也于 1841 1841 年总结年总结(zngji)(zngji)并提出了行列式的系统理论。并提出了行列式的系统理论。第9页/共49页第九页，共50页。10另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西柯西 (Cauchy),(Cauchy),他大大发展了行列式的

9、理论，在行列式的他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了明了 Laplace Laplace 的展开的展开(zhn ki)(zhn ki)定理。定理。第10页/共49页第十页，共50页。11 高斯（高斯（GaussGauss）大约在）大约在 1800 1800 年提出了高斯消元法并用年提出了高斯消元法并用(bn yn)(bn yn)它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中

10、的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何解释如何(rh)(rh)运用运用“高斯高斯”消去的方法求解带有三消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。法一直被认为是测

11、地学发展的一部分，而不是数学。第11页/共49页第十一页，共50页。12矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法合适的矩阵乘法(chngf)(chngf)定义。二者要在大约同定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。一时间和同一地点相遇。1848 1848 年英格兰的西尔维斯特年英格兰的西尔维斯特(J.J.Sylvester)(J.J.Sylvester)首先首先提出提出(t ch)(t ch)了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。表一排数。第12页/共49页第十二页，共50页。1318551855年

12、矩阵代数得到了凯莱年矩阵代数得到了凯莱(Arthur Cayley)(Arthur Cayley)的工的工作培育。作培育。CayleyCayley研究研究(ynji)(ynji)了线性变换的组成了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换STST的系的系数矩阵变为矩阵数矩阵变为矩阵S S和矩阵和矩阵T T的乘积。他还进一步研的乘积。他还进一步研究究(ynji)(ynji)了那些包括矩阵逆在内的代数问题。了那些包括矩阵逆在内的代数问题。第13页/共49页第十三页，共50页。14数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有数学家试图研究向量代数，但在任意

13、维数中并没有(mi(mi yu)yu)两个向量乘积的自然定义。两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（即第一个涉及一个不可交换向量积（即 v w v w 不等于不等于(dngy)w v(dngy)w v）的向量代数是由格拉斯曼）的向量代数是由格拉斯曼(Hermann(Hermann Grassmann)Grassmann)在在18441844年他的线性扩张论一年他的线性扩张论一 书中提出的。书中提出的。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为果就是现在称之为秩数为 1 1 的矩阵，或简单矩阵。的矩阵

14、，或简单矩阵。19 世纪末美国数学世纪末美国数学(shxu)物理学家吉布斯物理学家吉布斯(Willard Gibbs)发表了关于向量分析基础发表了关于向量分析基础 的著名论述。的著名论述。第14页/共49页第十四页，共50页。15其后英国物理学家狄拉克其后英国物理学家狄拉克(P.A.M.Dirac 1902-(P.A.M.Dirac 1902-1984)1984)提出提出(t ch)(t ch)了行向量和列向量的乘积为标量。了行向量和列向量的乘积为标量。矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的发展是与线性变换密的发展是与线性变换密切相连的。切相连的。现代现代(xindi)(xindi)向量空间的

15、定义是由皮亚诺向量空间的定义是由皮亚诺(Peano)(Peano)于于 1888 1888 年提出的。年提出的。到到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。我们习惯的列矩阵和向量都是在我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。世纪由物理学家给出的。第15页/共49页第十五页，共50页。16二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义又有了新的含义(hny)(hny)，特别是在矩阵的数值分，特别是在矩阵的数值分析等方面。析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，由于计算机

16、的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。础。第16页/共49页第十六页，共50页。17阿贝尔(Abel)与伽罗瓦(Galois)挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔(1802.8.51829.4.6)(1802.8.51829.4.6)，以证明，以证明(zhngmng)(zhngmng)五次元方程的根式解的不可能性而闻名。五次元方程的根式解的不可能性而

17、闻名。法国数学家厄米特（法国数学家厄米特（Hermite 18221901Hermite 18221901）在谈到阿贝）在谈到阿贝尔的贡献时曾说过：尔的贡献时曾说过：“阿贝尔留下的工作，可以使以后阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够的数学家足够(zgu)(zgu)忙碌忙碌150150年！年！”在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作，于在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作，于是在不到是在不到2020岁的时候在代数方程论推陈出新岁的时候在代数方程论推陈出新(tu chn (tu chn ch xn)ch xn)创立了一门新的数学理论创立了一门新的数学理论伽罗瓦理论，这伽罗瓦理论，

18、这个发现者伽罗瓦还建立了群论的基础理论。个发现者伽罗瓦还建立了群论的基础理论。第17页/共49页第十七页，共50页。18法国数学家伽罗瓦法国数学家伽罗瓦(1811.10.25-1832.5.31)(1811.10.25-1832.5.31)，与阿贝尔并，与阿贝尔并称为称为(chn wi)(chn wi)现代群论的创始人。现代群论的创始人。伽罗瓦理论是当代代数与数论的基本支柱之一。它直接伽罗瓦理论是当代代数与数论的基本支柱之一。它直接(zhji)(zhji)推论的结果十分丰富：推论的结果十分丰富：3.3.他解决了古代三大作图问题中的两个：他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能不能任意任意(rn

19、y)(rny)三等分角三等分角”，“倍立方不可能倍立方不可能”。2.2.它漂亮地证明高斯的论断：若尺规作图能作出正它漂亮地证明高斯的论断：若尺规作图能作出正p边形，边形，p为质数且此同时为质数且此同时 。1.1.它系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式它系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。解，而四次以下有公式解。第18页/共49页第十八页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强19第一章第一章 行列式行列式第一节第一节 二阶与三阶二阶与三阶(sn ji)行列式行列式第19页/共49页第十九页，共50页。20用消元法解二元线性方程组用消元法解二

20、元线性方程组一、二阶行列式的引入其中其中(qzhng)是未知量，其它是未知量，其它(qt)字母是已知量。字母是已知量。第20页/共49页第二十页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强21方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数由方程组的四个系数(xsh)确定确定.第21页/共49页第二十一页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强22 由四个数排成二行二列（横排由四个数排成二行二列（横排(hn pi)称行、称行、竖排竖排称列）的数表称列）的数表定义定义(dngy)即即第22页/共49页第二十二页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强2

21、3主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则(fz)二阶行列式的计算二阶行列式的计算(j sun)其中元素其中元素 aij 的第一个下标的第一个下标 i 为行指标为行指标，第二个下标第二个下标 j 为为列指标列指标。即即 aij 位于行列式的第位于行列式的第 i 行第行第 j 列列。第23页/共49页第二十三页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强24若记若记对于对于(duy)二元线性方程组二元线性方程组系数系数(xsh)行列式行列式第24页/共49页第二十四页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强25第25页/共49页第二十五页，共50页。

22、湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强26第26页/共49页第二十六页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强27则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母分母(fnm)都为原方程组的系数行列式都为原方程组的系数行列式.第27页/共49页第二十七页，共50页。湘潭大学(dxu)数学与计算科学学院 王文强28例例1 1 1 1解解第28页/共49页第二十八页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强29二、三阶(sn ji)行列式定义定义(dngy)记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列

23、式三阶行列式三阶行列式.第29页/共49页第二十九页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强30(1)(1)沙路法沙路法三阶三阶(sn ji)行列式的计算行列式的计算.列标列标行标行标第30页/共49页第三十页，共50页。湘潭大学(dxu)数学与计算科学学院 王文强31(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则(fz)(fz)(fz)(fz)注意注意 红线红线(hn xin)上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

24、第31页/共49页第三十一页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王文强32 如果如果(rgu)三元线性方程组三元线性方程组的系数的系数(xsh)行列式行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.第32页/共49页第三十二页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王文强33若记若记或或第33页/共49页第三十三页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王

25、文强34记记即即第34页/共49页第三十四页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强35第35页/共49页第三十五页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强36得得第36页/共49页第三十六页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强37得得第37页/共49页第三十七页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强38则三元则三元(sn yun)线性方程线性方程组的解为组的解为:是将是将D的第的第i列换成右端项得到列换成右端项得到(d do)。第38页/共49页第三十八页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王文

26、强39例例 解解按对角线法则按对角线法则(fz)，有，有第39页/共49页第三十九页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强40例例3 3解解方程方程(fngchng)左端左端第40页/共49页第四十页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王文强41例4.利用对角线法则计算下列(xili)三阶行列式：第41页/共49页第四十一页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强42（1 1）（2 2）第42页/共49页第四十二页，共50页。湘潭大学数学与计算(j sun)科学学院 王文强43第43页/共49页第四十三页，共50页。湘潭大学(dxu)数学与

27、计算科学学院 王文强44例例5 5 解线性方程组解线性方程组解解由于由于(yuy)方程组的系数行列式方程组的系数行列式第44页/共49页第四十四页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王文强45同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:第45页/共49页第四十五页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强46 二阶和三阶二阶和三阶(sn ji)行列式是由解二元和三元线性方行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结(xioji)第46页/共49页第四十六页，共50页。湘潭大学数学与计算

28、(j sun)科学学院 王文强47思考题思考题第47页/共49页第四十七页，共50页。湘潭大学数学(shxu)与计算科学学院 王文强48思考题解答思考题解答(jid)解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意由题意(t y)得得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得第48页/共49页第四十八页，共50页。湘潭大学数学与计算科学(kxu)学院 王文强49感谢您的观看(gunkn)！第49页/共49页第四十九页，共50页。内容(nirng)总结1。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意,而且写了成千篇关于这两个课题的文章。线性代数学科和矩阵理论(lln)是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹（Leibnitz,1693年）。数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。感谢您的观看第五十页，共50页。