数学层次分析法学习教案.pptx

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1、会计学1数学数学(shxu)层次分析法层次分析法第一页，共56页。第一第一(dy)讲讲层次分析法层次分析法第1页/共56页第二页，共56页。1.1 引言与引例引言与引例 层次分析法层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称，简称 AHP)是美国运筹学家是美国运筹学家 T.L.Saaty 教授于上世纪教授于上世纪 70 年代初期提出年代初期提出的一种简便、灵活的一种简便、灵活(ln hu)而又实用的而又实用的多准则决策方法。多准则决策方法。第2页/共56页第三页，共56页。人们在进行社会、经济、管理以及工程技术领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互(xingh)

2、关联、相互(xingh)制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度(排序权重)赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？第3页/共56页第四页，共56页。引例：综合评价(pngji)某公司招聘工作人员，拟从能力、知识和仪态三个方面考核应聘者的综合表现。为此建立了如下评价(pngji)指标的层次结构：第4页/共56页第五页，共56页。其中 x1=写作水平，x2=外语(wiy)程度，x3=公关能力，x4=国内外政治经济时事，x5=计算机操作知识，x6=

3、容貌与风度，x7=体形高矮与肥瘦，x8=音色。第5页/共56页第六页，共56页。如能知道底层指标 x1,x8 对最高层的权系数 w1,w8 以及(yj)各底层指标的得分，就可以按照如下的评价公式，对应聘者进行考核、排序：第6页/共56页第七页，共56页。引例(yn l)：综合决策 某地要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。在此问题中过河方式的确定取决于过河的效益与代价(即成本)。通常我们用费效比(即效益/代价)作为选择方案的标准。为此分别给出了两个层次结构(图 和图)。它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的

4、。第7页/共56页第八页，共56页。第8页/共56页第九页，共56页。第9页/共56页第十页，共56页。决策的制定(zhdng)将取决于根据这两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之比，即如能知道底层方案 Di(i=1,2,3)对最高层 Aj(j=1,2)的权系数 wij(i=1,2,3，j=1,2)，则可根据如下的决策公式对三个方案进行排序、选择：Si=wi1/wi2，i=1,2,3 第10页/共56页第十一页，共56页。引例(yn l)：预测或估计 在体育比赛中预测一个代表队的成绩，有三种可能的前景：x1=名列第一 x2=名列前八名(不包括第一)x3=名落孙山 所用的评价指标有三个：竞

5、技实力、自信心、环境因素。第11页/共56页第十二页，共56页。为此(wi c)构建如下的层次结构：第12页/共56页第十三页，共56页。如能知道底层指标 x1,x2,x3 对最高层的权系数 w1j,w2j,w3j(j=1,2,3)，将各相同前景的权系数相加，就可以按照(nzho)如下的预测公式，对各前景 x1,x2,x3 对进行先验预测：第13页/共56页第十四页，共56页。引例：投入量的分配 在这种问题中，投入量给定(i dn)，要把它们分配到若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权重，把权系数看成分配的百分比率即可。第14页/共56页第十五页，共56页。层次分析法为这类问题的决策和排序

6、提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。层次分析法在经济、科技(kj)、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。第15页/共56页第十六页，共56页。1.2 层次分析法的基本原理和步骤层次分析法的基本原理和步骤 运用层次分析法解决问题，大运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：体可以分为四个步骤：1.建立问题的递阶层次结构；建立问题的递阶层次结构；2.构造两两比较构造两两比较(bjio)判断矩判断矩阵；阵；3.由判断矩阵计算被比较由判断矩阵计算被比较(bjio)元素相对

7、权重；元素相对权重；4.计算各层次元素的组合权重。计算各层次元素的组合权重。第16页/共56页第十七页，共56页。建立递阶层次结构 建立递阶层次结构是层次分析法中的第一步。首先，将复杂问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些(zhxi)元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。第17页/共56页第十八页，共56页。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次：处于(chy)最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果；中间层次一般是准则、子准则；最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系

8、不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。第18页/共56页第十九页，共56页。一个典型的层次可以用下图表示(biosh)出来：第19页/共56页第二十页，共56页。其次，层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。第三，一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定(j q b dng)，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。第2

9、0页/共56页第二十一页，共56页。一个递阶层次结构应具有以下特点：(1)从上到下顺序地存在支配关系，并用直线(zhxin)段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。(2)整个结构中层次数不受限制。第21页/共56页第二十二页，共56页。(3)最高层只有一个元素(yun s)，每个元素(yun s)所支配的元素(yun s)一般不超过 9 个，元素(yun s)多时可进一步分组。(4)对某些具有子层次的结构可引入虚元素(yun s)，使之成为

10、递阶层次结构。第22页/共56页第二十三页，共56页。构造两两比较判断矩阵 在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系(gun x)就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1,An 有支配关系(gun x)，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1,An 相应的权重。第23页/共56页第二十四页，共56页。对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些(zhxi)元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。层次分析法所用的是两两比较的方法。第24页/共56页第二十五页，共56页。第一(dy)，在两两比

11、较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则 Ck，两个元素 Ai 和 Aj 哪一个更重要一些，重要多少；需要对重要多少赋予一定的数值。这里使用 19 的比例标度，它们的意义见下面的表 。第25页/共56页第二十六页，共56页。表 标度(bio d)的意义1表示两个元素相比，具有同样的重要性3表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要2，4，6，8 为上述相邻判断的中值第26页/共56页第二十七页，共56页。例如，准则是社会经济效益，子准则可分为(f

12、n wi)经济、社会和环境效益。如果认为经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取 5，而社会效益对于经济效益的比例标度则取 1/5。第27页/共56页第二十八页，共56页。19 的标度方法是将思维判断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策判断来说，19 级的标度是适用的。其次，心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的分辨能力在 59 级之间，采用 19 的标度反映多数人的判断能力。再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般需要(xyo)将较高数量

13、级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于 19 的标度。第28页/共56页第二十九页，共56页。第二，对于 n 个元素 A1,An 来说，通过两两比较，得到两两比较判断矩阵(j zhn)A：A=(aij)nn 其中判断矩阵(j zhn)具有如下性质：(1)aij 0；(2)aij=1/aji；(3)aii=1。我们称 A 为正的互反矩阵(j zhn)。根据性质(2)和(3)，事实上，对于 n 阶判断矩阵(j zhn)仅需对其上(下)三角元素共 n(n-1)/2 个给出判断即可。第29页/共56页第三十页，共56页。计算单一准则下元素的相对权重

14、这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1,An 排序权重的计算问题。对于(duy)n 个元素 A1,An，通过两两比较得到判断矩阵 A，解特征根问题Aw=maxw所得到的 w 经归一化后作为元素 A1,An 在准则 Ck 下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。第30页/共56页第三十一页，共56页。特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的 Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性：定理 设 n 阶方阵 A 0，max 为 A 的模最大的特征根，则有 (1)max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；(2)A 的任何(rnh)其它特征根 恒有|max；

15、(3)max 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。第31页/共56页第三十二页，共56页。特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量 w，可用 Matlab 软件直接(zhji)计算。例如：计算下面矩阵的最大特征值及相应的特征向量。第32页/共56页第三十三页，共56页。相应(xingyng)的 Matlab 程序如下：A=1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1;x,y=eig(A);eigenvalue=dia

16、g(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y 是特征值，且从大到小排列；是特征值，且从大到小排列；x 是特征向量矩阵是特征向量矩阵(j zhn)，每一列为，每一列为 相应特征值的一个特征向量。相应特征值的一个特征向量。第33页/共56页第三十四页，共56页。输出(shch)结果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604第34页/共56页第三十五页，共56页。判断矩阵的一致性检验 在特殊情况下，判断矩阵 A 的元素具有传递性，即满足等式aij ajk=aik 例如：当

17、Ai 和 Aj 相比的重要性比例标度为 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例标度为 2 时，一个传递性的判断应有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例标度为 6。当上(dn shn)式对矩阵 A 的所有元素均成立时，判断矩阵 A 称为一致性矩阵。第35页/共56页第三十六页，共56页。一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识(rn shi)的多样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵

18、过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。第36页/共56页第三十七页，共56页。因而必须对判断(pndun)矩阵的一致性进行检验。判断(pndun)矩阵一致性检验的步骤如下：(1)计算一致性指标 C.I.：其中 n 为判断(pndun)矩阵的阶数；第37页/共56页第三十八页，共56页。(2)查找平均随机一致性指标 R.I.：平均随机一致性指标是多次(500 次以上)重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到(d do)的。龚木森、许树柏 1986 年得出的115 阶判断矩阵重复计算 1000 次的平均随机一致性指标如下：阶数12345678R.

19、I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第38页/共56页第三十九页，共56页。(3)计算一致性比例 C.R.：当 C.R.0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当(shdng)的修正。第39页/共56页第四十页，共56页。计算各层元素的组合权重 为了得到递阶层次(cngc)结构中每一层次(cngc)中所有元素相对于总目标的相对权重，需要把中的计算结果进行适当的组合，并进行总的一致性检验。这一步是由上而下逐层进行的。最终计算结果得出最低层次(cngc)元

20、素，即决策方案的优先顺序的相对权重和整个递阶层次(cngc)模型的判断一致性检验。第40页/共56页第四十一页，共56页。假定(jidng)递阶层次结构共有 m 层，第 k 层有 nk 个元素(k=1,2,m)，如图。第41页/共56页第四十二页，共56页。如果已经计算出第 k1 层 nk1个元素 A1,A2,相对于总目标的组合排序权重向量(xingling)w(k1)=(w1(k1),w2(k1),wnk1(k1)T以及第 k 层 nk 个元素 B1,B2,相对于第 k 1层每个元素 Aj(j=1,2,nk1)的单排序权重向量(xingling)pj(k)=(p1j(k1),p2j(k1),

21、pnk j(k1)T，其中不受 Aj 支配的元素权重取为 0；则可构造一个 nk nk 1 阶的矩阵 P(k)：第42页/共56页第四十三页，共56页。作 nk nk 1 阶矩阵P(k)=(p1(k),p2(k),pnk 1(k)于是，第 k 层 nk 个元素 B1,B2,相对于总目标的组合排序权重向量为w(k)=(w1(k),w2(k),wnk(k)T=P(k)w(k1)，并且(bngqi)一般公式为w(k)=P(k)P(k1)P(3)w(2)。第43页/共56页第四十四页，共56页。对于递阶层次模型的判断一致性检验，需要类似(li s)地逐层计算。如果分别得到了第 k1 层次的计算结果 C

22、.I.k1、R.I.k 1 和 C.R.k1，则第 k 层次的相应指标为第44页/共56页第四十五页，共56页。这里 和 分别是第 k 层 nk 个元素 B1,B2,Bnk在第 k 1 层每个准则 Aj(j=1,nk 1)下判断矩阵的一致性指标和平均随机(su j)一致性指标。当 C.R.k 0.1 时，认为递阶层次在第 k 层水平上整个判断有满意的一致性。第45页/共56页第四十六页，共56页。1.3 范例范例 工作选择：经双方恳谈，已有三工作选择：经双方恳谈，已有三个单位表示个单位表示(biosh)愿意录用某毕业愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层生。该生根据已有信息建立了一个层

23、次结构模型，如下图所示：次结构模型，如下图所示：第46页/共56页第四十七页，共56页。经过仔细斟酌，该生对准则层和方案层分别(fnbi)进行了两两比较，所做的两两比较判断矩阵为：第47页/共56页第四十八页，共56页。第48页/共56页第四十九页，共56页。第49页/共56页第五十页，共56页。第50页/共56页第五十一页，共56页。对矩阵 A 和 Bj(j=1,6)分别进行求最大特征值、一致性判断、求权值等运算，再经过组合权重的计算和组合一致性的判断，最终结果是：该生最满意的工作(gngzu)为工作(gngzu)1。中间的具体计算结果如表 和表 所示。第51页/共56页第五十二页，共56页

24、。表各层及组合(zh)权值准则研究 发展 待遇 同事 地理 单位课题 前途 情况 位置 名气总排序权 值准则层权值0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.2879方案层单排序权 值工作10.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.79860.3952工作20.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.2996工作30.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.09650.3052第52页/共56页第五十三页，共56页。表各层及组合(zh)一致性比例准则研究 发展

25、待遇 同事 地理 单位课题 前途 情况 位置 名气 组合一致比例准则层一致比例0.0981方案层一致比例0.0176 0.0236 0.0068 0.0624 0.0000 0.00680.1111第53页/共56页第五十四页，共56页。注意：事实上，在准则层的最终组合一致性比例为注意：事实上，在准则层的最终组合一致性比例为 0.1111，大于，大于 0.1。但由于各个单层的一致性都是可以接受的，组合一致性比例比。但由于各个单层的一致性都是可以接受的，组合一致性比例比 0.1大的很少，考虑到调整两两比较判断大的很少，考虑到调整两两比较判断(pndun)矩阵非常麻烦，故在此问题中，我们认可这样的一致性比例。矩阵非常麻烦，故在此问题中，我们认可这样的一致性比例。第54页/共56页第五十五页，共56页。谢谢谢谢(xi xie)第55页/共56页第五十六页，共56页。