数学规划法在结构优化设计中应用学习教案.pptx

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1、会计学1数学规划法在结构优化设计数学规划法在结构优化设计(shj)中应用中应用第一页，共73页。3.1 3.1 数学规划数学规划数学规划数学规划(guhu)(guhu)问题的分类及解法问题的分类及解法问题的分类及解法问题的分类及解法I.数学规划问题数学规划问题(wnt)的一般提法是：的一般提法是：寻找一组设计变量变寻找一组设计变量变 X=X1,X2,X3,XnT 使得使得 f(x)min s.t.g i(X)0 i=1,2,m g e(X)=0 e=1,2,n 其中其中,X-设计变量设计变量 f(x)-目标函数目标函数 g i(X)和和 g e(X)-约束条约束条件件第2页/共73页第二页，共

2、73页。(1)按约束的有无按约束的有无(yu w)，可分为：，可分为：无约束最优化问题无约束最优化问题有约束最优化问题有约束最优化问题准无约束最优化问题准无约束最优化问题II.II.数学规划问题数学规划问题数学规划问题数学规划问题(wnt)(wnt)的分类的分类的分类的分类第3页/共73页第三页，共73页。线性规划线性规划线性规划线性规划非线性规划非线性规划非线性规划非线性规划如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划如果目标函数是二次函数而约束函数是一

3、次函数，则称为二次规划如果目标函数是二次函数而约束函数是一次函数，则称为二次规划如果目标函数是二次函数而约束函数是一次函数，则称为二次规划如果目标函数是二次函数而约束函数是一次函数，则称为二次规划如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质(xngzh)(xngzh)的参数则的参数则的参数则的参数则称为随机规划称为

4、随机规划称为随机规划称为随机规划(2)(2)按目标函数按目标函数按目标函数按目标函数(hnsh)(hnsh)和约束函数和约束函数和约束函数和约束函数(hnsh)(hnsh)是否为线性，可分为：是否为线性，可分为：是否为线性，可分为：是否为线性，可分为：第4页/共73页第四页，共73页。对于线性规划问题，单纯形法十分对于线性规划问题，单纯形法十分(shfn)有效有效无约束非线性规划问题无约束非线性规划问题不利用梯度的算法：不利用梯度的算法：0.618法、单纯形法、法、单纯形法、Powell法和随机搜索法和随机搜索法法利用梯度的算法：最速下降法、共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法利用梯度的算法：最速下降

5、法、共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法有约束非线性规划问题有约束非线性规划问题转化法：内罚函数法、外罚函数法转化法：内罚函数法、外罚函数法直接法：可行方向法、最佳矢量法、梯度投影法直接法：可行方向法、最佳矢量法、梯度投影法序列近似规划法：序列二次规划方法、序列线性规划方法序列近似规划法：序列二次规划方法、序列线性规划方法III.III.数学规划数学规划数学规划数学规划(guhu)(guhu)问题的求解问题的求解问题的求解问题的求解第5页/共73页第五页，共73页。IV.IV.无约束优化问题的基本无约束优化问题的基本无约束优化问题的基本无约束优化问题的基本(jbn)(jbn)下降算法下降算法下降算法下

6、降算法原问题：原问题：原问题：原问题：min f(x)x=x1,x2,x3,xnTmin f(x)x=x1,x2,x3,xnT(1)(1)求解其最优化的必要条件：求解其最优化的必要条件：求解其最优化的必要条件：求解其最优化的必要条件：f(x*)=0 (2)f(x*)=0 (2)但是但是但是但是(dnsh)(dnsh)式式式式(2)(2)是一个非线性方程组，与求解原问题同样困难。是一个非线性方程组，与求解原问题同样困难。是一个非线性方程组，与求解原问题同样困难。是一个非线性方程组，与求解原问题同样困难。在数学规划法中，是用迭代下降的算法找到极小值点。即先假定一在数学规划法中，是用迭代下降的算法找

7、到极小值点。即先假定一在数学规划法中，是用迭代下降的算法找到极小值点。即先假定一在数学规划法中，是用迭代下降的算法找到极小值点。即先假定一个初始设计个初始设计个初始设计个初始设计x(0),x(0),然后在第然后在第然后在第然后在第k k次迭代次迭代次迭代次迭代(k=0,1,2,),(k=0,1,2,),用用用用x(k+1)x(k+1)代替代替代替代替x(k)x(k)，要求，要求，要求，要求x(k+1)x(k+1)比比比比x(k)x(k)更接近最优解。对于无约束优化问题，更接近最优解。对于无约束优化问题，更接近最优解。对于无约束优化问题，更接近最优解。对于无约束优化问题，也就是要求目标函数有所下

8、降，即也就是要求目标函数有所下降，即也就是要求目标函数有所下降，即也就是要求目标函数有所下降，即 f(x(k+1)f(x(k)f(x(k+1)f(x(k)第6页/共73页第六页，共73页。在数学规划中，一般迭代格式可以写成：在数学规划中，一般迭代格式可以写成：x(k+1)=x(k)+P(k),-步长步长(Step length)，正标量，正标量 P(k)-方向向量方向向量(Directional vector)因此目标因此目标(mbio)函数的下降要求可以改写成：函数的下降要求可以改写成：f(x(k)+P(k)f(x(k)如果函数如果函数f(x)在在x(k)是一次可微的，则对足够下小的是一次可

9、微的，则对足够下小的 有：有：f(x(k)+P(k)-f(x(k)Tf(x(k)P(k)0由于由于 是正标量，所以：是正标量，所以：Tf(x(k)P(k)0这说明搜索方向应该和目标这说明搜索方向应该和目标(mbio)函数负梯度方向夹函数负梯度方向夹角小于角小于90，这样的方向称之为下山方向。，这样的方向称之为下山方向。第7页/共73页第七页，共73页。基本基本(jbn)的下降算法：的下降算法：令令k=0,给定初始解给定初始解x(0)；*求搜索方向求搜索方向P(k),使使Tf(x(k)P(k)0,0n n它意味它意味它意味它意味(ywi)(ywi)最优化必要条件已经以足够的精度得到满足。最优化必

10、要条件已经以足够的精度得到满足。最优化必要条件已经以足够的精度得到满足。最优化必要条件已经以足够的精度得到满足。n n前后两次迭代所得的设计点之间的距离小于指定的小量前后两次迭代所得的设计点之间的距离小于指定的小量前后两次迭代所得的设计点之间的距离小于指定的小量前后两次迭代所得的设计点之间的距离小于指定的小量 n n前后两次迭代目标函数值下降的相对值已经足够小前后两次迭代目标函数值下降的相对值已经足够小前后两次迭代目标函数值下降的相对值已经足够小前后两次迭代目标函数值下降的相对值已经足够小n n工程结构优化时常采用固定的迭代次数作为停止迭代准则工程结构优化时常采用固定的迭代次数作为停止迭代准则

11、工程结构优化时常采用固定的迭代次数作为停止迭代准则工程结构优化时常采用固定的迭代次数作为停止迭代准则第12页/共73页第十二页，共73页。3.2 3.2 一维搜索一维搜索一维搜索一维搜索(su su(su su)方法方法方法方法一维搜索方法是数学规划一维搜索方法是数学规划(guhu)方法的一方法的一种基本方法，也是其它优化方法的一种中种基本方法，也是其它优化方法的一种中间手段间手段第13页/共73页第十三页，共73页。i.0.618i.0.618法法法法0.618法的基本思想法的基本思想是通过是通过(tnggu)取取试探点和进行函数试探点和进行函数值比较，使包含极值比较，使包含极小点的搜索区间

12、不小点的搜索区间不断缩短，从而各点断缩短，从而各点可以看作为极小点可以看作为极小点的近似。这类方法的近似。这类方法仅需计算函数值，仅需计算函数值，用途广泛，尤其适用途广泛，尤其适用于非光滑函数形用于非光滑函数形式。式。第14页/共73页第十四页，共73页。第15页/共73页第十五页，共73页。ii.ii.插值法插值法插值法插值法插值法是一类插值法是一类(y li)重要的一维搜索方法。其基重要的一维搜索方法。其基本思想是在搜索区间中不断用低次（通常不超过本思想是在搜索区间中不断用低次（通常不超过三次）多项式来近似目标函数，并逐渐用插值多三次）多项式来近似目标函数，并逐渐用插值多项式的极小点来逼近

13、一维搜索问题。当函数具体项式的极小点来逼近一维搜索问题。当函数具体比较好的解析性质时，插值法比直接方法效果更比较好的解析性质时，插值法比直接方法效果更好。好。第16页/共73页第十六页，共73页。一点一点一点一点(y di(y di n)n)二次插值法（牛顿法）二次插值法（牛顿法）二次插值法（牛顿法）二次插值法（牛顿法）第17页/共73页第十七页，共73页。二点二次插值法二点二次插值法二点二次插值法二点二次插值法I I第18页/共73页第十八页，共73页。第19页/共73页第十九页，共73页。二点二次插值法二点二次插值法二点二次插值法二点二次插值法IIII（割线（割线（割线（割线(gxin)(

14、gxin)法）法）法）法）第20页/共73页第二十页，共73页。不同不同不同不同(b tn(b tn)搜索方法比较搜索方法比较搜索方法比较搜索方法比较连续性连续性收敛性收敛性适用范围适用范围0.618法法0阶0.618最优点在所选最优点在所选最优点在所选最优点在所选区间中区间中区间中区间中牛顿法牛顿法2阶2靠近最优点靠近最优点靠近最优点靠近最优点二点二次插值法二点二次插值法1阶1.618靠近最优点靠近最优点靠近最优点靠近最优点割线法割线法1阶1.618靠近最优点靠近最优点靠近最优点靠近最优点第21页/共73页第二十一页，共73页。3.3 3.3 确定搜索确定搜索确定搜索确定搜索(su su(s

15、u su)方向的算法方向的算法方向的算法方向的算法n ni.最速下降法最速下降法n n前面已经知道，目标函数沿前面已经知道，目标函数沿负梯度方向下降最快，因此负梯度方向下降最快，因此取负梯度方向为搜索方向，取负梯度方向为搜索方向，即：即：n n P(k)=-f(x(k)n n x(k+1)x(k)-f(x(k)n n基本基本(jbn)算法：算法：n n给定初始点给定初始点x(0)，令，令k=0；n n计算计算f(x(k)若若f(x(k)成立，则成立，则x*=x(k)，停机，停机，否则转下一步；否则转下一步；n n求求P(k)=-f(x(k)，求，求 (k)=min f(x(k)-f(x(k)；

16、n n调整设计调整设计x(k+1)x(k)-f(x(k)，回第，回第(2)步。步。第22页/共73页第二十二页，共73页。讨论：讨论：在前后两次迭代过程中，搜索在前后两次迭代过程中，搜索方向是相互正交的，方向是相互正交的，z这是这是因为在一维搜索中因为在一维搜索中x(k+1)x(k)-(k)f(x(k)，而而(k)是由是由()=0求得，求得，即即()=-f(x(k)-(k)f(x(k)f(x(k)=-f(x(k)f(x(k)=0 由此可见，最速下降法走由此可见，最速下降法走的是的是“之之”字形字形最速下降法是一阶线性收敛，最速下降法是一阶线性收敛，收敛速度较慢。收敛速度较慢。最速下降法与变量长

17、度有关，最速下降法与变量长度有关，即与变量尺度即与变量尺度(chd)关系关系很大。很大。最速下降法迭代过程简单，不最速下降法迭代过程简单，不受初始点位置限制。因此虽受初始点位置限制。因此虽然该方法有收敛慢，依赖于然该方法有收敛慢，依赖于变量的尺度变量的尺度(chd)等缺点，等缺点，但这些缺点往往在最优点附但这些缺点往往在最优点附近表现得才明显。近表现得才明显。第23页/共73页第二十三页，共73页。第24页/共73页第二十四页，共73页。ii.Newtonii.Newton法法法法第25页/共73页第二十五页，共73页。n n从从从从NewtonNewton法迭代公式的推导过程可知，对任何二法

18、迭代公式的推导过程可知，对任何二法迭代公式的推导过程可知，对任何二法迭代公式的推导过程可知，对任何二次函数，用次函数，用次函数，用次函数，用NewtonNewton法求极小点，只需迭代一次法求极小点，只需迭代一次法求极小点，只需迭代一次法求极小点，只需迭代一次（如果该二次函数有极小点存在的话）（如果该二次函数有极小点存在的话）（如果该二次函数有极小点存在的话）（如果该二次函数有极小点存在的话）n n基本算法：基本算法：基本算法：基本算法：n n给定给定给定给定(i dni dn)初始点初始点初始点初始点x(0)x(0)，令，令，令，令k=0k=0；n n计算计算计算计算f(x(k)f(x(k)

19、若若若若f(x(k)f(x(k)成立，则成立，则成立，则成立，则x*=x(k)x*=x(k)，停机，否则转下一步；停机，否则转下一步；停机，否则转下一步；停机，否则转下一步；n n求求求求P(k)=-P(k)=-2f(x(k)-12f(x(k)-1f(x(k)f(x(k)；n n调整设计调整设计调整设计调整设计x(k+1)x(k+1)x(k)+P(k)x(k)+P(k)，回第，回第，回第，回第(2)(2)步。步。步。步。n nNewtonNewton法为二阶收敛，收敛较快是它最大优点，法为二阶收敛，收敛较快是它最大优点，法为二阶收敛，收敛较快是它最大优点，法为二阶收敛，收敛较快是它最大优点，另

20、外另外另外另外NewtonNewton法与变量尺度无关，如果函数本身为法与变量尺度无关，如果函数本身为法与变量尺度无关，如果函数本身为法与变量尺度无关，如果函数本身为二次函数，则只要一次迭代即求得最优解。但二次函数，则只要一次迭代即求得最优解。但二次函数，则只要一次迭代即求得最优解。但二次函数，则只要一次迭代即求得最优解。但NewtonNewton法对初始点要求较高，一定要在很靠近最法对初始点要求较高，一定要在很靠近最法对初始点要求较高，一定要在很靠近最法对初始点要求较高，一定要在很靠近最优点附近选取最优点。同时优点附近选取最优点。同时优点附近选取最优点。同时优点附近选取最优点。同时Newto

21、nNewton法要求二阶导法要求二阶导法要求二阶导法要求二阶导数矩阵，工作量较大，且要求该矩阵的逆，这就要数矩阵，工作量较大，且要求该矩阵的逆，这就要数矩阵，工作量较大，且要求该矩阵的逆，这就要数矩阵，工作量较大，且要求该矩阵的逆，这就要求求求求2f(x(k)2f(x(k)是非奇异的是非奇异的是非奇异的是非奇异的第26页/共73页第二十六页，共73页。iii.iii.变尺度变尺度变尺度变尺度(ch(ch d)d)法法法法无约束优化的迭代公式为：无约束优化的迭代公式为：无约束优化的迭代公式为：无约束优化的迭代公式为：x(k+1)=x(k)+x(k+1)=x(k)+(k)H(k)P(k)(k)H(

22、k)P(k)对最速下降法对最速下降法对最速下降法对最速下降法H(k)=IH(k)=I，P(k)P(k)取负梯度，取负梯度，取负梯度，取负梯度，(k)(k)用一维搜索用一维搜索用一维搜索用一维搜索对对对对NewtonNewton法法法法H(k)=H(k)=2f(x(k)-1 2f(x(k)-1，P(k)P(k)取负梯度，取负梯度，取负梯度，取负梯度，(k)=1(k)=1最速下降法收敛太慢，最速下降法收敛太慢，最速下降法收敛太慢，最速下降法收敛太慢，Newton Newton法收敛最快，但要计算二法收敛最快，但要计算二法收敛最快，但要计算二法收敛最快，但要计算二阶导数并要求阶导数并要求阶导数并要求

23、阶导数并要求(yoqi)(yoqi)求逆，工作量大，有时还会碰求逆，工作量大，有时还会碰求逆，工作量大，有时还会碰求逆，工作量大，有时还会碰到不可克服的困难。到不可克服的困难。到不可克服的困难。到不可克服的困难。因此人们想若因此人们想若因此人们想若因此人们想若H(k)H(k)的选取不需要计算二阶导数矩阵和求的选取不需要计算二阶导数矩阵和求的选取不需要计算二阶导数矩阵和求的选取不需要计算二阶导数矩阵和求逆，而又能逼近逆，而又能逼近逆，而又能逼近逆，而又能逼近 2f(x(k)-1 2f(x(k)-1，那么所确定的算法，那么所确定的算法，那么所确定的算法，那么所确定的算法可能会类似于可能会类似于可能

24、会类似于可能会类似于NewtonNewton法收敛很快。基于这种想法，法收敛很快。基于这种想法，法收敛很快。基于这种想法，法收敛很快。基于这种想法，发展了一种拟发展了一种拟发展了一种拟发展了一种拟NewtonNewton法。法。法。法。H(k)H(k)构造方法不同，有不构造方法不同，有不构造方法不同，有不构造方法不同，有不同的拟同的拟同的拟同的拟NewtonNewton法，其中法，其中法，其中法，其中DFPDFP算法就是这类算法中最算法就是这类算法中最算法就是这类算法中最算法就是这类算法中最为著名的。为著名的。为著名的。为著名的。拟拟拟拟NewtonNewton法保留了法保留了法保留了法保留了

25、NewtonNewton法的快速收敛性，而又不直法的快速收敛性，而又不直法的快速收敛性，而又不直法的快速收敛性，而又不直接求二阶导数，受到了人们欢迎。接求二阶导数，受到了人们欢迎。接求二阶导数，受到了人们欢迎。接求二阶导数，受到了人们欢迎。第27页/共73页第二十七页，共73页。H(k)H(k)的产生采用迭代法逐步构成的产生采用迭代法逐步构成的产生采用迭代法逐步构成的产生采用迭代法逐步构成先给定先给定先给定先给定H(0)H(0)，一般，一般，一般，一般(ybn)(ybn)取单位矩阵，则取单位矩阵，则取单位矩阵，则取单位矩阵，则H(1)=H(0)+E(0),H(2)=H(1)+E(1),H(3)

26、=H(2)+E(2),H(1)=H(0)+E(0),H(2)=H(1)+E(1),H(3)=H(2)+E(2),对于对于对于对于DFPDFP算法算法算法算法对于对于对于对于BFGSBFGS算法算法算法算法第28页/共73页第二十八页，共73页。第29页/共73页第二十九页，共73页。3.4 3.4 可行方向法可行方向法可行方向法可行方向法I.I.概述概述概述概述结构优化的一般数学规划表达式：结构优化的一般数学规划表达式：结构优化的一般数学规划表达式：结构优化的一般数学规划表达式：寻找一组设计变量寻找一组设计变量寻找一组设计变量寻找一组设计变量 X=(X1,X2,Xn)T X=(X1,X2,Xn

27、)T min f(X)X min f(X)X E n E n s.t.s.t.g i(X)g i(X)0 i=1,m 0 i=1,m 设计变量的迭代公式设计变量的迭代公式设计变量的迭代公式设计变量的迭代公式-X(-X(+1)=X(+1)=X()+)+P(P()从从从从 X(X()调参至调参至调参至调参至 X(X(+1),+1),要求设计点可行要求设计点可行要求设计点可行要求设计点可行,并且目标函并且目标函并且目标函并且目标函数还要下降数还要下降数还要下降数还要下降,即满足可用可行性条件即满足可用可行性条件即满足可用可行性条件即满足可用可行性条件(tiojin):(tiojin):1.1.满足可

28、用性条件满足可用性条件满足可用性条件满足可用性条件(tiojin)(Usability condition)(tiojin)(Usability condition)f(X(f(X()T p()T p()0 0 2.2.满足可行性条件满足可行性条件满足可行性条件满足可行性条件(tiojin)(Feasibility condition)(tiojin)(Feasibility condition)g i(X(g i(X()+)+P(P()0 0或者或者或者或者 g i(X(g i(X()T P()T P()0 0 第30页/共73页第三十页，共73页。这两个条件这两个条件(tiojin)的几何

29、意义是的几何意义是:目标函目标函数梯度向量和约束条件数梯度向量和约束条件(tiojin)梯度向量与梯度向量与方向向量之间的夹角均大于方向向量之间的夹角均大于900.根据上述要求根据上述要求,可以有三条路线来完成调参可以有三条路线来完成调参:1.沿等重线沿等重线(面面)侧移；侧移；2.沿约束边界侧移梯度投影法沿约束边界侧移梯度投影法(Gradient projection method)；3.沿可用可行方向沿可用可行方向 P 侧移可行方向法侧移可行方向法(Feasible directional method)。由此构成三种不同形式的可行方向法。由此构成三种不同形式的可行方向法。第31页/共73

30、页第三十一页，共73页。II.II.最佳最佳最佳最佳(zu ji)(zu ji)矢量法矢量法矢量法矢量法 Optimum vector Optimum vector methodmethod交替使用交替使用交替使用交替使用(sh(sh yng)yng)两种行进方向两种行进方向两种行进方向两种行进方向:1.1.当设计点不在约束边界上时当设计点不在约束边界上时当设计点不在约束边界上时当设计点不在约束边界上时,采用最速下降法采用最速下降法采用最速下降法采用最速下降法(Steepest descent method)Steepest descent method)或最速上升法或最速上升法或最速上升法或

31、最速上升法(Steepest(Steepest ascent method).ascent method).P(P()=-)=-f(X(f(X()or P()or P()=)=f(X(f(X()X(X(+1)=X(+1)=X()-)-f(X(f(X()-)-最速下最速下最速下最速下降降降降 X(X(+1)=X(+1)=X()+)+f(X(f(X()-)-最速上最速上最速上最速上升升升升 其中步长按其中步长按其中步长按其中步长按 采用试凑法采用试凑法采用试凑法采用试凑法.=2 =2 0(0(在可行域内在可行域内在可行域内在可行域内)=(1/2)(=(1/2)(+1)+1)0 0 第32页/共73

32、页第三十二页，共73页。2.2.从约束从约束从约束从约束(yush)(yush)边界点开始边界点开始边界点开始边界点开始,沿目标函数等值面沿目标函数等值面沿目标函数等值面沿目标函数等值面(线线线线)内向可行内向可行内向可行内向可行域中侧移域中侧移域中侧移域中侧移,使设计点离开约束使设计点离开约束使设计点离开约束使设计点离开约束(yush)(yush)边界进入可行域边界进入可行域边界进入可行域边界进入可行域.第33页/共73页第三十三页，共73页。n n两种调参方向两种调参方向两种调参方向两种调参方向(fngxing)(fngxing)交替进行，直到最优点为止。交替进行，直到最优点为止。交替进行

33、，直到最优点为止。交替进行，直到最优点为止。n n这是一种较早期的方法，迭代次数多，代价大，步长试这是一种较早期的方法，迭代次数多，代价大，步长试这是一种较早期的方法，迭代次数多，代价大，步长试这是一种较早期的方法，迭代次数多，代价大，步长试凑，有太多的随意性。凑，有太多的随意性。凑，有太多的随意性。凑，有太多的随意性。第34页/共73页第三十四页，共73页。III.III.梯度梯度梯度梯度(t d)(t d)投影法投影法投影法投影法 Gradient projection Gradient projection methodmethodn nRosen Rosen 的梯度投影法适用于目标函数

34、为非线性、约束条件为线的梯度投影法适用于目标函数为非线性、约束条件为线的梯度投影法适用于目标函数为非线性、约束条件为线的梯度投影法适用于目标函数为非线性、约束条件为线性的结构优化设计。性的结构优化设计。性的结构优化设计。性的结构优化设计。n n一般结构优化设计问题一般结构优化设计问题一般结构优化设计问题一般结构优化设计问题(wnt)(wnt)，多取重量为目标函数，它是设，多取重量为目标函数，它是设，多取重量为目标函数，它是设，多取重量为目标函数，它是设计变量的线性函数，约束条件是应力、位移、稳定，均为设计计变量的线性函数，约束条件是应力、位移、稳定，均为设计计变量的线性函数，约束条件是应力、位

35、移、稳定，均为设计计变量的线性函数，约束条件是应力、位移、稳定，均为设计变量的非线性函数。变量的非线性函数。变量的非线性函数。变量的非线性函数。n n如果引入倒数设计变量，并把约束条件经过显式线性近似处理，如果引入倒数设计变量，并把约束条件经过显式线性近似处理，如果引入倒数设计变量，并把约束条件经过显式线性近似处理，如果引入倒数设计变量，并把约束条件经过显式线性近似处理，则问题则问题则问题则问题(wnt)(wnt)正好符合梯度投影法要求。正好符合梯度投影法要求。正好符合梯度投影法要求。正好符合梯度投影法要求。第35页/共73页第三十五页，共73页。第36页/共73页第三十六页，共73页。1.1

36、.给定初始设计给定初始设计给定初始设计给定初始设计,进行结构分析进行结构分析进行结构分析进行结构分析;2.2.在倒数变量空间进行射线调参在倒数变量空间进行射线调参在倒数变量空间进行射线调参在倒数变量空间进行射线调参,将设计点拉到约束边界上将设计点拉到约束边界上将设计点拉到约束边界上将设计点拉到约束边界上(最临界约束边界最临界约束边界最临界约束边界最临界约束边界););射线调参：在优化设计调参过程中，按所有射线调参：在优化设计调参过程中，按所有射线调参：在优化设计调参过程中，按所有射线调参：在优化设计调参过程中，按所有(su(su y y u)u)约束的约束的约束的约束的最大约束比，将设计点一次

37、性拉到所对应的优化边界上，最大约束比，将设计点一次性拉到所对应的优化边界上，最大约束比，将设计点一次性拉到所对应的优化边界上，最大约束比，将设计点一次性拉到所对应的优化边界上，这种调参路线正好是过设计点与坐标原点的连线，并与这种调参路线正好是过设计点与坐标原点的连线，并与这种调参路线正好是过设计点与坐标原点的连线，并与这种调参路线正好是过设计点与坐标原点的连线，并与最临界的约束相交。最临界的约束相交。最临界的约束相交。最临界的约束相交。3.3.在倒数变量空间在倒数变量空间在倒数变量空间在倒数变量空间,将所有将所有将所有将所有(su(su y y u)u)有效约束显式线性近似有效约束显式线性近似

38、有效约束显式线性近似有效约束显式线性近似;4.4.用梯度投影法调参用梯度投影法调参用梯度投影法调参用梯度投影法调参,直到获得最优解为止直到获得最优解为止直到获得最优解为止直到获得最优解为止.i.i.梯度梯度梯度梯度(t d)(t d)投影法调参的具体过程投影法调参的具体过程投影法调参的具体过程投影法调参的具体过程第37页/共73页第三十七页，共73页。ii.ii.梯度梯度梯度梯度(t d)(t d)投影法调参投影法调参投影法调参投影法调参(1)(1)侧移向量的计算侧移向量的计算侧移向量的计算侧移向量的计算由推广的由推广的由推广的由推广的K-T K-T 条件知，条件知，条件知，条件知，d d 向

39、量沿约束曲面的切线方向。现向量沿约束曲面的切线方向。现向量沿约束曲面的切线方向。现向量沿约束曲面的切线方向。现约束条件变为超平面，约束条件变为超平面，约束条件变为超平面，约束条件变为超平面，d d 即在这个超平面内。即在这个超平面内。即在这个超平面内。即在这个超平面内。在倒数变量空间，有在倒数变量空间，有在倒数变量空间，有在倒数变量空间，有 G(Z)G(Z)+d=-+d=-f(Z)f(Z)G(Z)Td=0G(Z)Td=0由此得：由此得：由此得：由此得：=-=-G(Z)TG(Z)T G(Z)-1G(Z)-1 G(Z)TG(Z)T f(Z)f(Z)d =-Pd =-P f(Z)f(Z)P =I -

40、P =I -G(Z)G(Z)G(Z)TG(Z)T G(Z)-1G(Z)-1 G(Z)TG(Z)T其中其中其中其中P P为正交投影算子，即目标函数梯度投影到有效约束边界面为正交投影算子，即目标函数梯度投影到有效约束边界面为正交投影算子，即目标函数梯度投影到有效约束边界面为正交投影算子，即目标函数梯度投影到有效约束边界面上上上上(min shn(min shn)去，梯度投影法由此而得名。去，梯度投影法由此而得名。去，梯度投影法由此而得名。去，梯度投影法由此而得名。令调参向量令调参向量令调参向量令调参向量 p(p()=d=-P)=d=-P f(Z)f(Z)第38页/共73页第三十八页，共73页。Z(

41、+1)=Z()+P()步长可以有两种方法确定步长可以有两种方法确定:(1)沿沿 P()(即即d)向量方向对向量方向对 求一维搜索最小点。求一维搜索最小点。这种方法对无约束条件下比较有效这种方法对无约束条件下比较有效(yuxio)；(2)利用可行性条件求利用可行性条件求 。按按P()行进到两条线性约束的交点时行进到两条线性约束的交点时,首先要计算出首先要计算出下一轮侧移向量下一轮侧移向量,并加以判断并加以判断:若若 f(Z(+1)T P(+1)0 可沿可沿 P(+1)进一步调进一步调参参;若若 f(Z(+1)T P(+1)0 则不能继续调参则不能继续调参,要用要用上一个设计点上一个设计点 Z()

42、沿沿 P()进行一维搜索求进行一维搜索求 Z*,或或者利用者利用 f(Z*)T P(+1)=0,其中令其中令 Z*=Z()+(+1)P(+1),代入式中代入式中,即可解得即可解得 (+1).(2)(2)步长的确定步长的确定步长的确定步长的确定(qudng)(qudng)第39页/共73页第三十九页，共73页。第40页/共73页第四十页，共73页。第41页/共73页第四十一页，共73页。第42页/共73页第四十二页，共73页。(3)(3)收敛性判别收敛性判别收敛性判别收敛性判别(pnbi)(pnbi)在最优点处的收敛条件在最优点处的收敛条件在最优点处的收敛条件在最优点处的收敛条件(tiojin)

43、(tiojin)当当当当 j*0 ,j=1,NC j*0 ,j=1,NC 对所有有效约束对所有有效约束对所有有效约束对所有有效约束|d*|=0|d*|=0 第43页/共73页第四十三页，共73页。非线性约束下梯度非线性约束下梯度非线性约束下梯度非线性约束下梯度(t d)(t d)投影法困难投影法困难投影法困难投影法困难第44页/共73页第四十四页，共73页。IV.IV.可行方向法可行方向法可行方向法可行方向法Feasible Directional MethodsFeasible Directional Methods是由是由是由是由G.Zoutendijk G.Zoutendijk 方法发展

44、而来的一种可行方向方法方法发展而来的一种可行方向方法方法发展而来的一种可行方向方法方法发展而来的一种可行方向方法.f(X(f(X()T P()T P()0 0 g j(x(g j(x()T P()T P()0,j=1,NC 0,j=1,NC 其中其中其中其中 P(P()En.En.若使上述条件若使上述条件若使上述条件若使上述条件(tiojin)(tiojin)更严格一点更严格一点更严格一点更严格一点,令令令令 E1,E1,上式变为上式变为上式变为上式变为 f(X(f(X()T P()T P()g j(x(g j(x()T P()T P(),j=1,NC,j=1,NC 0 0 0 由此得一个由此

45、得一个由此得一个由此得一个下降下降下降下降(xijing)(xijing)的可行方向的可行方向的可行方向的可行方向P(P().).n n对推离因子对推离因子对推离因子对推离因子(Pushoff factor)(Pushoff factor)j j 的讨论的讨论的讨论的讨论:n n (1)(1)它有效地把设计推离有效约束界面它有效地把设计推离有效约束界面它有效地把设计推离有效约束界面它有效地把设计推离有效约束界面;n n (2)(2)j =0,P(j =0,P()倾向于有效约束倾向于有效约束倾向于有效约束倾向于有效约束,最终与之相切最终与之相切最终与之相切最终与之相切;n n (3)(3)j 1

46、,j 1,即即即即 j j 足够大足够大足够大足够大.P(.P()倾向于目标函数等值倾向于目标函数等值倾向于目标函数等值倾向于目标函数等值线线线线;n n (4)(4)小的小的小的小的 j j 值将使目标函数值迅速减小值将使目标函数值迅速减小值将使目标函数值迅速减小值将使目标函数值迅速减小,但很容易到达但很容易到达但很容易到达但很容易到达同一约束边界同一约束边界同一约束边界同一约束边界,即调参步子不可能大即调参步子不可能大即调参步子不可能大即调参步子不可能大;n n (5)(5)大的大的大的大的 j j 可使调参步子大可使调参步子大可使调参步子大可使调参步子大,但目标函数值减小缓慢但目标函数值

47、减小缓慢但目标函数值减小缓慢但目标函数值减小缓慢;n n (6)(6)j =1,j =1,对大多数问题可获得两方面都有利的效果对大多数问题可获得两方面都有利的效果对大多数问题可获得两方面都有利的效果对大多数问题可获得两方面都有利的效果.n n 这里取这里取这里取这里取 j j 为有效约束和约束公差为有效约束和约束公差为有效约束和约束公差为有效约束和约束公差 的平方函数的平方函数的平方函数的平方函数第47页/共73页第四十七页，共73页。第48页/共73页第四十八页，共73页。上述为典型的线性规划上述为典型的线性规划(xin xn u hu)问题问题,可用单纯型法求解可用单纯型法求解.第49页/

48、共73页第四十九页，共73页。步长步长 的选取的选取:(1)一维寻查一维寻查(对无约束问题对无约束问题);(2)计算计算(j sun)最小截断距离最小截断距离(对带约束的优化问题对带约束的优化问题,此法更合适此法更合适)。可行方向法所计算的子规划问题可行方向法所计算的子规划问题(wnt),不是求解问题不是求解问题(wnt)本身本身,而是做一个子规划而是做一个子规划,求求 P()!第50页/共73页第五十页，共73页。第51页/共73页第五十一页，共73页。第52页/共73页第五十二页，共73页。第53页/共73页第五十三页，共73页。第54页/共73页第五十四页，共73页。第55页/共73页第

49、五十五页，共73页。第56页/共73页第五十六页，共73页。第57页/共73页第五十七页，共73页。第58页/共73页第五十八页，共73页。3.5 序列序列(xli)无约束优化方法无约束优化方法(SUMT)为了充分运用无约束优化方法来解决有约束的优化问题，一种重要的途径是把原有约束问题转化为了充分运用无约束优化方法来解决有约束的优化问题，一种重要的途径是把原有约束问题转化为了充分运用无约束优化方法来解决有约束的优化问题，一种重要的途径是把原有约束问题转化为了充分运用无约束优化方法来解决有约束的优化问题，一种重要的途径是把原有约束问题转化为无约束最优化问题来求解为无约束最优化问题来求解为无约束最

50、优化问题来求解为无约束最优化问题来求解(qi ji)(qi ji)，这里的序列无约束优化方法便是其中的一种方法。，这里的序列无约束优化方法便是其中的一种方法。，这里的序列无约束优化方法便是其中的一种方法。，这里的序列无约束优化方法便是其中的一种方法。第59页/共73页第五十九页，共73页。考虑考虑考虑考虑(k(k olol)结构优化的数学规划表达式：结构优化的数学规划表达式：结构优化的数学规划表达式：结构优化的数学规划表达式：寻找一组设计变量寻找一组设计变量寻找一组设计变量寻找一组设计变量 X=(X1,X2,Xn)T X=(X1,X2,Xn)T min f(X)X min f(X)X E n