数学连续系统时域分析学习教案.pptx

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1、数学数学(shxu)连续系统时域分析连续系统时域分析第一页，共98页。LTILTI连续系统的各种响应连续系统的各种响应(xingyng)(xingyng)；卷；卷积积分。积积分。二、重点二、重点(zhngdin)响应的划分响应的划分(hu fn)(hu fn)；卷积的；卷积的性质性质 。三、难点三、难点第1页/共98页第二页，共98页。2.1 2.1 2.1 2.1 引引引引 言言言言 本章主要讨论利用输入输出法进行连续时间线性时不变系统的时域分析(fnx)。系统的时域分析(fnx)法包括经典法和双零法。经典法经典法:即利用高等数学中微分方程的理论即利用高等数学中微分方程的理论(lln)(ll

2、n)求解动态方程，得到系统响应的函数表求解动态方程，得到系统响应的函数表达式达式 。双零法双零法:即将系统响应即将系统响应(xingyng)(xingyng)分为零输入响应分为零输入响应(xingyng)(xingyng)和零状态响应和零状态响应(xingyng)(xingyng)。第2页/共98页第三页，共98页。响应响应(xingyng(xingyng)及其各阶及其各阶导数导数(最高最高阶为阶为n n次次)一、微分方程一、微分方程一、微分方程一、微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)的经典解的经典解的经典解的经典解1 1、描述、描述LTILTI系统其激励系统其激励x

3、(t)x(t)与响应与响应y(t)y(t)的关系的关系(gun(gun x)x)可用下述可用下述n n阶常系数线性微分方程来表示：阶常系数线性微分方程来表示：y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)a0y(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+b1x(1)(t)+b0 x(t)b1x(1)(t)+b0 x(t)2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最高最高阶为阶为m次次)微分方程

4、的经典解微分方程的经典解：y(t)(完全解完全解)=yh(t)(齐次解齐次解)+yp(t)(特解特解）2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第3页/共98页第四页，共98页。(1)齐次解是齐次微分方程齐次解是齐次微分方程(wi fn fn chn)y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。表表2.1 2.1 不同特征不同特征(tzhng)(tzhng)根所对应的齐次解根所对应的齐次解 特征根特征根齐次解齐次解yh(t)单实根单实根Aetr r重实根重实根(Ar-1tr-1+Ar-2tr-2 +A1t+A0)et一对共轭复根一对共轭复根1

5、,21,2=j=jet Ccos(t)+Dsint)+Dsin(t)t)或或Acos(t-t-)，其中，其中A ej=C+jDr r重共轭复根重共轭复根Ar-1tr-1cos(t+t+r-1)+)+Ar-2tr-2cos(t+t+r-2)+)+A0cos(t+t+0)et2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应P36表表2.1给出了不同特征根所对应的齐次解。给出了不同特征根所对应的齐次解。齐次解的函数形式齐次解的函数形式 由上述微分方程的由上述微分方程的 特征根特征根确定确定。为微分方程的为微分方程的 特征方程。特征方程。第4页/共98页第五页，共98页

6、。(2)(2)(2)(2)特解特解特解特解激励激励(jl)x(t)响应响应(xingyng)y(t)的特解的特解yp(t)特解的函数形式与激励函数的形式有关。特解的函数形式与激励函数的形式有关。P37表表2.2给出了不同给出了不同(b tn)激励所对应的特解。激励所对应的特解。2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第5页/共98页第六页，共98页。(3)(3)完全完全(wnqun)(wnqun)解解 求得系统求得系统(xtng)微分方程的齐次解和特解后，将齐次解和特解微分方程的齐次解和特解后，将齐次解和特解 相加即可得到系统相加即可得到系统(xtng)微分方程的完全解。微分方

7、程的完全解。2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应微分方程的经典解微分方程的经典解：y(t)(完全解完全解)=yh(t)(齐次解齐次解)+yp(t)(特解特解）下面通过例题说明经典法求解的全部过程。下面通过例题说明经典法求解的全部过程。第6页/共98页第七页，共98页。例例2-1：描述描述(mio sh)某系统的微分方程为某系统的微分方程为求：求：（1）当）当 时的全解；时的全解；（2）当）当 时的全解。时的全解。2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应解解:(1)特征特征(tzhng)方程为方程为2+5+6=0

8、 其特征其特征(tzhng)根根1=2，2=3。齐次解为齐次解为 yh(t)=A1e 2t+A2e 3t第7页/共98页第八页，共98页。查表查表2.2可知，当可知，当 x(t)=2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t)=Be t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Be t+5(Be t)+6Be t=2e t 解得解得 B=1于是特解为于是特解为 yp(t)=e t全解为：全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=A1e 2t+A2e 3t+e t其中其中 待定常数待定常数 A1,A2由初始条件确定。由初始条件确定。y(0+)=A1+A2+1=2，y(0+)=2A1 3A2 1

9、=1 解得解得 A1=3，A2=2 最后最后(zuhu)得完全解得完全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t ,t0 2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应第8页/共98页第九页，共98页。齐次解的函数形式与激励齐次解的函数形式与激励 x(t)的函数形式无关的函数形式无关(wgun)，仅与系统本身的特性有关，称为系统的固有响应或自由响应；，仅与系统本身的特性有关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。y(t)=3e 2t 2e 3t+e t ,t0齐次解齐次解特解特解自由自由

10、(zyu)响响应应强迫强迫(qing p)响应响应2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应自由响应和强迫响应自由响应和强迫响应第9页/共98页第十页，共98页。（2）齐次解同（）齐次解同（1）。因激励）。因激励 x(t)=10cost，由表，由表2.2知：其特解为知：其特解为 yp(t)=Pcost+Qsint 其一、二阶导数分别为其一、二阶导数分别为 yp(t)=-Psint+Qcost yp(t)=-Pcost-Qsint代入微分方程可得代入微分方程可得 (-P+5Q+6P)cost+(-Q-5P+6Q)sint=10cost因上式对所有因上式对所有(suyu)的的t0成立

11、，故成立，故 5P+5Q=10 -5P+5Q=0可解得可解得 P=Q=1，得特解为，得特解为 2.2 LTI2.2 LTI连续连续(linx)(linx)系统的响应系统的响应第10页/共98页第十一页，共98页。方程方程(fngchng)的完全解为的完全解为 其一阶导数其一阶导数(do sh)为为 令令t=0，并代入初始条件得并代入初始条件得 y(0+)=C1+C2+1=2 y(0+)=-2C1-3C2+1=0可解得可解得C1=2，C2=-1。系统系统(xtng)的全响应为的全响应为2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第11页/共98页第十二页，共98页。当输入信号是阶跃函

12、数或有始的周期函数时，稳定系统的全响应也可分解为瞬态响应和稳态响应。当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数时，稳定系统的全响应也可分解为瞬态响应和稳态响应。瞬态响应是指激励接入以后，全响应中暂时瞬态响应是指激励接入以后，全响应中暂时(znsh)(znsh)出现的分量，随着时间的增长，它将消失。出现的分量，随着时间的增长，它将消失。如果系统微分方程的特征根如果系统微分方程的特征根 ii的实部均为负，那么，由全响应中除去瞬态响应就是稳态响应，它通常也是由阶跃函数或周期函数组成。的实部均为负，那么，由全响应中除去瞬态响应就是稳态响应，它通常也是由阶跃函数或周期函数组成。自由自由(zyu)响应响应强迫强

13、迫(qing p)响应响应瞬态响应瞬态响应稳态稳态响应响应小结小结:2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第12页/共98页第十三页，共98页。(1)t=0与与t=0的概念的概念(ginin)认为换路在认为换路在 t=0 t=0时刻时刻(shk)(shk)进行进行0 ：换路前一瞬间换路前一瞬间 0 0 ：换路后一瞬间换路后一瞬间初始条件为初始条件为 t=0 t=0时时u u，i i 及其各阶导数及其各阶导数(do sh)(do sh)的值的值000tx(t)二、初始条件的确定二、初始条件的确定 即输入即输入x(t)是在是在t=0时接入系统，这样系统的响应区间为时接入系统，这样

14、系统的响应区间为则确定待定系数则确定待定系数 Ak时用时用t=0 0时刻的时刻的初始条件初始条件，即，即y(k)(0 0)(k=0,1,2，n-1)。第13页/共98页第十四页，共98页。2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应 而而y(k)(0)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值 y(k)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为起始反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为起始(q sh)状态或起始状态或起始(

15、q sh)值。值。通常，对于具体的系统，起始通常，对于具体的系统，起始(q sh)状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的起始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的起始(q sh)状态状态y(k)(0-)设法求得设法求得 y(k)(0)。第14页/共98页第十五页，共98页。受激励受激励 的影响，系统状态从的影响，系统状态从 到到 可能发生变化，导致可能发生变化，导致 不等于不等于(dngy)的现象。的现象。起始点跳变起始点跳变(tio bin)的产生：的产生：对电容对电容(dinrng)而言而言 C由伏安关系由伏安关系 (2)起始点跳变的产生起始点跳变的产生2.2

16、LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第15页/共98页第十六页，共98页。令令 ，可得，可得 如果如果(rgu)为有限值，则为有限值，则此时此时(c sh)如果如果(rgu)，则，则此时此时 2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第16页/共98页第十七页，共98页。由上面的分析可以知道，当没有受到冲激电流（或阶跃电压）作用(zuyng)时，电容两端的电压 不发生跳变，即满足换路定则；当受到冲激电流（或阶跃电压）作用(zuyng)时，电容两端的电压 会发生跳变。同样可以推导，对电感而言，当电感没有受到冲激电压（或阶跃电流同样可以推导，对电感而言，当电感没有受到冲激

17、电压（或阶跃电流(dinli)）作用时，流过电感的电流）作用时，流过电感的电流(dinli)不跳变，即满足换路定则。当电感受到冲激电压（或阶跃电流不跳变，即满足换路定则。当电感受到冲激电压（或阶跃电流(dinli)）作用时，流过电感的电流）作用时，流过电感的电流(dinli)会发生跳变。会发生跳变。2.2 LTI2.2 LTI连续连续(linx)(linx)系统的响应系统的响应第17页/共98页第十八页，共98页。(3)初始条件的确定初始条件的确定(qudng)这里我们这里我们(w men)介绍用冲激函数匹配法来确定介绍用冲激函数匹配法来确定 状态的状态的值，它的基本原理根据值，它的基本原理根

18、据 时刻微分方程左右两端时刻微分方程左右两端的的 及其各阶导数应该平衡相等。及其各阶导数应该平衡相等。2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应第18页/共98页第十九页，共98页。例例2-2：如果描述系统：如果描述系统(xtng)的微分方程为的微分方程为 ，给定，给定 状态起始值为状态起始值为 ，确定它，确定它 的状态的状态 。解解：由微分方程可知，方程右端含由微分方程可知，方程右端含 ，为使方程，为使方程 平衡，等式左端也应有对应的平衡，等式左端也应有对应的 函数，而且函数，而且(r qi)也也 只能出现在最高阶项，因此可以设只能出现在最高阶项，因此可

19、以设2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的响应将上式从将上式从 到到 积分一次，可得积分一次，可得 把上面两个式子代入原方程得把上面两个式子代入原方程得 第19页/共98页第二十页，共98页。根据根据(gnj)方程两端对应项系数相等，可以得到方程两端对应项系数相等，可以得到所以所以(suy)(suy)有有 因此因此(ync)2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第20页/共98页第二十一页，共98页。例例2-3：用冲激函数匹配法求解系统：用冲激函数匹配法求解系统(xtng)完全响应，系统完全响应，系统(xtng)方程为方程为假设电路中假设

20、电路中 在在 时刻时刻(shk)由由2V跳变到跳变到4V，且，且 解解：（1 1）求齐次解求齐次解 系统系统(xtng)的特征方程为的特征方程为特征根为特征根为则所对应的齐次解为则所对应的齐次解为 2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第21页/共98页第二十二页，共98页。（2 2）求特解求特解 当当 时，时，微分方程，微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)为为 设特解为设特解为 ，代入上式，可得，代入上式，可得 则系统则系统(xtng)(xtng)的完全响应为的完全响应为2.2 LTI2.2 LTI连续系统连续系统(xtng)(xtng)的响应的

21、响应（*）第22页/共98页第二十三页，共98页。（3 3）求初始条件求初始条件 根据给定的根据给定的 ，考虑到，考虑到 在换路过程中的变化在换路过程中的变化(binhu)，在，在 时刻由时刻由2V跳变到跳变到4V，代入题中方程中，得到，代入题中方程中，得到 时的微分方程为时的微分方程为 由于微分方程右端的由于微分方程右端的(dund)(dund)冲激函数项最高阶次是冲激函数项最高阶次是 ，因而可设因而可设 代入上式得代入上式得 2.2 LTI2.2 LTI连续连续(linx)(linx)系统的响应系统的响应第23页/共98页第二十四页，共98页。根据方程两端根据方程两端(lin dun)(l

22、in dun)对应项系数相等，可以得到对应项系数相等，可以得到 因而因而(yn r)(yn r)有有 则所求的初始条件即则所求的初始条件即 状态状态(zhungti)(zhungti)为为2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第24页/共98页第二十五页，共98页。（4 4）求全）求全(qiqun)(qiqun)响应响应 当当 时，将上面时，将上面(shng min)所求的初始值所求的初始值 和和 代入完全解表达式（代入完全解表达式（*），可得），可得解得待定系数解得待定系数(xsh)(xsh)为为 将待定系数代入完全解表达式，得系统的完全响应为将待定系数代入完全解表达式，得

23、系统的完全响应为 2.2 LTI2.2 LTI连续系统的响应连续系统的响应第25页/共98页第二十六页，共98页。2.3 2.3 零输入零输入(shr)(shr)响应和零状态响应响应和零状态响应一一、零零输输入入(shr)响应响应 零输入响应是指输入为零，亦即没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统的储能零输入响应是指输入为零，亦即没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统的储能(ch nn)）所引起的响应，一般用）所引起的响应，一般用 表示。表示。零输入响应满足的微分方程为零输入响应满足的微分方程为:由于由于输入为零输入为零，系统在起始时刻不会产生跳变，故初始条件，系统在起

24、始时刻不会产生跳变，故初始条件2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 第26页/共98页第二十七页，共98页。例例2-4：描述某系统：描述某系统(xtng)的微分方程为的微分方程为解：（解：（1）零输入响应）零输入响应(xingyng)yzi(t)满足满足2.3 零输入响应零输入响应(xingyng)和零状态响和零状态响应应(xingyng)解得解得代入初始条件代入初始条件 已知已知 。(1)求该系统的零输入响应。求该系统的零输入响应。系统的特征方程为系统的特征方程为特征根为特征根为 第27页/共98页第二十八页，共98页。二、零状态二、零状态(zhungti)响应响应零状态响应

25、是系统的起始零状态响应是系统的起始(q sh)状态为零时，仅由状态为零时，仅由外加激励信号外加激励信号x(t)作用而引起的响应，用作用而引起的响应，用yzs(t)表示。表示。即起始即起始(q sh)状态状态 对于零状态响应，就是微分方程式在系统的初始储能为零时的解对于零状态响应，就是微分方程式在系统的初始储能为零时的解 。2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 第28页/共98页第二十九页，共98页。例例2-4：描述某系统：描述某系统(xtng)的微分方程为的微分方程为（2）求该系统）求该系统(xtng)的零状态响应；的零状态响应；2.3 零输入响应零输入响应(xingyng)和

26、零状和零状态响应态响应(xingyng)已知已知 ，第29页/共98页第三十页，共98页。解：因为解：因为 ，所以，所以(suy)系统的零状态响应是微分方程系统的零状态响应是微分方程 满足满足(mnz)(mnz)的解。的解。1 1）求齐次解求齐次解 求解（求解（2）零状态）零状态(zhungti)响应响应yzs(t)2 2）求特解求特解 当当 时，微分方程为时，微分方程为设特解为设特解为 ，代入上式，可得，代入上式，可得 则，系统的零状态响应为则，系统的零状态响应为 （*）2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 第30页/共98页第三十一页，共98页。3 3）求初始条件求初始条件

27、 根据根据(gnj)(gnj)冲激函数匹配法可设冲激函数匹配法可设 代入（代入（*）式，令）式，令 时，易得时，易得 故其初始条件为故其初始条件为 2.3 零输入响应零输入响应(xingyng)和零状态和零状态响应响应(xingyng)第31页/共98页第三十二页，共98页。4 4）求零状态）求零状态(zhungti)(zhungti)响应响应 将上面所求的初始值将上面所求的初始值 和和 代入零状态代入零状态(zhungti)(zhungti)响应表达式中响应表达式中解得待定系数解得待定系数(xsh)(xsh)为为将待定系数代入零状态响应表达式，得到系统的零状态响应为将待定系数代入零状态响应表

28、达式，得到系统的零状态响应为2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 第32页/共98页第三十三页，共98页。三、全响应三、全响应(xingyng)如果系统如果系统(xtng)(xtng)的初始状态不为零，在激励的初始状态不为零，在激励x(t)x(t)的作用下，的作用下，LTILTI系统系统(xtng)(xtng)的响应称为全响应，它是零输入响应与零状的响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即态响应之和，即其各阶导数其各阶导数(do sh)(do sh)为为 上式对上式对t=0t=0-也成立，故有也成立，故有 y(t)=yzi(t)+yzs(t)2.3 零输入响应和零状态

29、响应零输入响应和零状态响应 第33页/共98页第三十四页，共98页。例例2-4：描述某系统：描述某系统(xtng)的微分方程为的微分方程为解：（解：（3）求该系统）求该系统(xtng)的全响应；的全响应；2.3 零输入响应零输入响应(xingyng)和零状态响应和零状态响应(xingyng)已知已知 。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。第34页/共98页第三十五页，共98页。（3）全响应）全响应(xingyng)y(t)y(t)=yzi(t)+yzs(t)=4e t 2e 2t 4e-t+e-2t +3，t0=e-2t +3，t0 零输入零输入

30、(shr)响应响应零状态零状态(zhungti)响应响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应第35页/共98页第三十六页，共98页。则可得系统则可得系统(xtng)(xtng)全响应的表达式如下全响应的表达式如下 在零状态响应中，由于存在在零状态响应中，由于存在(cnzi)外加激励的作用，此时外加激励的作用，此时 ，所以零状态响应表达式中的待定系数，所以零状态响应表达式中的待定系数 由跳变量由跳变量 和外加激励共同来确定。和外加激励共同来确定。零输入零输入(shr)响应响应零状态响

31、应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应 自由响应自由响应强迫响应强迫响应 第36页/共98页第三十七页，共98页。2.4 2.4 2.4 2.4 冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应(xingyng)(xingyng)(xingyng)(xingyng)和阶跃响应和阶跃响应和阶跃响应和阶跃响应(xingyng)(xingyng)(xingyng)(xingyng)一、冲激响应一、冲激响应以单位冲激信号以单位冲激信号(t)作为作为(zuwi)激励，系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为激励，系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t

32、)对于连续对于连续(linx)(linx)时间时间LTILTI系统，其冲激响应系统，其冲激响应 是微分方程是微分方程满足满足 的解。的解。第37页/共98页第三十八页，共98页。求解系统求解系统(xtng)(xtng)的冲激响应可分为两步进行：的冲激响应可分为两步进行：选新变量选新变量h1(t)h1(t)，使它满足，使它满足并求出其冲激响应并求出其冲激响应h1(t)h1(t)。根据根据LTILTI系统零状态响应的线性性系统零状态响应的线性性质质(xngzh)(xngzh)和微分特性，可得其冲激响应为和微分特性，可得其冲激响应为2.4 2.4 冲激响应冲激响应(xingyng)(xingyng)

33、和阶跃响应和阶跃响应(xingyng)(xingyng)第38页/共98页第三十九页，共98页。已知某连续时间 LTI系统(xtng)的微分方程为试求系统试求系统(xtng)(xtng)的冲激响应。的冲激响应。解：解：当 ，系统的响应即为 ，此时(c sh)原微分方程式为 第39页/共98页第四十页，共98页。2.4 2.4 冲激响应冲激响应(xingyng)(xingyng)和阶跃响应和阶跃响应(xingyng)(xingyng)求其特征求其特征(tzhng)(tzhng)根为根为 于是于是(ysh)(ysh)有有 由题可知系统的初始条件为由题可知系统的初始条件为 ，将其代入，将其代入 的表

34、达式解得的表达式解得所以所以先求解先求解 方法：方法：系统特性法系统特性法 系统特性法的基本做法是先求解右边激励项为系统特性法的基本做法是先求解右边激励项为 时的单位冲激响应时的单位冲激响应 ，再利用系统的线性时不变性求解所求激励的冲激响应。，再利用系统的线性时不变性求解所求激励的冲激响应。令所给微分方程式右边为令所给微分方程式右边为 ，即，即根据系统的线性，其冲激响应为根据系统的线性，其冲激响应为第40页/共98页第四十一页，共98页。二、阶跃响应二、阶跃响应(xingyng)以单位以单位(dnwi)冲激信号冲激信号 u(t)作为激励，系统产生的零状态响应称为单位作为激励，系统产生的零状态响

35、应称为单位(dnwi)阶跃响应，简称阶跃响应，记为阶跃响应，简称阶跃响应，记为 g(t)。g(t)=T0,u(t)2.4 2.4 冲激响应冲激响应(xingyng)(xingyng)和阶跃响应和阶跃响应(xingyng)(xingyng)对于连续时间对于连续时间 LTI系统，其冲激响应系统，其冲激响应 是微分方程是微分方程满足满足 的解。的解。第41页/共98页第四十二页，共98页。已知某连续时间(shjin)LTI 系统的微分方程为试求系统试求系统(xtng)(xtng)的阶跃响应。的阶跃响应。解解：当当 ，原微分方程，原微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)式变为

36、式变为 求其特征根为求其特征根为 方程解的形式为方程解的形式为 当当 时，将特解时，将特解 代入式（代入式（1 1）中，可得）中，可得 （1 1）第42页/共98页第四十三页，共98页。对对 逐次逐次(zh c)(zh c)求导得到求导得到 将将 ，代入微分方程，利用代入微分方程，利用(lyng)(lyng)奇异函数平奇异函数平 衡的原则衡的原则 可得可得 于是于是(ysh)(ysh)，阶跃响应为，阶跃响应为 2.4 2.4 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应第43页/共98页第四十四页，共98页。三、阶跃响应三、阶跃响应(xingyng)(xingyng)与冲激响应与冲激响应(xingyn

37、g)(xingyng)的微的微积分关系积分关系根据根据LTILTI系统微分系统微分(wi fn)(wi fn)特性特性,则则故求系统的阶跃响应可以故求系统的阶跃响应可以(ky)转化为求系统的冲激响转化为求系统的冲激响应！应！g(t)求解方法：求解方法：通过通过 求解求解。2.4 2.4 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应第44页/共98页第四十五页，共98页。2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其及其应用应用一、卷积积分一、卷积积分(jfn)1.信号信号(xnho)的时的时域分解域分解2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第45页/共98页第四十六页，共98页。2.任意激励任意激励(jl)

38、信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应根据根据(gnj)h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)x()(t-)由齐次性：由齐次性：x()h(t-)由叠加性：由叠加性：x(t)yzs(t)-卷积积卷积积分分(jfn)(jfn)yzs(t)x(t)LTILTI系统系统 零状态零状态 2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第46页/共98页第四十七页，共98页。实际实际实际实际(shj)(shj)应应应应用：用：用：用：以冲激励信号作为基本信号，先将激励信号分解为以冲激励信号作为基本信号，先将激励信号分解为冲激信号之和，只需求解冲激信号通过该系统产生的

39、冲冲激信号之和，只需求解冲激信号通过该系统产生的冲激响应激响应h(t)，然后利用线性时不变系统的特性，进行，然后利用线性时不变系统的特性，进行(jnxng)迭加和延时即可求解任意激励信号迭加和延时即可求解任意激励信号x(t)产生的零产生的零状态响应。状态响应。2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第47页/共98页第四十八页，共98页。3.卷积积分卷积积分(jfn)的的定义定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个）上的两个(lin)函数函数x1(t)和和x2(t)，则定义积分，则定义积分 为为x1(t)与与x2(t)的卷积积分的卷积积分(jfn)，简称卷积；记为，简称卷积；

40、记为 x(t)=x1(t)*x2(t)注意：积分注意：积分(jfn)是在虚设的变量是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分为积分(jfn)变量，变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第48页/共98页第四十九页，共98页。二、卷积的图解二、卷积的图解(tji)卷积过程可分解为四步：卷积过程可分解为四步：（1）换元：）换元：t 换为换为得得 x1()，x2()（2）反转）反转(fn zhun)平移：由平移：由x2()反转反转(fn zhun)x2()平移平移t x2(t)（3）乘积：）乘积：x1()x2(t)（4）积分：）积分：从

41、从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。一般选比较简单函数进行反转一般选比较简单函数进行反转(fn zhun)和平和平移。移。2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第49页/共98页第五十页，共98页。例：例：f(t),h(t)如图如图，求求yzs(t)=h(t)*f(t)解：采用解：采用(ciyng)(ciyng)图形卷积图形卷积:f(t-)f()反折反折f(-)平移平移(pn y)t t 0时时,f(t-)向左移向左移f(t-)h()=0，故故 yzs(t)=0 0t 1 时时,f(t-)向右移向右移(yu y)1t 2时时 3t

42、 时时f(t-)h()=0，故故 yzs(t)=0h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。f(t)换元换元 f()2t 3 时时02.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第50页/共98页第五十一页，共98页。图解法一般比较繁琐，但图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积还是比较方便的。确定积分的上下限分的上下限(xixin)是关是关键。键。例例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求求f(2)=？f1(-)f1(2-)解解：（1）换元换元（2）f1()得得f1()（3）f1()右移右

43、移(yu y)2得得f1(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分）积分(jfn)，得，得f(2)=02.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第51页/共98页第五十二页，共98页。三三、卷卷 积积 的的 性性 质质(xngzh)1、卷积的代数、卷积的代数(dish)特性特性(1)(1)交换律交换律 所谓卷积的交换律是指，两个函数的卷积积分与参加(cnji)运算的两个函数的次序无关，即 证明证明 根据卷积的定义根据卷积的定义 2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第52页/共98页第五十三页，共98页。交换律用于系统分析，反映了冲激响应分别为 和 的两个(lin)系统级联与其顺序无关，如下

44、图所示。2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第53页/共98页第五十四页，共98页。(2)(2)结合律结合律2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用推导推导(tudo(tudo)：第54页/共98页第五十五页，共98页。2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用卷积结合律的物理卷积结合律的物理(wl)(wl)含义是含义是 两个系统级联时，总系统的冲激响应等于两个系统级联时，总系统的冲激响应等于(dngy)(dngy)子系统冲激响应的卷积积分，即子系统冲激响应的卷积积分，即 ，且和级联次序无关。，且和级联次序无关。第55页/共98页第五十六页，共98页。(3)(3

45、)分配律分配律 证明证明(zhngmng)(zhngmng)2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第56页/共98页第五十七页，共98页。2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用卷积分配律的物理卷积分配律的物理(wl)(wl)含义是含义是 分配律用于系统分析，并联系统的冲激响应等于分配律用于系统分析，并联系统的冲激响应等于(dngy)(dngy)组成并联系统的各子系统冲激响应之和，即组成并联系统的各子系统冲激响应之和，即第57页/共98页第五十八页，共98页。例例例例：已已已已知知知知某某某某LTILTI系系系系统统统统(xtng)(xtng)如如如如图图图图所所所所示示

46、示示。已已已已知知知知h1(t)=u(t)h1(t)=u(t)，h2(t)=(t-1)h2(t)=(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，试试试试求求求求该该该该系系系系统统统统(xtng)(xtng)的冲激响应的冲激响应的冲激响应的冲激响应h(t)h(t)。解：解：2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第58页/共98页第五十九页，共98页。2、奇异函数、奇异函数(hnsh)或或 的卷的卷积特性积特性(1)(1)与与 的卷积的卷积证明证明(zhngmng)(zhngmng)(2)(2)与与 的卷积的卷积证明证明(zhngmng

47、)(zhngmng)2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第59页/共98页第六十页，共98页。结论：位于结论：位于t=t1处的冲激函数与函数处的冲激函数与函数f(t)的卷积，相当的卷积，相当于将信号于将信号f(t)“搬移搬移”到到t=t1处。即只是处。即只是(zhsh)使使f(t)在时间上延迟了在时间上延迟了t1，而波形不变。称为延时特性或重现，而波形不变。称为延时特性或重现特性特性2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第60页/共98页第六十一页，共98页。推广推广(tugung)：f(t t1)*(t t2)=f(t t1t2)2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其

48、应用第61页/共98页第六十二页，共98页。(3)(3)与与 的卷积的卷积证明证明(zhngmng)(zhngmng)若系统的冲激响应为若系统的冲激响应为 ，如图，则该系统是一个，如图，则该系统是一个(y)(y)微分器微分器 推广推广(tugung)(tugung)到到 阶微分系统有阶微分系统有 2.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第62页/共98页第六十三页，共98页。(4)(4)与与 的卷积的卷积证明证明(zhngmng)(zhngmng)同理，若系统(xtng)的冲激响应为 ，如图，则该系统(xtng)是一个积分器。特例特例(tl)：u(t)*u(t)=u(-1)(t)=tu(t)2

49、.5 卷积积分及其应用卷积积分及其应用第63页/共98页第六十四页，共98页。3、卷积的时移特性、卷积的时移特性(txng)设设 ，则有，则有 证明证明(zhngmng)(zhngmng)同理：同理：2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第64页/共98页第六十五页，共98页。卷积的时移特性的图解表示卷积的时移特性的图解表示(biosh)如下图所示。如下图所示。2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第65页/共98页第六十六页，共98页。例例：x1(t),x2(t)如图，求如图，求x1(t)*x2(t)解：解：x1(t)=2u(t)2u(t 1)x2(t)=u(t+1)

50、u(t 1)x1(t)*x2(t)=2 u(t)*u(t+1)2 u(t)*u(t 1)2u(t 1)*u(t+1)+2u(t 1)*u(t 1)由于由于(yuy)u(t)*u(t)=tu(t)据时移特性，有据时移特性，有x1(t)*x2(t)=2(t+1)u(t+1)-2(t 1)u(t 1)2 tu(t)+2(t 2)u(t 2)2.5 卷积积分卷积积分(jfn)及其应用及其应用第66页/共98页第六十七页，共98页。4、卷积的微分、卷积的微分(wi fn)与积分特与积分特性性(1)(1)卷积的微分卷积的微分(wi fn)(wi fn)特性特性 证：上式证：上式=(1)(t)*x1(t)*