数值分析函数插值学习教案.pptx

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1、会计学1数值数值(shz)分析函数插值分析函数插值第一页，共53页。例：已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：例：已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（深度（M M）466 741 950 1422 1634 466 741 950 1422 1634 水温（水温（o o根据这些数据，希望合理地估计根据这些数据，希望合理地估计(gj)(gj)出其它深度（如出其它深度（如500500米，米，600600米，米，10001000米米）处的水温）处的水温1 函数函数(hnsh)插插值值 这就是(jish)本章要讨论的“插值问题”之一。函数插值也就是(jish)对离散的数据或复杂函数关系建立

2、简单的数学模型。第1页/共53页第二页，共53页。定义：当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时,在区间a,b上一系列互异节点 x0,x1,x n 处测得函数值 y0=f(x0),yn=f(xn),由此构造一个(y)简单易算的近似函数 g(x)f(x),满足条件：g(xi)=f(xi)(i=0,n)(*)这个问题称为“插值问题”这里的这里的 g(x)称为称为(chn wi)f(x)的插值函的插值函数。数。节点节点(ji din)x0 xn称为插值节点称为插值节点(ji din),f(x)称称为被插函数，为被插函数，条件条件(*)称为称为插值条件插值条件,区间区间a,b称为称为插值区间插值区间一

3、、插值问题的定义第2页/共53页第三页，共53页。x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)第3页/共53页第四页，共53页。最常用最常用最常用最常用(chn(chn yn yn)的插值函数是代数的插值函数是代数的插值函数是代数的插值函数是代数多项式多项式多项式多项式用代数多项式作插值函数用代数多项式作插值函数(hnsh)(hnsh)的插值称为代数插值的插值称为代数插值二、插值函数二、插值函数(hnsh)的类型的类型代代数数插插值值v一、插值问题解的存在唯一性？v二、插值多项式的常用构造方法？v三、插值函数的误差如何估计？三角插值、代数插值、分段插值等三角插值、代数插值、分段插值等第4页/共5

4、3页第五页，共53页。三、三、代数插值问题代数插值问题(wnt)解的存在唯一解的存在唯一性性 给定区间给定区间a,b上互异的上互异的n+1个点个点 的一的一 组函数值组函数值 ,求一个次数不超过求一个次数不超过 n 的多项式的多项式 ,使得使得 定理定理1：满足插值条件：满足插值条件(tiojin)（1）的插值多项式）的插值多项式（2）是存在且唯一的。）是存在且唯一的。令令只要证明只要证明 Pn(x)的系数的系数 存在存在且且唯一即可唯一即可第5页/共53页第六页，共53页。证：由插值条件证：由插值条件(1)(1)知知 Pn(x)Pn(x)的系数满足下列的系数满足下列(xili)n+1(xil

5、i)n+1个个代数方程构成的线性方程组代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+an x0n=f(x0)a0+a1x0+an x0n=f(x0)a0+a1x1+an x1n=f(x1)(3)a0+a1x1+an x1n=f(x1)(3).a0+a1xn+an xnn=f(xn)a0+a1xn+an xnn=f(xn)而而 的系数的系数(xsh)(xsh)行列式是行列式是VandermondeVandermonde行列式行列式,且且从而方程组从而方程组(3)的解的解 存在且唯一存在且唯一.第6页/共53页第七页，共53页。不同的基函数的选取不同的基函数的选取(xunq)(xunq)导致不同的插值

6、方法导致不同的插值方法基本思想基本思想:在在n 次多项式空间次多项式空间Pn中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 0(x),1(x),n(x),使使Pn(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+an n(x)注：通过解上述方程组注：通过解上述方程组(3)求得插值多项式求得插值多项式 Pn(x)的的方法并不可取方法并不可取.这是因为当这是因为当n 较大时解方程组的计较大时解方程组的计算量较大算量较大,而且而且(r qi)方程组系数矩阵的条件数一方程组系数矩阵的条件数一般较大般较大(可能是病态方程组可能是病态方程组),当阶数当阶数n 越高时越高时,病态病态越重越重.（如如LagrangeLagr

7、ange插值插值、NewtonNewton插值等）插值等）第7页/共53页第八页，共53页。n=1可见可见(kjin)L1(x)是过是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直线两点的直线.2 Lagrange插值插值求求 n 次多项式次多项式 使得使得(sh de)已知已知 x0,x1;y0,y1，求求l0(x)l1(x)第8页/共53页第九页，共53页。这种插值称为线性插值这种插值称为线性插值,其中其中 l0(x),l1(x)称为线性插值的基函称为线性插值的基函数数,它们是由插值节点它们是由插值节点(ji din)x0,x1唯一确定的唯一确定的,且满足且满足:n=2 L2(x)是过是过(x

8、0,y0),(x1,y1)和和(x2,y2)三点三点(sn din)的次数的次数不超过不超过 2 次的多项式次的多项式,几何上看即为抛物线几何上看即为抛物线.构造构造 L2(x)如下如下,令令:代入代入可得可得第9页/共53页第十页，共53页。l2(x)l0(x)l1(x)于是于是(ysh)有有 这种插值称为二次插值这种插值称为二次插值,或抛物插值或抛物插值.可以验证可以验证 L2(x)满足插值满足插值条件条件:L2(xi)=yi(i=0,1,2).其中其中 l0(x),l1(x)和和l2(x)称为二次插称为二次插值的基函数值的基函数,它们它们(t men)是由插值节点是由插值节点 x0,x1

9、,x2唯一确定的唯一确定的,且满足且满足二次插值函数：二次插值函数：第10页/共53页第十一页，共53页。推广推广(tugung)(tugung)到一般情形到一般情形,则有一般的则有一般的LagrangeLagrange插值公式插值公式.一、插值基函数一、插值基函数(hnsh)定义定义:若若n 次多项式次多项式 在在 n+1个插值节点个插值节点 上满足插值条件上满足插值条件则称这则称这 n+1 个个 n 次多项式次多项式 为插值节点为插值节点上的上的n 次插值基函数次插值基函数.建立建立(jinl)其具体表达式：其具体表达式：由由ik 时时,知知 为为 的零的零点点,故设故设 第11页/共53

10、页第十二页，共53页。由由 得得 因此因此(ync)与与 节点有关节点有关(yugun)，而与，而与f 无关无关可以可以(ky)证明函数组证明函数组 l0(x)，l1(x)，,ln(x)在插值区间在插值区间a,b上线性无关上线性无关,所以这所以这 n+1个函数可作为个函数可作为Pn 的一组基函数的一组基函数,称为称为Lagrange插值基函数。插值基函数。第12页/共53页第十三页，共53页。则则 Ln(x)是次数不超过是次数不超过 n 的多项式的多项式,满足插值条件满足插值条件Ln(xi)=yi,称其为称其为Lagrange插值多项式插值多项式,或或Lagrange插值公式插值公式(gngs

11、h)。并且并且 若被插函数若被插函数 f(x)=1,则得则得而而 Lagrang插值只要求节点互异插值只要求节点互异,而与大小次序无关。而与大小次序无关。令：令：二、二、Lagrange 插值多项式插值多项式 方便方便(fngbin)记法：若记记法：若记则则因此因此 可写成如下形式可写成如下形式第13页/共53页第十四页，共53页。例例1：已知已知 分别用线性插值和二次分别用线性插值和二次插值求插值求 的近似值。的近似值。解解:(1)线性插值线性插值(2)二次插值二次插值注：这里线性插值只选取注：这里线性插值只选取(xunq)两个相近点。两个相近点。第14页/共53页第十五页，共53页。三、三

12、、插值余项插值余项定理定理1 若若在在a,b内存在内存在,则在则在a,b上上的的n+1个互异的点，对个互异的点，对 f(x)所作的所作的n 次次Lagrange 插插值多项式值多项式Ln(x)有误差估计有误差估计 证明证明(zhngmng)：由于：由于R n(xi)0，i=0,1,n任意固定任意固定 x xi (i=0,n),考察辅助考察辅助(fzh)函函数数第15页/共53页第十六页，共53页。(t)有有 n+2 个不同个不同(b tn)的根的根 x0 xn x推论：推论：设设 ,并记并记 ,则函数则函数 f(x)的过点的过点(a,f(a),(b,f(b)的线性插值余项的线性插值余项 R1(

13、x)有上界误差估计式：有上界误差估计式：10:由于余项含有因子由于余项含有因子,如果插值点偏离节点较远如果插值点偏离节点较远,则插值效果则插值效果一般一般(ybn)不理想不理想.说明说明(shumng)：20:通常所说的通常所说的n 次代数插值多项式不一定就是次代数插值多项式不一定就是n次多项式次多项式,它可能是它可能是次数低于次数低于n 的的.第16页/共53页第十七页，共53页。30:一般情况下一般情况下,余项中余项中的具体数值的具体数值(shz)不易确定不易确定,实际实际计算中常估计其误差限计算中常估计其误差限.设设则有则有由此看出由此看出,|Rn(x)|的大小除与的大小除与Mn+1有关

14、外有关外,还与插值节点有密还与插值节点有密切关系切关系.当给定当给定m 个点处的函数值个点处的函数值,但仅选用其中但仅选用其中n+1(n+1 m)个作为插值条件而求某点个作为插值条件而求某点 处的函数值时处的函数值时,n+1个节点的个节点的选取应尽可能地接近选取应尽可能地接近 .40:优缺点优缺点优点优点:Lagrange插值多项式构造简单插值多项式构造简单,形式对称形式对称,计算方便计算方便.缺点缺点(qudin):要增加节点时要增加节点时,需重新构造基函数需重新构造基函数.第17页/共53页第十八页，共53页。例例2：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagran

15、ge 插值计算插值计算 sin 50。解：解：n=1分别分别(fnbi)利用利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用(lyng)利用利用 计算计算(j sun)得：得：sin 50 ,sin 50 =0.7660444用用x0,x1 插值的实际误差插值的实际误差 用用x1,x2插值的实际误差插值的实际误差 第18页/共53页第十九页，共53页。n=2sin 50 =0.76604442次插值的实际次插值的实际(shj)误差误差 第19页/共53页第二十页，共53页。3 牛顿牛顿(ni dn)插值公式插值公式 Lagrange 插值虽然插值虽然(surn)易算，但若要增加一易算，但

16、若要增加一个节点时，全部基函数个节点时，全部基函数 l i(x)都需要重新计算。也都需要重新计算。也就是说，就是说，Lagrange 插值不具有继承性。插值不具有继承性。希望寻找新的基函数，使得每新加一个节点希望寻找新的基函数，使得每新加一个节点(ji din)时，只在原有插值的基础上附加部分计算量（或时，只在原有插值的基础上附加部分计算量（或者说添加一项）即可，从而引出牛顿插值法。者说添加一项）即可，从而引出牛顿插值法。一、一、牛顿插值公式的引出牛顿插值公式的引出第20页/共53页第二十一页，共53页。将将 n 次插值多项式写成升幂次插值多项式写成升幂(shn m)形式形式 (2)(3)(1

17、)即满足即满足(mnz)其中其中 为待定系数为待定系数(xsh)，由插值条件确，由插值条件确定。定。从而有从而有为了得到计算系数为了得到计算系数 ci 的一般方法的一般方法,下面引进下面引进差商的概念差商的概念.第21页/共53页第二十二页，共53页。二、差商二、差商二、差商二、差商(亦称均差亦称均差亦称均差亦称均差(jn ch)(jn ch)(jn ch)(jn ch)称为称为(chn wi)f(x)在在x0,xk处的处的1阶差商阶差商 称为称为(chn wi)f(x)在在x0,x1,xk 处的处的2阶差商阶差商一般地，一般地，n 阶差商：阶差商：定义定义:给定给定a,b中互不相同的点中互不

18、相同的点 x0,x1,x2,以及以及 f(x)在这些点在这些点处相应的函数值处相应的函数值 f(x0),f(x1),f(x2),则则称为称为f(x)在在x0,x1处的处的1阶差商阶差商 第22页/共53页第二十三页，共53页。差商的性质差商的性质(xngzh):性质性质1(差商与函数值的关系差商与函数值的关系)证证:归纳法归纳法.当当k=1时时,有有结论结论(jiln)成立成立.设设 k=m-1 时时,结论结论(jiln)成立成立.则有则有 第23页/共53页第二十四页，共53页。由差商的定义由差商的定义(dngy),当当k=m 时时,有有 所以所以k=m 时结论成立时结论成立(chngl),

19、由归纳假设知性质成立由归纳假设知性质成立(chngl).性质性质2(对称性对称性):差商的值与结点排列顺序无关差商的值与结点排列顺序无关.在在n阶差商中阶差商中任意调整节点的顺序任意调整节点的顺序,差商的值不变差商的值不变.第24页/共53页第二十五页，共53页。性质性质3(差商与导数差商与导数(do sh)的关系的关系)证证:设设性质性质4:(线性性线性性)若若 为常数为常数,则有则有即得即得从而从而(cng r)进一步规定进一步规定(gudng)：一个点：一个点 x0 的零阶差商为的零阶差商为 f(x0).由差商定义由差商定义,及数学归纳法可以证明：及数学归纳法可以证明：第25页/共53页

20、第二十六页，共53页。差商表差商表xk f(xk)一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶三阶(sn ji)差商差商 n 阶差商阶差商插值多项式可写成插值多项式可写成称称N（x)为为Newton插值多项式。具体插值多项式。具体(jt)计算可用差计算可用差商表。商表。第26页/共53页第二十七页，共53页。例例1：已知信息已知信息 构造构造 f(x)的插商表。的插商表。解：解：f(x)的插商表如下：的插商表如下：xi f(xi)一阶一阶 二阶二阶例例2:f(x)的插商表的插商表 xi f(xi)一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 第27页/共53页第二十八页，共53页。三、牛顿三、牛顿(ni dn)(

21、Newton)插值公式插值公式当当n=1时：过两点时：过两点 和和 的直线为的直线为 称为称为(chn wi)1次次Newton插值多项式。插值多项式。当当n=2时：构造时：构造(guzo)不超过不超过 2 次的多项式次的多项式:易知易知N2(x)满足插值条件：满足插值条件：称之为称之为2次次Newton插值多项式。插值多项式。第28页/共53页第二十九页，共53页。推广推广(tugung)到一般情到一般情形形:令令可证可证 Nn(x)满足插值条件：满足插值条件：称之为称之为n 次次Newton插值多项式插值多项式.或称为或称为Newton插值公式插值公式 注：由Newton插值公式可以看出,

22、每当增加一个(y)结点时,Newton插值多项式只在原有插值多项式的基础上增加一项,克服了Lagrange插值不具备继承性的缺点.Newton插值的余项：插值的余项：由插值的唯一性或上述推导知由插值的唯一性或上述推导知 第29页/共53页第三十页，共53页。例例3:给定给定 f(x)=ln x的数据表的数据表 xi f(xi1.构造构造(guzo)差商表差商表2.分别写出二次、四次分别写出二次、四次Newton插值多项式插值多项式解解:差商表差商表 xi f(xi)一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶四阶第30页/共53页第三十一页，共53页。N2(x)=0.78846+0.43505(x 2.

23、20)0.087375(x 2.20)(x 2.40)N4(x)=0.78846+0.43505(x 2.20)0.087375(x 2.20)(x 2.40)+0.0225(x 2.20)(x 2.40)(x 2.60)0.00755(x 2.20)(x 2.40)(x 2.60)(x 2.80)第31页/共53页第三十二页，共53页。例例4:4:由函数由函数(hnsh)(hnsh)表求表求NewtonNewton插值函数插值函数(hnsh)(hnsh)x -2 -1 0 1 3y -56 -16 -2 -2 4解解:函数值的计算函数值的计算:秦九韶算法秦九韶算法第32页/共53页第三十三页

24、，共53页。4 分段分段(fn dun)低次插低次插值值一、龙格现象一、龙格现象(xinxing)利用插值多项式逼近连续函数时利用插值多项式逼近连续函数时 时时,并非插值并非插值多项式的次数越高越好多项式的次数越高越好.因为当插值多项式的次数较高时因为当插值多项式的次数较高时,给给自变量一个小的扰动自变量一个小的扰动,就可能引起函数值较大的变化就可能引起函数值较大的变化,从而使从而使得截断误差很大得截断误差很大.这种现象称为这种现象称为龙格现象龙格现象.例如：例如：对于连续函数对于连续函数 ，在区间，在区间 上取等距插上取等距插值节点值节点当当n=10时时,10次插值多项式次插值多项式L10(

25、x)以及以及(yj)函数函数 f(x)的图形见的图形见P185 避免避免Runge现象的方法之一就是采用分段低次插值现象的方法之一就是采用分段低次插值.最简单的就是最简单的就是分段线性插值分段线性插值.第33页/共53页第三十四页，共53页。二、分段二、分段(fn dun)线性插值线性插值Def：设函数设函数 个有序插值节点个有序插值节点 满足满足称之为区间称之为区间a,b的一个的一个划分划分。其中。其中 和和 称为称为边界点边界点，称为称为内节点内节点。记子区间的最大长度。记子区间的最大长度则称则称分段线性函数分段线性函数为为f(x)在区间在区间a,b上关于划分上关于划分 的分段线性插值多项

26、式。的分段线性插值多项式。即即第34页/共53页第三十五页，共53页。几何几何(j h)意义：以每两个相邻节点为插值点构造一次插值意义：以每两个相邻节点为插值点构造一次插值(即直线即直线段段),用各直线段所连成的折线近似代替曲线用各直线段所连成的折线近似代替曲线 y=f(x).误差估计：误差估计：若若 f(x)在插值区间在插值区间a,b上二阶导数连续，并记上二阶导数连续，并记 ，则分段线性插值的余项有如下估计式：，则分段线性插值的余项有如下估计式：第35页/共53页第三十六页，共53页。截断误差截断误差设设 ,已知已知 f(x)在节点在节点上的函数值上的函数值 .在区间在区间 上采用二次插值上

27、采用二次插值 ,此时插值节点为此时插值节点为 三、分段三、分段(fn dun)二次二次插值插值第36页/共53页第三十七页，共53页。5 Hermite 插值插值 分段线性插值简单易操作,但插值曲线不光滑,即在内节点处一阶导数不连续,这种情况往往不能满足实际应用的需要.为了克服这一缺陷,通常添加一阶导数作为(zuwi)插值条件.一、一、两个节点的情形：两个节点的情形：设设 x0,x1为插值节点，为插值节点，x0 x1，且已知，且已知在区间在区间x0,x1上求多项式上求多项式 H(x)，使得满足插值条件，使得满足插值条件由于由于(yuy)有有4个条件，所以个条件，所以H(x)应为次数不超过应为次

28、数不超过3次的多项式，称为次的多项式，称为Hermite三次插值。三次插值。第37页/共53页第三十八页，共53页。定理：定理：设设 ，则在区间，则在区间x0,x1上满足插值条件上满足插值条件的不超过的不超过3次的多项式次的多项式H(x)存在且唯一，并可构造如下：存在且唯一，并可构造如下：其中插值基函数其中插值基函数 为三次多项式为三次多项式第38页/共53页第三十九页，共53页。插值基函数插值基函数(hnsh)的性的性质质:其中其中 在在 x0 与与 x1 之间。之间。如果如果 ，则插值余项为，则插值余项为第39页/共53页第四十页，共53页。二、二、一般一般(ybn)情形的情形的Hermi

29、te 插值插值对于函数对于函数(hnsh),已知已知 f(x)在在a,b上上n+1个个互异节点处的函数互异节点处的函数(hnsh)值值 及导数值及导数值 ,求一个次数不超过求一个次数不超过 2n+1次的多项式次的多项式 H2n+1(x),使之满足插使之满足插值条件值条件:由于插值条件由于插值条件(tiojin)有有2n+2个个,所以插值多项式不超过所以插值多项式不超过2n+1次次.并并且易知这种插值多项式是存在唯一的且易知这种插值多项式是存在唯一的.插值基函数插值基函数:类似于类似于Lagrange插值基函数插值基函数(1)设设 为次数不超过为次数不超过 2n+1 的多项式的多项式,且满足且满

30、足(2)第40页/共53页第四十一页，共53页。则则 称为插值节点称为插值节点 上的插值基函上的插值基函数数.满足插值条件满足插值条件(tiojin)(1)的的Hermite插值多项式可写成基函数的插值多项式可写成基函数的线性组合线性组合带入插值条件带入插值条件(tiojin)，解出基函数可得，解出基函数可得Hermite插值多项式为插值多项式为:n=1时时,即为前面介绍即为前面介绍(jisho)的两节点的两节点Hermite插值插值.Hermite插值多项式的余项为插值多项式的余项为第41页/共53页第四十二页，共53页。6 6 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲

31、线拟合的最小二乘法(chngf(chngf)一、离散一、离散一、离散一、离散(lsn)(lsn)(lsn)(lsn)数据的曲线数据的曲线数据的曲线数据的曲线拟合拟合拟合拟合问题问题(wnt)实质仍然是已知实质仍然是已知 x1 xm;y1 ym,求一个求一个简单易算的近似函数简单易算的近似函数 P(x)来拟合这些数据。来拟合这些数据。但是但是 m 很大；很大；yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f(xi)这时没必要取这时没必要取 P(xi)=yi,而要使而要使 i=P(xi)yi 总体上总体上尽可能地小。这种构造近似函尽可能地小。这种构造近似函数数 的方法称为曲线拟合，

32、的方法称为曲线拟合，P(x)称为拟合函数。称为拟合函数。称为称为“残差残差”第42页/共53页第四十三页，共53页。常见做法：常见做法：u使使 最小最小较复杂较复杂(fz)，u使使 最小最小不可不可(bk)导，求解困难导，求解困难u使使 最小最小“使使 i=P(xi)yi 尽可能地小尽可能地小”有不同有不同(b tn)的准则的准则第43页/共53页第四十四页，共53页。二、线性模型二、线性模型(mxng)(mxng)和最小二乘拟合和最小二乘拟合De f：对于已知的对于已知的 m+1 对离散数据对离散数据 ，记记在连续函数空间在连续函数空间C a,b中选定中选定n+1个线性无关的基函数个线性无关

33、的基函数 ，并记由它们生成的子空间为：并记由它们生成的子空间为：若有若有 使得使得第44页/共53页第四十五页，共53页。则称则称 为离散数据为离散数据 在子空间在子空间 中的中的最小二乘最小二乘拟合拟合。对于选定的基函数对于选定的基函数 ，定义中的拟合曲线即拟合模型，定义中的拟合曲线即拟合模型 ，是待定参数，是待定参数 的线性函数，故称之为的线性函数，故称之为线性最小二乘问线性最小二乘问题题。由于由于记：记：则最小二乘问题，即求极小值问题则最小二乘问题，即求极小值问题(1)的解的解 ，也就是求，也就是求多元多元(du yun)二次函数二次函数 的极小值点的极小值点 ，使得：使得：第45页/共

34、53页第四十六页，共53页。二、多项式拟合二、多项式拟合(n h)(n h)在离散数据在离散数据(shj)的最小二乘拟合中，最简单也是最常用的数的最小二乘拟合中，最简单也是最常用的数学模学模 型就是多项式：型就是多项式：即在多项式空间即在多项式空间(kngjin)中作曲线拟合，称为中作曲线拟合，称为多项式拟合多项式拟合。第46页/共53页第四十七页，共53页。1、一次多项式拟合、一次多项式拟合(n h)设一次多项式设一次多项式 则则由由得得第47页/共53页第四十八页，共53页。即即解得解得 则得拟合多项式则得拟合多项式 。例例1：已知已知 ，求拟合直线，求拟合直线.解：设拟合解：设拟合(n

35、h)直线为直线为 ，则法方程组为，则法方程组为:解得解得所以所以(suy)所求拟合直线为所求拟合直线为:第48页/共53页第四十九页，共53页。2、一般、一般(ybn)多项多项式拟合式拟合设设 n 次多项式次多项式 则法方程则法方程(fngchng)为为:第49页/共53页第五十页，共53页。例：例：已知函数已知函数的观测数据为：的观测数据为：304321用最小二乘法求形如用最小二乘法求形如 的经验公式使与的经验公式使与题题目目数据拟合数据拟合.解：解：正则方程组为正则方程组为:解得解得:所以拟合所以拟合(n h)曲线为曲线为:第50页/共53页第五十一页，共53页。例：例：2000年人口预测

36、问题年人口预测问题.根据下表数据构造拟合根据下表数据构造拟合(n h)函数，预函数，预测测2000年时的世界人口。年时的世界人口。年196019611962196319641965196619671968人口/亿29.7230.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83解：解：根据人口增长的统计资料和人口理论数学模型可知，当根据人口增长的统计资料和人口理论数学模型可知，当人口总数人口总数N 不是很大时，在不太长的时期内，人口增长接近于不是很大时，在不太长的时期内，人口增长接近于指数增长。因此采用指数函数指数增长。因此采用指数函数 对数据进行拟合。两对数据进行拟合

37、。两边同时取对数，得：边同时取对数，得：，令，令 ，变换后的拟，变换后的拟合函数为：合函数为：第51页/共53页第五十二页，共53页。相应的正规相应的正规(zhnggu)方程为方程为:解得解得:故所求拟合函数为故所求拟合函数为:经计算经计算N(2000)=64.1805 亿，基本反映亿，基本反映(fnyng)了人口了人口变化趋势变化趋势.年196019611962196319641965196619671968人口/亿3.39183.42133.45033.46983.47633.49203.51333.53223.5505对人口数据对人口数据(shj)取对数，计算得下表取对数，计算得下表:第52页/共53页第五十三页，共53页。