数学物理方法第7章学习教案.pptx

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1、数学物理数学物理(wl)方法第方法第7章章第一页，共53页。数学数学(shxu)物理思想物理思想 数学数学(shxu)(shxu)物理方程（简称数理方程）是指从物物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程程，主要指偏微分方程和积分方程 数学物理方程所研究的内容数学物理方程所研究的内容(nirng)(nirng)和所涉及的领和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律和普遍规律.第1页/共53页第二页，共53

2、页。声振动是研究声源与声波声振动是研究声源与声波场之间的关系场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松泊松（S.D.Poisson S.D.Poisson 1781178118401840，法国数学家）法国数学家）方程表示的是电势（或电方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关场）和电荷分布之间的关系系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，数学从物理规律角度来分析，数学(shxu)物理定解问题物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系表征的是场和产生这种场的源之间的关系第2页/共53页第三页，共53页。多数多数(dush)为二阶线为二阶线性偏微

3、分性偏微分方程方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足振动与波（振动波，电磁波）传播满足(mnz)波动方程波动方程热传导问题和扩散热传导问题和扩散(kusn)问题满足热传导方程问题满足热传导方程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松拉普拉斯方程或泊松方程方程一、数学物理方程-泛定方程泛定方程:物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u 在空间和时间中的变化规在空间和时间中的变化规律，即物理量律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无泛定方程

4、反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。关。第3页/共53页第四页，共53页。三类典型的数学三类典型的数学三类典型的数学三类典型的数学(shxu)(shxu)物物物物理方程理方程理方程理方程三类三类(sn li)典型的数学物理方程典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代波动方程为代表表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代泊松方程为代表表退化退化(tuhu)为拉普拉斯方程为拉普拉斯方程第4页/共53页第五页，共53页。6 6二、边界问题-边界条件体现边界状态体现边界状态(zhungti)(zhungti)的数学方程称的数学方程称为边界条

5、件为边界条件三、历史(lsh)问题-初始条件体现历史状态的数学体现历史状态的数学(shxu)(shxu)方程称为初始方程称为初始条件条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完整提法定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。定解条件定解条件定解条件定解条件：边界条件和初始条件的

6、总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程泛定方程泛定方程泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。第5页/共53页第六页，共53页。7 7具体具体(jt)(jt)的问题的求解的一般过的问题的求解的一般过程：程：1 1、根据系统的内在、根据系统的内在(nizi)(nizi)规律列出泛定方程规律列出泛定方程客观规客观规律律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解求解(

7、qi ji)(qi ji)所必须用的所必须用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分离变量法、等行波法、分离变量法、等分离变量法分离变量法偏微分方程偏微分方程标准的常微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特标准解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法第6页/共53页第七页，共53页。7.1 7.1 数学模型的建立数学模型的建立(jinl)(jinl)8 8建模步骤建模步骤(bzhu)(bzhu)：1 1、明确要研究的物理量是什么？、明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析从所研究的系统中划出任一微元，分析(fnx)(fnx

8、)邻邻近部分与它的相互作用。近部分与它的相互作用。2 2、研究物理量遵循哪些物理规律？、研究物理量遵循哪些物理规律？3 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。第7页/共53页第八页，共53页。（一）均匀（一）均匀(jnyn)弦横振动方程弦横振动方程弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动 u(x,t):u(x,t):坐标为坐标为x x 的点在的点在t t时刻沿垂线时刻沿垂线(chu(chu xin)xin)方向的位移方向的位移 求：细弦上各点的

9、振动规律求：细弦上各点的振动规律9 9波动(bdng)方程的导出第8页/共53页第九页，共53页。选取选取(xunq)不包括端点的一微元不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长弦长dx，研究研究(ynji)对象对象:(4)(4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力 ，力密度为：，力密度为：简化简化(jinhu)假设：假设：(1)(1)弦是柔软的弦是柔软的 (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2)(2)振幅极小振幅极小,张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，仅很小，仅考虑考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略

10、去二阶小量 (3)(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。弦的重量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度质量线密度，u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xF第9页/共53页第十页，共53页。弦的原长：弦的原长：振动振动(zhndng)拉拉伸后：伸后：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF弦长弦长dx，质量，质量(zhling)线线密度密度，B段的质量段的质量(zhling)为为m=dx第10页/共53页第十一页，共53页。沿沿x-方向，不出现方向，不出现(chxin)平移平移沿垂直于沿垂直于x-x-轴方向轴方向(fngxing)(fngxing)受力分析受力分析(fnx)和牛顿运和牛

11、顿运动定律：动定律：1212在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF（1 1）（2 2）第11页/共53页第十二页，共53页。波动波动(bdng)方程：方程：波速波速(b s)a受迫振动受迫振动(shu p zhn dn)方程方程1313单位质量所受外单位质量所受外力，力密度力，力密度令令牛顿运动定律：牛顿运动定律：一维波动方程一维波动方程第12页/共53页第十三页，共53页。14一维波动一维波动(bdng)(bdng)方程方程-非齐次方程非齐次方程(fngchng)(fngchng)-齐次方程齐次

12、方程(fngchng)(fngchng)忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移沿垂直于沿垂直于x x-轴方向轴方向（1 1）（2 2）类似讨论类似讨论第13页/共53页第十四页，共53页。（二）均匀（二）均匀(jnyn)薄膜的微小横振动薄膜的微小横振动 设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为xy平面，研平面，研究膜在垂直于究膜在垂直于xy平面的微小横振动平面的微小横振动 u(x,y,t):坐标坐标(zubio)点为点为(x,y)的横向位移的横向位移为

13、张力在为张力在xy平面上的投影平面上的投影(tuyng)方向方向薄膜 Tuxy平面平面的的张力张力T的横向分量的横向分量1515第14页/共53页第十五页，共53页。在在x和和x+dx两边两边(lingbin)所受的横向作所受的横向作用力用力xyx+dxy+dyxyn(即即y)n(即即x)类似类似(li s)地：在地：在y和和y+dy两边所受的横向作用力：两边所受的横向作用力：Tuyydxdy 为单位为单位(dnwi)面积的薄膜面积的薄膜质量质量薄膜的受迫振动方程薄膜的受迫振动方程单位面积上的横向外力单位面积上的横向外力单位质量上的横向外力单位质量上的横向外力1616第15页/共53页第十六页

14、，共53页。扩散扩散(kusn)(kusn)方程方程 扩散现象：系统的浓度扩散现象：系统的浓度 u(x,y,z,t)不均匀不均匀(jnyn)时，时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。扩散扩散(kusn)（实验）定律：（实验）定律：浓度不均匀（浓度梯度）浓度不均匀（浓度梯度）：扩散流强弱（强度）：扩散流强弱（强度）：单位时间通过单位单位时间通过单位面积的物质的量面积的物质的量沿沿x-方向扩散流：方向扩散流：单位时间沿单位时间沿x-方向净流入量方向净流入量单位时间净流入量等于密度增加的量单位时间净流入量等于密度增加的量物质的总量守恒物质的总

15、量守恒第16页/共53页第十七页，共53页。如果仅如果仅x x方向方向(fngxing)(fngxing)，则有一维扩散方程，则有一维扩散方程均匀均匀(jnyn)代入扩散代入扩散(kusn)定律定律三维扩散方三维扩散方程程1818如果研究空间存在源，源强度与如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为无关，且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为如果研究空间存在源，源强度与如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即成正比，即F(x,y,z)=bu(x,y,z)这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为第17页/共53页第十八页，共53页。泊松方程泊松方

16、程泊松方程泊松方程(fngchng)(fngchng)或拉普或拉普或拉普或拉普拉斯方程拉斯方程拉斯方程拉斯方程(fngchng)(fngchng)静电场的电势静电场的电势(dinsh)(dinsh)方程方程 直角坐标(zh jio zu bio)系中泊松方程为 若空间若空间无电荷，即电荷密度无电荷，即电荷密度，上式成为，上式成为 称这个方程为拉普拉斯方程拉普拉斯方程.电势电势V(x,y,z)确定所要研究的物理量：确定所要研究的物理量：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：建立泛定方程：建立泛定方程：泊松方程泊松方程 第18页/共53页第

17、十九页，共53页。7.2 7.2 定解条件定解条件(tiojin)(tiojin)常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)定解问题回顾定解问题回顾 常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)求解就是积分。积分过程求解就是积分。积分过程会出现积分常数。常微分方程会出现积分常数。常微分方程(wi fn fn chn)定解问题就定解问题就是确定积分常数。是确定积分常数。利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定确定积分常数。积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。

18、分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题要求给定：要求给定：初始条件和边界条件初始条件和边界条件2020第19页/共53页第二十页，共53页。初始初始(ch sh)时刻的温度分布：时刻的温度分布：B B、热传导方程、热传导方程(fngchng)(fngchng)的初始条件的初始条件C C、泊松方程、泊松方程(fngchng)(fngchng)和拉普拉斯方程和拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的初始条件的初始条件不含初始条件，只含边界条件不含初始条件，只含边界条件A A、波动方程的初始条件波动方程的初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初

19、位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度（一）（一）初始条件初始条件第20页/共53页第二十一页，共53页。和和 是空间是空间(kngjin)坐标坐标的函数的函数例：例：2222注意注意(zh y)(zh y)：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一根长为一根长为l的弦，两端的弦，两端(lin dun)固定于固定于0和和l。在中点位置将弦沿。在中点位置将弦沿着横向拉开距离着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。件。l x l/2h

20、解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有始速度为零，即有初始位移初始位移第21页/共53页第二十二页，共53页。（二）边界条件（二）边界条件 定义：系统的物理量始终在边界定义：系统的物理量始终在边界(binji)(binji)上具有的情况。上具有的情况。A.A.第一类边界条件第一类边界条件直接给出系统边界直接给出系统边界(binji)(binji)上物理量的函数形式。上物理量的函数形式。如：两端如：两端(lin dun)固定的弦振动固定的弦振动和和位置确定位置确定2323常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：第22页/共

21、53页第二十三页，共53页。细杆热传导细杆热传导或随时间变化或随时间变化(binhu)的温度的温度恒温恒温(hngwn)B.B.第二类边界条件第二类边界条件第一类边界条件的基本第一类边界条件的基本(jbn)形式：形式：速度确定速度确定细杆的纵振动：细杆的纵振动：当端点当端点“自由自由”，即无应力。根据胡克定律，即无应力。根据胡克定律，杆的杆的相对伸长也为零相对伸长也为零：细杆热传导：细杆热传导：端点绝热，端点绝热，热流强度为零热流强度为零，由热传导定律：，由热传导定律：2424第23页/共53页第二十四页，共53页。C.C.第三类边界条件第三类边界条件位移位移(wiy)和速度的组合和速度的组合

22、细杆热传导：端点细杆热传导：端点“自由自由”冷却冷却(热流正比热流正比(zhngb)(zhngb)于温差于温差)。牛顿牛顿(ni dn)冷却定律：冷却定律：T 为环境温度为环境温度。根据热传导定律，在根据热传导定律，在 x=l 处处：负负x方向方向正正x方向方向在在x=0 处处2525第24页/共53页第二十五页，共53页。细杆纵振动：端点细杆纵振动：端点(dun din)与固定点弹性连接。应力为弹性力与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律胡克定律(h k dn l)：弹性力：弹性力：则在端点则在端点(dun din)一般表达式：一般表达式：这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。这些是最常

23、见的线性边界条件，还有其它形式。（三）衔接条件（三）衔接条件 系统中可能出现物理性质急剧变化的点系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点跃变点)。如两节具。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是某些物理量仍然可以是连续的连续的，这就构成，这就构成衔接条件衔接条件。2626第25页/共53页第二十六页，共53页。例例横向横向(hn xin)(hn xin)力力 作用于作用于 点。点。弦在弦在 的左右的左右(zuy

24、u)(zuyu)斜率不同，但位移的极限值相同。斜率不同，但位移的极限值相同。这两个等式就是衔接这两个等式就是衔接(xinji)(xinji)条件。条件。又，横向力应与张力平衡：又，横向力应与张力平衡：即即 1 22727第26页/共53页第二十七页，共53页。7.3 7.3 数学物理数学物理(wl)(wl)方程的分类方程的分类（一）线性二阶偏微分方程（一）线性二阶偏微分方程(wi fn fn chn)把所有自变量依次把所有自变量依次(yc)记作记作x1,x2,xn，线性二阶偏微分方程可表为线性二阶偏微分方程可表为其中其中 aij,bi,c,f 只是只是 x1,x2,xn 的函数的函数（二）两个

25、自变数的方程分类（二）两个自变数的方程分类2828第27页/共53页第二十八页，共53页。双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型作变量作变量(binling)替替换换2929第28页/共53页第二十九页，共53页。7.4 7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式(gngsh)(gngsh)定解问题定解问题行波法行波法用行波法求解波动方程的基本思想：用行波法求解波动方程的基本思想：先求出偏微分方程先求出偏微分方程(wi fn fn chn)的通解，然后用的通解，然后用定解条件确定特解。定解条件确定特解。评述：这一思想与常微分方程评述：这一思想与常微分方程(wi fn fn chn)的解的解法是一样的。法是

26、一样的。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程次二阶偏微分方程(wi fn fn chn)。（一）波动方程（一）波动方程(fngchng)(fngchng)的达朗贝尔公式的达朗贝尔公式 3030第29页/共53页第三十页，共53页。将将 和和 看作如同数一样的算子，可以进行看作如同数一样的算子，可以进行(jnxng)(jnxng)加减乘除：加减乘除：当当a=1a=1，相当于沿，相当于沿 x x 和和 t t 求导，变成沿求导，变成沿对角线求导。当对角线求导。当 a a 不为不为1 1，则求导的线，则求导的线进行相应进

27、行相应(xingyng)(xingyng)的角度变化。的角度变化。变换变换(binhun)：和和显然，显然，坐标变换坐标变换3131第30页/共53页第三十一页，共53页。(1)(1)通解通解(tngji)(tngji)对对 积分积分(jfn)(jfn)：积分积分(jfn)(jfn)常数依赖于常数依赖于 再积分：再积分：以以f2为例讨论其意义为例讨论其意义作坐标变换：作坐标变换：新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中以速在旧坐标中以速度度 a 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变运动；函数的图像在动坐标系中保持不变。f2(x-at)是以速度

28、是以速度 a 沿沿 x 轴正方向运动的行波轴正方向运动的行波,f1(x+at)是以速度是以速度 a 沿沿 x 轴反方向运动的行波轴反方向运动的行波。3232第31页/共53页第三十二页，共53页。确定待定函数确定待定函数(hnsh)的的形式形式无限无限(wxin)长，即无边界条件长，即无边界条件设初始条件为设初始条件为和和(2)(2)达朗贝尔公式达朗贝尔公式(gngsh)(gngsh)3333第32页/共53页第三十三页，共53页。设初速度为零设初速度为零由达朗贝尔公式由达朗贝尔公式(gngsh)(gngsh)3434x1x2t=0t1t2t3t4第33页/共53页第三十四页，共53页。设初位

29、移设初位移(wiy)为零为零假使初始速度假使初始速度(sd)(sd)在区间在区间x1,x2x1,x2上是常数上是常数0 0其中其中(qzhng)解：解：3535第34页/共53页第三十五页，共53页。3636t=0t1t2t3第35页/共53页第三十六页，共53页。（二）端点（二）端点(dun din)的反射的反射一个一个(y)端点固定端点固定设初始条件为设初始条件为和和边界条件边界条件达朗贝尔公式是无限达朗贝尔公式是无限(wxin)(wxin)长弦的公式。由于自变量限制为长弦的公式。由于自变量限制为x x0 0tx/a时，上式后两项无意义，必须将时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t)延拓

30、到这个范围延拓到这个范围，作奇延拓作奇延拓：半无限长弦的自由振动半无限长弦的自由振动3737第36页/共53页第三十七页，共53页。3838第37页/共53页第三十八页，共53页。半波(bn b)损失只有初始只有初始(ch sh)位移，没有初始位移，没有初始(ch sh)速度速度开始开始(kish)反射反射3939第38页/共53页第三十九页，共53页。一个端点一个端点(dun din)自由自由设初始条件为设初始条件为和和边界条件边界条件应该应该(ynggi)是偶延拓是偶延拓4040第39页/共53页第四十页，共53页。无半波无半波(bn b)损失损失只有初始只有初始(ch sh)位移，没有初

31、始位移，没有初始(ch sh)速度速度开始开始(kish)反射反射4141第40页/共53页第四十一页，共53页。（三）跃变点的反射（三）跃变点的反射(fnsh)无限无限(wxin)长杆，长杆，x0 两部分的杨氏模量和密度分别为两部分的杨氏模量和密度分别为 。x=0 是跃变点。是跃变点。设有行波设有行波 从区域从区域 I 向向 x=0 点运动点运动(yndng)。到。到x=0 产生反产生反射和透射。射和透射。取此波在取此波在 t=0 时刻抵达时刻抵达 x=0 .衔接条件衔接条件4242第41页/共53页第四十二页，共53页。区域区域 II II 中，只有中，只有(zhyu)(zhyu)透射波透

32、射波衔接衔接(xinji)条件条件区域区域(qy)I(qy)I 中的行波：中的行波：4343第42页/共53页第四十三页，共53页。又又反射系数反射系数透射系数透射系数4444第43页/共53页第四十四页，共53页。从达朗贝尔公式可以从达朗贝尔公式可以(ky)(ky)看出，波动方程的解，是初始条看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。式来。而这种演化又受到边界条件的限制。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重这就说明了初始条件和边界条件在确定波

33、动方程的解时的重要性。要性。达朗贝尔解表示沿达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向轴正、反向(fn xin)传播的两列波的叠加传播的两列波的叠加4545第44页/共53页第四十五页，共53页。4646习题习题 7.1.2用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动(zhndng)方程。方程。xs1x+dx s2xu(x,t)解：如图选坐标系，选解：如图选坐标系，选dx段为段为研究对象研究对象,dx段两边段两边(lingbin)受拉力分别为受拉力分别为由牛顿第二由牛顿第二(d r)(d r)定定律：律：第45页/共53页第四十六页，共53页。4747习题习题7.1.7

34、：长为：长为l的柔软均质绳索，一端的柔软均质绳索，一端(ydun)固定在以匀速固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。XYxx+dx解：如图选坐标系，由于惯性离心解：如图选坐标系，由于惯性离心力的作用力的作用(zuyng)(zuyng)，绳内各处受，绳内各处受力不同，力不同，x x处的拉力为处的拉力为即即第46页/共53页第四十七页，共53页。确定确定(qudng)c(qudng)c：ds=dx力平衡条件：力平衡条件：x h

35、F0习题习题7.2.1 如右图，在如右图，在h出受到拉力出受到拉力F0,写出初始写出初始(ch sh)位移位移.21解4848解出：解出：第47页/共53页第四十八页，共53页。习题习题7.2.3 7.2.3 长为长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件。，写出这个热传导问题的边界条件。在边界在边界(binji)上有：上有：若端点(dun din)是绝热的，则解：x=l处：xq0q0nnx=0处：第48页/共53页第四十九页，共53页。习题习题(xt)7.4.1解：习题习题(xt)7.4.6设初始条件为设初始条件为和边界条件边界条件5050第49页/共53页第五十页，共53页。定解问题定解问题(wnt)5151端点端点(dun din)自由时的解自由时的解分解分解(fnji)解：通解为解：通解为定解条件定解条件求：求：第50页/共53页第五十一页，共53页。5252求求第51页/共53页第五十二页，共53页。5353求解求解(qi ji)两端固定弦的自两端固定弦的自由振动由振动泛定方程泛定方程(fngchng)的的通解通解边界条件边界条件周期函数周期函数(zhu q hn sh)，同理，同理改写为改写为是是x的奇函数，周期为的奇函数，周期为2l第52页/共53页第五十三页，共53页。