数学建模动态模型学习教案.pptx

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1、会计学1数学数学(shxu)建模动态模型建模动态模型第一页，共88页。第二部分第二部分 动态动态(dngti)模型模型n n动态(dngti)模型介绍n n动态(dngti)模型分析n n动态(dngti)模型模拟第1页/共88页第二页，共88页。第第4章章 动态模型动态模型(mxng)介绍介绍n n常态(chngti)分析n n动力系统n n离散时间动力系统第2页/共88页第三页，共88页。4.1 常态常态(chngti)分析分析n n例4.1 在一个未被管理的森林，硬材树和软材树竞争可用的土地和水分。越可用的硬材树生长的越慢，但越耐久且提供越有价值的木材。软材树靠生长快，有效消耗水分和土壤

2、养分与硬材树竞争。硬材树靠生长的高度与软材树竞争，它们遮挡了小树的阳光，它们也更耐抗疾病(jbng)。这两种树能否同时在一片森林中共存，或者一种树会迫使另一种树灭绝？第3页/共88页第四页，共88页。五步法五步法n nHH和和S S分别表示硬材树和软材树种群。生物学家习惯使用的计量单位是每分别表示硬材树和软材树种群。生物学家习惯使用的计量单位是每英亩上的木材吨数。英亩上的木材吨数。n n无限制生长无限制生长(丰富的空间、阳光、水分、土壤养料等）：丰富的空间、阳光、水分、土壤养料等）：rPrPn n种群内的竞争：种群内的竞争：-aP2-aP2（小种群的增长率线性依赖于种群的大小（小种群的增长率线

3、性依赖于种群的大小 ，即：，即：-aP)-aP)n n种群生长种群生长(率率)函数函数(hnsh)(hnsh)：g(P)=rP-aP2g(P)=rP-aP2，(r(r为内禀增长率，为内禀增长率，ara=0,S=0H=0,S=0n nr1,r2,a1,a2,b1,b2r1,r2,a1,a2,b1,b2是正实数是正实数(shsh)(shsh)n n目标：是否有目标：是否有H-0H-0或或S-0S-0。第6页/共88页第七页，共88页。第二步，选择第二步，选择(xunz)建模方法建模方法n n微分方程(wi fn fn chn)动力系统理论n n见书第7页/共88页第八页，共88页。第三步，构造模型

4、第三步，构造模型(mxng)公式公式n n记x1=H,x2=S为两个状态(zhungti)变量，定义在状态(zhungti)空间：(x1,x2):x1=0,x2=0n n定常态方程n nr1x1-a1x12-b1x1x2=0n nr2x2-a2x22-b2x1x2=0第8页/共88页第九页，共88页。第四步，求解第四步，求解(qi ji)模型模型n n得四个解：n n三个解(0，0),(0，r2/a2),(r1/a1,0)在坐标轴上n n第四个解在两条直线(zhxin)n n r1-a1x1-b1x2=0n n r2-a2x2-b2x1=0n n 的交点：第9页/共88页第十页，共88页。n

5、n如果两条直线不相交，则只存在3个平衡点。在这种情况下，两个种群不能共存。n n我们(w men)希望知道在什么条件下x10且x20.n n假设aibi,2个种群共存的条件：第10页/共88页第十一页，共88页。平衡态平衡态第11页/共88页第十二页，共88页。第五步，回答第五步，回答(hud)问题问题n n对每种种群(zhn qn)存在两类增长限制。第一种是由于与另一种群(zhn qn)的竞争，第二种是由于拥挤造成的同一种群(zhn qn)内部的竞争。因此，对每一种树，存在着一点，在这一点数木由于拥挤会主动停止增长，且存在另一点，在这一点树木通过竞争阻止另一种群(zhn qn)的增长。两种树

6、能够共存的条件是每种树在达到限制自己增长的点之前已经达到它限制另一种树增长的点。第12页/共88页第十三页，共88页。4.2 动力系统动力系统n n例 4.2 蓝鲸和长须鲸是生活在同一海域的相似种群，因此认为他们之间存在竞争(jngzhng)。蓝鲸的内禀增长率每年估计为5%，长须鲸为每年8%，环境承载力（环境能够支付的鲸鱼的最大数量）估计蓝鲸为150000条，长须鲸为400000条。鲸鱼竞争(jngzhng)的程度是未知的。在过去的100年剧烈的捕捞已经使鲸鱼数量减少，蓝鲸大约为5000条，长须鲸大约为70000条。蓝鲸是否会灭绝？第13页/共88页第十四页，共88页。第一步，提出第一步，提出

7、(t ch)问题问题n n变量：n nB=蓝鲸的数量(shling)n nF=长须鲸的数量(shling)n ngB=蓝鲸种群的增长率（每年）n ngF=长须鲸种群的增长率（每年）n ncB=蓝鲸与长须鲸竞争的影响（每年的鲸鱼数）n ncF=长须鲸与蓝鲸竞争的影响（每年的鲸鱼数）第14页/共88页第十五页，共88页。n n假设n ngB=0.05B(1-B/150000)n ngF=0.08F(1-F/400000)n ncB=cF=aBFn nB=0,F=0,a是正实数n n目标：确定动力系统是否(sh fu)能够从B=5000,F=70000开始达到稳定的平衡态。第15页/共88页第十六页

8、，共88页。第二步，选择第二步，选择(xunz)建模方法建模方法n n连续时间动力系统理论(lln)n n见教材p.94.第16页/共88页第十七页，共88页。第三步，构造第三步，构造(guzo)模型公式模型公式n n令x1=B,x2=F,记x1=f1(x1,x2),x2=f2(x1,x2)n nf1(x1,x21(1-x1/150000)-ax1x2n nf2(x1,x22(1-x2/400000)-ax1x2n n状态(zhungti)空间为n nS=(x1,x2):x1=0,x2=0第17页/共88页第十八页，共88页。第四步，求解第四步，求解(qi ji)模型模型n n绘制绘制(huz

9、h)(huzh)向量场向量场n nclear all,close all,clc clear all,close all,clc n nsyms x1 x2 syms x1 x2 n nalpha=10(-7);alpha=10(-7);n nf1=0.05*x1*(1-x1/150000)-alpha*x1*x2;f1=0.05*x1*(1-x1/150000)-alpha*x1*x2;n nf2=0.08*x2*(1-x2/400000)-alpha*x1*x2;f2=0.08*x2*(1-x2/400000)-alpha*x1*x2;n nx1steady,x2steady=solve(

10、f1,f2);x1steady,x2steady=solve(f1,f2);n ndisp(The equilibrium points are)disp(The equilibrium points are)n ndisp(x1steady x2steady)disp(x1steady x2steady)第18页/共88页第十九页，共88页。M=10;%number of samples points M=10;%number of samples points x1min=0;x1max=900000;%domain specification x1min=0;x1max=900000;%

11、domain specification x2min=0;x2max=600000;x2min=0;x2max=600000;X1,X2=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1max,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);X1,X2=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1max,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);dX1=0.05*X1.*(1-X1/150000)-alpha*X1.*X2;%x1-componentdX1=0.05*X1.*(1-X1/150000)-alpha*X1.*X2;

12、%x1-componentdX2=0.08*X2.*(1-X2/400000)-alpha*X1.*X2;%x2-component dX2=0.08*X2.*(1-X2/400000)-alpha*X1.*X2;%x2-component quiver(X1,X2,dX1,dX2);%matlab routine quiver(X1,X2,dX1,dX2);%matlab routine axis(x1min x1max x2min x2max);axis(x1min x1max x2min x2max);title(Direction field(the vectors may be re

13、scaled!);title(Direction field(the vectors may be rescaled!);hold on hold on xlabel(Blue Whales);ylabel(Fin Whales);xlabel(Blue Whales);ylabel(Fin Whales);ezplot(f1,0 900000 0 600000),hold on ezplot(f1,0 900000 0 600000),hold on ezplot(f2,0 900000 0 600000)ezplot(f2,0 900000 0 600000)第19页/共88页第二十页，共

14、88页。第20页/共88页第二十一页，共88页。四个平衡态解四个平衡态解n n三个为：n n（0，0），（150000，0），（0，400000）n n第四个在区域内部，为唯一(wi y)稳定的平衡态。第21页/共88页第二十二页，共88页。第五步，回答第五步，回答(hud)问题问题n n只要停止捕捞，鲸鱼(jn y)种群将恢复到原来的水平，生态系统将处于稳定的平衡态。第22页/共88页第二十三页，共88页。灵敏性和稳定性灵敏性和稳定性n n对参数(cnsh)a做灵敏性分析n nsyms alpha n nf1=.05*x1*(1-x1/150000)-alpha*x1*x2;n nf2=.0

15、8*x2*(1-x2/400000)-alpha*x1*x2;n nx1steady,x2steady=solve(f1,f2)n nx1alpha=x1steady(4);x2alpha=x2steady(4);n npretty(x1alpha),pretty(x2alpha)第23页/共88页第二十四页，共88页。n n解之得解之得n nx1=150000*(-1+8000000*a)/Dx1=150000*(-1+8000000*a)/Dn nx2=400000*(-1+1875000*a)/Dx2=400000*(-1+1875000*a)/Dn n其中，其中，n nalpha1=s

16、olve(x1alpha);alpha2=solve(x2alpha);alpha1=solve(x1alpha);alpha2=solve(x2alpha);n nformat short e format short e n ndouble(alpha1),double(alpha2)double(alpha1),double(alpha2)n n可见可见(kjin)(kjin)，对任意的，对任意的a1.25*10-7a0,x20.x10,x20.第24页/共88页第二十五页，共88页。figure ezplot(x1alpha,0 8*10(-7),hold on grid on ezp

17、lot(x2alpha,0 8*10(-7),hold on title(Level of coexisting populations vs parameter alpha);第25页/共88页第二十六页，共88页。第26页/共88页第二十七页，共88页。a=linspace(0,9*10(-7);x1a=subs(x1alpha,alpha,a);x2a=subs(x2alpha,alpha,a);ind=find(x1a0&x2a0);plot(a(ind),x1a(ind),bo);hold on plot(a(ind),x2a(ind),ro);第27页/共88页第二十八页，共88页

18、。第28页/共88页第二十九页，共88页。format bank Sx1alpha=diff(x1alpha,alpha)*(alpha/x1alpha);Sx2alpha=diff(x2alpha,alpha)*(alpha/x2alpha);Sx1a=subs(Sx1alpha,alpha,10(-7)Sx2a=subs(Sx2alpha,alpha,10(-7)第29页/共88页第三十页，共88页。稳健性分析稳健性分析(fnx)n n稳健性分析(fnx)是考虑上述模型中f1和f2具有更一般的形式。n n只要向量场具有相同的一般特征，我们的结论仍然是正确的。第30页/共88页第三十一页，共

19、88页。4.3 离散离散(lsn)时间动力系统时间动力系统n n例4.3 宇航员在训练中要求用手动控制做对接演习。作为这个演习的一部分，要求保持一个正在运行的太空船与另一个正在运行的太空船的相对位置。手控制器提供了不同的加速度和减速度，并且在太空船上有一个装置测量这两个飞船的接近速度。建议使用如下的策略(cl)进行飞船对接。第31页/共88页第三十二页，共88页。n n首先观察接近速度(sd)。如果为零，则不用再做任何事情。否则，记住这个接近速度(sd)，再看加速度(sd)控制器，控制加速度(sd)使得它与接近速度(sd)相反（即如果接近速度(sd)是正值，则放慢，如果是负的，则加快。），且正

20、比于这个差值（即如果发现接近速度(sd)达到2倍时，我们将于2倍的速度(sd)刹车）。经过一段时间，再观察接近速度(sd)并重复上面的步骤。在什么环境下这个策略才是有效的？第32页/共88页第三十三页，共88页。第一步，提出第一步，提出(t ch)问题问题n n设设vnvn表示在时间表示在时间tntn观测到的接近速度，观测到的接近速度，tntn为第为第n n次观测的时间。次观测的时间。n n太空船接近速度的改变：太空船接近速度的改变：vn=vn+1-vnvn=vn+1-vnn n两次观测之间的时间间隔：两次观测之间的时间间隔：tn=tn+1-tntn=tn+1-tnn n时间区间被分成两部分时

21、间区间被分成两部分(b fen)(b fen)：tn=cn+wn tn=cn+wnn ncncn为调整控制器的时间，为调整控制器的时间，wnwn为下一次观测前为下一次观测前的等待时间。的等待时间。n n记记anan为第为第n n次调节后设定的加速度，则次调节后设定的加速度，则vn vn=an-1cn+anwn=an-1cn+anwnn n按控制律要求加速度正比于按控制律要求加速度正比于(-vn),(-vn),因此，因此，an=-an=-kvnkvn第33页/共88页第三十四页，共88页。变量变量(binling)：n ntn=第n次观测速度的时间(秒)n nvn=在tn时刻(shk)的速度(米

22、/秒)n ncn=执行第n次控制调节的时间(秒)n nan=第n次调节后的加速度(米/秒)n nwn=等待到第n+1次观测前的等待时间(秒)第34页/共88页第三十五页，共88页。假设假设(jish)：n ntn+1=tn+tn=tn+cn+wnn nvn+1=vn+vn=vn+an-1cn+anwnn nan=-kvnn ncn0n nwn=0n n目标：确定(qudng)是否有vn0.第35页/共88页第三十六页，共88页。第二步，选择第二步，选择(xunz)建模方法建模方法n n离散(lsn)时间动力系统理论n n见教材，p99.第36页/共88页第三十七页，共88页。第三步，推导模型第

23、三步，推导模型(mxng)公式公式n nvn+1-vn=-kvn-1cn-kvnwnn n为简化(jinhu)起见，对所有的n，设cn=c,wn=wn n有vn+1-vn=-kwvn-kcvn-1n n设x1(n)=vn,x2(n)=vn-1,则n nx1=-kwx1-kcx2n nx2=x1-x2第37页/共88页第三十八页，共88页。第四步，求解第四步，求解(qi ji)模型模型n n平衡态方程：n n-kwx1-kcx2=0n nx1-x2=0n n平衡点（0，0）位于上述两直线的交点(jiodin)。n n下面绘制向量场F=(-kwx1-kcx2,x1-x2)第38页/共88页第三十九

24、页，共88页。绘制绘制(huzh)向量场向量场clear all,close all,clc clear all,close all,clc c=5,w=10,k=0.1;c=5,w=10,k=0.1;M=10,x1min=-15,x1max=15,x2min=-15,x2max=15;M=10,x1min=-15,x1max=15,x2min=-15,x2max=15;X1,X2=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1max,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);X1,X2=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1ma

25、x,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);dX1=-k*w*X1-k*c*X2;dX1=-k*w*X1-k*c*X2;dX2=X1-X2;dX2=X1-X2;quiver(X1,X2,dX1,dX2);quiver(X1,X2,dX1,dX2);axis(x1min x1max x2min x2max);axis(x1min x1max x2min x2max);title(Direction field(the vectors are rescaled!);title(Direction field(the vectors are rescaled!);hold on h

26、old on xlabel(Current Speed),ylabel(Previous Speed);xlabel(Current Speed),ylabel(Previous Speed);第39页/共88页第四十页，共88页。第40页/共88页第四十一页，共88页。系统系统(xtng)演变演变n n定义(dngy)函数n nfunction rhs=dockfun(x,c,w,k);n nrhs=-k*w*x(1)-k*c*x(2);x(1)-x(2);第41页/共88页第四十二页，共88页。迭代迭代(di di)实现实现x=8;10;x=8;10;N=12;N=12;fprintf(n

27、 Current speed Prev.speednn)fprintf(n Current speed Prev.speednn)fprintf(%2.0f%5.2f%5.2fn,0,x(1),x(2)fprintf(%2.0f%5.2f%5.2fn,0,x(1),x(2)for n=1:N for n=1:N xnew=x+dockfun(x,c,w,k);xnew=x+dockfun(x,c,w,k);plot(x(1),xnew(1),x(2),xnew(2),-ro,.plot(x(1),xnew(1),x(2),xnew(2),-ro,.MarkerFaceColor,k,Marke

28、rSize,2)MarkerFaceColor,k,MarkerSize,2)x=xnew;x=xnew;fprintf(%2.0f%5.2f%5.2fn,n,x(1),x(2)fprintf(%2.0f%5.2f%5.2fn,n,x(1),x(2)end end 第42页/共88页第四十三页，共88页。第43页/共88页第四十四页，共88页。第五步，回答第五步，回答(hud)问题问题n n假设cw,有x1 -kwx1n n当kw2时，我们将得到一个稳定的平衡态。n n当kw1时，系统将逼近平衡态，而不会越过它。n n据此，可以(ky)回答问题如下：n n只要控制调节不是太剧烈，则控制将起作用

29、。第44页/共88页第四十五页，共88页。n n进一步，两次调节之间的间隔时间越长，调节幅度(fd)必须越小。而且，它们之间呈反比。如果两次调节之间的时间间隔增加两倍，调节幅度(fd)可以减半。n n特别地，如果我们以10秒调节一次，则设置加速度为1/10，以免超过目标速度零。第45页/共88页第四十六页，共88页。n n作业(zuy)：n n习题4.4 1，11第46页/共88页第四十七页，共88页。第五章第五章 动态动态(dngti)模型分析模型分析n n连续时间(shjin)系统的特征值方法n n离散时间(shjin)系统的特征值方法n n相图第47页/共88页第四十八页，共88页。连续

30、时间系统连续时间系统(xtng)特征值方特征值方法法n n例5.1 再次考虑例的树木问题。假设硬材树每年增长率为10%，软材树每年增长率为25%。一英亩林地可以(ky)提供大约10000吨的硬木或6000吨的软木。竞争的程度还未从数值上确定。两种树能否共存于一个稳定的平衡态？第48页/共88页第四十九页，共88页。第一步，提出第一步，提出(t ch)问题问题n nr1n nr2n na1n na2第49页/共88页第五十页，共88页。第二步，选择第二步，选择(xunz)建模方法建模方法n n连续(linx)时间动力系统的特征值分析法n n见教材，p112第50页/共88页第五十一页，共88页。

31、第三步，推导第三步，推导(tudo)模型公式模型公式n n已经确定了r1,r2,a1,a2,我们仍假设(jish)biai,不妨取bi=ai/2,则n n动态系统方程为x=F(x),其中F(x)=(f1,f2).n nf1(x1,x21-(0.10/10000)(x1)2-(0.05/10000)x1x2n nf2(x1,x22-(0.25/6000)(x2)2-(0.125/6000)x1x2第51页/共88页第五十二页，共88页。第四步，求解第四步，求解(qi ji)模型模型n n区域(qy)内部有平衡点：n nx109333,x201333n n计算偏导数矩阵在平衡点(x10,x20)处

32、的值A。n n求矩阵A的特征值，得第52页/共88页第五十三页，共88页。n n这两个特征值均具有负实部，所以(suy)该平衡点为稳定的。n n上述过程也可以用计算机求解。第53页/共88页第五十四页，共88页。代码代码(di m)实现实现-求平衡点求平衡点syms x1 x2 f1=0.1*x1*(1-(1/10000)*x1-0.5*(1/10000)*x2);f2=0.25*x2*(1-(1/6000)*x2-0.5*(1/6000)*x1);x1steady,x2steady=solve(f1,f2);N=length(x1steady);fprintf(The equilibrium

33、 points aren)disp(x1steady x2steady)第54页/共88页第五十五页，共88页。代码代码(di m)实现实现-绘制方向绘制方向场场M=15;M=15;x1min=0;x1min=0;x1max=11000;x1max=11000;x2min=0;x2min=0;x2max=8000;x2max=8000;ezplot(f1,x1min x1max x2min x2max),hold on ezplot(f1,x1min x1max x2min x2max),hold on ezplot(f2,x1min x1max x2min x2max),hold on ez

34、plot(f2,x1min x1max x2min x2max),hold on X1,X2=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1max,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);X1,X2=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1max,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);dX1=0.1*X1.*(1-(1/10000)*X1-0.5*(1/10000)*X2);dX1=0.1*X1.*(1-(1/10000)*X1-0.5*(1/10000)*X2);dX2=0.25*X2.*(1-(1/6000

35、)*X2-0.5*(1/6000)*X1);dX2=0.25*X2.*(1-(1/6000)*X2-0.5*(1/6000)*X1);quiver(X1,X2,dX1,dX2),axis(x1min x1max x2min x2max);quiver(X1,X2,dX1,dX2),axis(x1min x1max x2min x2max);title(Direction field(the vectors are rescaled!);title(Direction field(the vectors are rescaled!);xlabel(Hardwoods),ylabel(Softwo

36、ods),hold on xlabel(Hardwoods),ylabel(Softwoods),hold on 第55页/共88页第五十六页，共88页。第56页/共88页第五十七页，共88页。代码实现代码实现(shxin)-稳定性分稳定性分析析DF=diff(f1,x1),diff(f1,x2);diff(f2,x1),diff(f2,x2);DF=diff(f1,x1),diff(f1,x2);diff(f2,x1),diff(f2,x2);for i=1:N for i=1:N x1num=double(x1steady(i);x1num=double(x1steady(i);x2num

37、=double(x2steady(i);x2num=double(x2steady(i);A=subs(DF,x1,x2,x1num,x2num)A=subs(DF,x1,x2,x1num,x2num)lambda=eig(A);lambda=eig(A);fprintf(The eigenvalues for the equilibrium()fprintf(The eigenvalues for the equilibrium()fprintf(%1.0f,%1.0f,x1num,x2num);fprintf(%1.0f,%1.0f,x1num,x2num);fprintf()are)fp

38、rintf()are)fprintf(%1.2f%1.2fn,lambda(1),lambda(2);fprintf(%1.2f%1.2fn,lambda(1),lambda(2);plot(x1num,x2num,ro,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,g);plot(x1num,x2num,ro,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,g);end end 第57页/共88页第五十八页，共88页。第58页/共88页第五十九页，共88页。第五步，回答第五步，回答(hud)问题问题n n我们发现硬材树和软材树可以共存于一个平衡态。在一个成熟的稳定的

39、树林中，每英亩大约有9300吨硬材树和1300吨软材树。这个结论基于对两类树种之间竞争程度的近似(jn s)合理的假设。第59页/共88页第六十页，共88页。灵敏性分析灵敏性分析(fnx)n n为做灵敏性分析(fnx)，这里放松假设bi=(1/2)ai,而假设bi=tai.n n条件:n nbiain nri/airj/bjn n隐含着第60页/共88页第六十一页，共88页。定义系统定义系统(xtng)方程方程syms x1 x2 tf1=0.1*x1*(1-(1/10000)*x1-t*(1/10000)*x2);f2=0.25*x2*(1-(1/6000)*x2-t*(1/6000)*x1

40、);第61页/共88页第六十二页，共88页。求平衡态求平衡态x1steady,x2steady=solve(f1,f2);N=length(x1steady);fprintf(The equilibrium points aren)disp(x1steady x2steady)第62页/共88页第六十三页，共88页。每一平衡点对每一平衡点对t(0t0.6)的灵敏的灵敏性性DF=diff(f1,x1),diff(f1,x2);diff(f2,x1),diff(f2,x2)DF=diff(f1,x1),diff(f1,x2);diff(f2,x1),diff(f2,x2)for i=1:N for

41、 i=1:N A=subs(DF,x1,x2,x1steady(i),x2steady(i)A=subs(DF,x1,x2,x1steady(i),x2steady(i)lambda=eig(A)lambda=eig(A)figurefigurefor ttfor tty=subs(lambda,t,tt);y=subs(lambda,t,tt);plot(tt,y),hold onplot(tt,y),hold onend end end end 第63页/共88页第六十四页，共88页。平衡态（平衡态（0，0）第64页/共88页第六十五页，共88页。平衡态（平衡态（150000，0）第65页

42、/共88页第六十六页，共88页。平衡态（平衡态（0，400000）第66页/共88页第六十七页，共88页。区域区域(qy)内部的平衡态内部的平衡态第67页/共88页第六十八页，共88页。5.3 相图相图(xin t)n n所谓连续时间动态系统的相图就是连续时间动态系统有代表性的解曲线在状态空间的草图。n n通常与向量场的勾画(guhu)一起运用，从而获得动态系统在状态空间动态行为的图形描述。第68页/共88页第六十九页，共88页。例例5.3 n n考虑如下图所示的电路图。电路由一个电容，一个电阻和一个电感器构成(guchng)一个简单闭路。电路中每个元件的作用由在这个回路中的电流和电压之间的关

43、系表示。一个理想的物理模型给出这个关系：第69页/共88页第七十页，共88页。第70页/共88页第七十一页，共88页。n n称函数f(x)为电阻的v-i特征。在古典的RLC电路理论中我们假设f(x)=Rx,其中R表示电阻。基尔霍夫电流定理说明：进入一个节点的电流之和等于流出电流之和。基尔霍夫电压(diny)定理说明：闭路上所有电压(diny)差之和为零。n n对情形L=1,C=1/3和f(x)=x3+4x确定这个电路随时间变化的行为。第71页/共88页第七十二页，共88页。第一步，提出第一步，提出(t ch)问题问题n n变量：变量：vC,iC,vR,iR,vL,iLvC,iC,vR,iR,v

44、L,iLn n假设假设n nCdvC/dt=iCCdvC/dt=iCn nvR=f(iR)vR=f(iR)n nLdiL/dt=vLLdiL/dt=vLn niC=iR=iL,vC+vR+vL=0iC=iR=iL,vC+vR+vL=0n nL=1,C=1/3,f(x)=x3+4xL=1,C=1/3,f(x)=x3+4xn n目标目标(mbio)(mbio)：确定六个变量随时间变化的性质。：确定六个变量随时间变化的性质。第72页/共88页第七十三页，共88页。第二步，选择第二步，选择(xunz)建模方法建模方法n n建立(jinl)连续时间动态系统模型n n勾画完整的相图进行分析。第73页/共8

45、8页第七十四页，共88页。第三步，构造第三步，构造(guzo)模型模型n n设x1=iR=iL=iC,x2=vC,有第74页/共88页第七十五页，共88页。n代入，得第75页/共88页第七十六页，共88页。n重新排列得到(d do)第76页/共88页第七十七页，共88页。第四步，求解第四步，求解(qi ji)模型模型n我们(w men)将通过勾画完整的相图分析该动态系统。第77页/共88页第七十八页，共88页。第78页/共88页第七十九页，共88页。对应对应(duyng)的线性系统的相的线性系统的相图图第79页/共88页第八十页，共88页。第五步，回答第五步，回答(hud)问题问题n n问题是

46、描述RLC电路的行为。系统的性质可以用两个量描述：通过电阻的电流和电容上的电压降。n n不论系统的初始状态如何(rh)，这两个量最终将趋于零。第80页/共88页第八十一页，共88页。灵敏性分析灵敏性分析灵敏性分析灵敏性分析(fnx)(fnx)：考察：考察：考察：考察C C的灵敏性（原的灵敏性（原的灵敏性（原的灵敏性（原C=1/3)C=1/3)第81页/共88页第八十二页，共88页。稳健性稳健性n考虑RLC电路的v-i特征f(x)(原f(x)=x3+4x).n更一般地，假设f(0)=0,f(x)严格单调增加。n动态(dngti)系统方程为：第82页/共88页第八十三页，共88页。例例n考虑非线性RLC电路，L=1,C=1且v-i特征f(x)=x3-x.确定这个电路随时间变化的行为。n和前面分析一样(yyng)，得到如下动态系统：第83页/共88页第八十四页，共88页。从向量场难于判断平衡点是否从向量场难于判断平衡点是否(sh fu)稳定！稳定！第84页/共88页第八十五页，共88页。相图相图(xin t)第85页/共88页第八十六页，共88页。第86页/共88页第八十七页，共88页。作业作业(zuy)n n第五章习题(xt)n n9，10，11，14，15第87页/共88页第八十八页，共88页。