数值分析讲义数值积分学习教案.pptx

《数值分析讲义数值积分学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析讲义数值积分学习教案.pptx（77页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、会计学1数值分析数值分析(fnx)讲义数值积分讲义数值积分第一页，共77页。对对f()采用采用(ciyng)不同的近似计算方法，不同的近似计算方法，从而得到各种不同的求积公式。从而得到各种不同的求积公式。第1页/共77页第二页，共77页。第2页/共77页第三页，共77页。以上三种方法都是用被积函数值的线性组以上三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示合来表示(biosh)积分值。推广，一般地有积分值。推广，一般地有求积节点求积节点(ji din)求积系数求积系数(xsh)，与被积函数无关与被积函数无关像这样，将积分用若干节点上被积函数值的像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合线性组合来

2、表示的数值积分来表示的数值积分公式称为公式称为机械求积公式机械求积公式。求积误差求积误差 机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点xk和求积系数和求积系数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：精确度的度量标准；精确度的度量标准；如何构造具体的求积公式；如何构造具体的求积公式；1.具体求积公式构造出来后，误差如何估计？具体求积公式构造出来后，误差如何估计？第3页/共77页第四页，共77页。以上以上(yshng)三种方法都是用被积函数值的线三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示积分值。推广，

3、一般地有性组合来表示积分值。推广，一般地有求积节点求积节点(ji din)求积系数，与被积求积系数，与被积函数函数(hnsh)无关无关像这样，将积分用若干节点上被积函数值的像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合线性组合来表示的来表示的数值积分公式称为数值积分公式称为机械求积公式机械求积公式。求积误差求积误差 机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点xk和求积系数和求积系数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：精确度的度量标准；精确度的度量标准；如何构造具体的求积公式；如何构造具体的求

4、积公式；1.具体求积公式构造出来后，误差如何估计？具体求积公式构造出来后，误差如何估计？第4页/共77页第五页，共77页。以上三种方法都是用被积函数值的线性以上三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示组合来表示(biosh)积分值。推广，一般地积分值。推广，一般地有有求积节点求积节点(ji din)求积系数求积系数(xsh)，与被积函数无关与被积函数无关像这样，将积分用若干节点上被积函数值的像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合线性组合来表示的数值来表示的数值积分公式称为积分公式称为机械求积公式机械求积公式。求积误差求积误差 机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点机械型求积公式的构造

5、归结为，确定求积节点xk和求积系数和求积系数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问题：精确度的度量标准；精确度的度量标准；如何构造具体的求积公式；如何构造具体的求积公式；1.具体求积公式构造出来后，误差如何估计？具体求积公式构造出来后，误差如何估计？第5页/共77页第六页，共77页。定义：定义：代数精度代数精度若若某某个个求求积积公公式式对对次次数数 m 阶阶的的多多项项式式准准确确成成立立，而而对对m+1 阶阶的的多多项项式式不不一一定定准准确确成成立立。即即对对应应的的误误差差满满足足：R Pk=0 对对任任意意 k m 阶阶的

6、的多多项项式式成成立立，且且 R Pm+1 0 对对某某个个 m+1 阶多项式成立，则称此求积公式的阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度代数精度为为 m。代数精度代数精度(jn d)与误差的关系：代数精度与误差的关系：代数精度(jn d)越高，求积误差越小。越高，求积误差越小。结论：结论：问题问题(wnt)1第6页/共77页第七页，共77页。第7页/共77页第八页，共77页。由上面代数精度条件确定求积公式由上面代数精度条件确定求积公式(gngsh)可分两种情形：可分两种情形：若事先给定求积节点若事先给定求积节点xk(k=0,n),例如被积函数以表的形式给出时例如被积函数以表的形式给出时xk确

7、定，可令确定，可令m=n,由上式确定由上式确定n+1个系数个系数Ak即可即可-待定系待定系数法和插值法。数法和插值法。若若xk和和Ak都可选择，令都可选择，令m=2n+1，确定，确定xk和法和法Ak-Gauss法法要使求积公式具有要使求积公式具有(jyu)m阶代数精度，则它对阶代数精度，则它对1,x,xm均准确成立，即均准确成立，即m+1个方程个方程(fngchng)，2n+2个未知数个未知数问题问题2第8页/共77页第九页，共77页。Case 1-方法方法(fngf)1第9页/共77页第十页，共77页。第10页/共77页第十一页，共77页。1 插值型求积插值型求积 公式公式(gngsh)思思

8、路路利用利用插值多项式插值多项式 则积分易算。则积分易算。在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值多次插值多项式项式 ，即得到，即得到Ak由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点(ji din)f(x)插值型积分插值型积分(jfn)公式公式/*interpolatory quadrature*/误差误差Case 1-方法方法2第11页/共77页第十二页，共77页。1 Newton-Cotes Formulae例：例：对于对于a,b上上1次插值，有次插值，有考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形梯形(txng)公式公式/*trape

9、zoidal rule*/解：逐次解：逐次(zh c)检查公式是否精确成立检查公式是否精确成立代入代入 P0=1：=代入代入 P1=x：=代入代入 P2=x2：代数代数(dish)精精度度=1第12页/共77页第十三页，共77页。1 Newton-Cotes FormulaeTh1.形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式公式为为插值型插值型（即：（即：）第13页/共77页第十四页，共77页。第14页/共77页第十五页，共77页。当节点当节点等距分布等距分布时：时：令令Cotes系数系数(xsh)注：注：Cotes 系数系数(xsh)仅取决仅取决于于 n

10、和和 i，可查表得到。，可查表得到。与与 f(x)及区间及区间a,b均均无关。无关。2 Newton-Cotes 公式公式(gngsh)NewtonCotes formula第15页/共77页第十六页，共77页。1 Newton-Cotes Formulaen=1:Trapezoidal Rule/*令令 x=a+th,h=ba,用中值用中值(zhn zh)定理定理*/代数代数(dish)精度精度=1n=2:Simpsons Rule代数代数(dish)精度精度=3第16页/共77页第十七页，共77页。n=4:Cotes Rule,代数精度代数精度=5,偶数阶偶数阶N-C公式具公式具有有n+1

11、阶代数阶代数(dish)精度精度n=3:Simpsons 3/8-Rule,代数精度代数精度=3,第17页/共77页第十八页，共77页。对称节点对称节点(ji din)的系的系数相同数相同Cotes公式是公式是用不同节点用不同节点的函数值的函数值（高度）的（高度）的加权平均来加权平均来近似近似(jn s)区区间的平均高间的平均高度度注：当注：当n8时，时，Cotes系数有负，造成公式不稳定，因此系数有负，造成公式不稳定，因此(ync)常用低阶常用低阶Cotes公式。公式。第18页/共77页第十九页，共77页。证明(zhngmng)：只需证明(zhngmng)n为偶数时，N-C公式对f(x)=x

12、n+1的余项R(f)=0即可。因 f(n+1)(x)=(n+1)!,由余项公式得Th2.n为偶数时，为偶数时，N-C公式公式(gngsh)至少具有至少具有n+1阶阶代数精度。代数精度。第19页/共77页第二十页，共77页。注：当注：当n 为偶数时，为偶数时，Cotes公式具有公式具有n+1阶精度，与阶精度，与n+1阶阶Cotes公式精度相同公式精度相同(xin tn)，但少计算一个节点，但少计算一个节点上的函数值，因此一般常用偶数阶上的函数值，因此一般常用偶数阶Cotes公式。公式。第20页/共77页第二十一页，共77页。偶数阶偶数阶N-C公式公式(gngsh)具有具有n+1阶代数精度阶代数精

13、度N-C公式具有公式具有(jyu)n阶阶代数精度代数精度余项余项R=o(h n+2)第21页/共77页第二十二页，共77页。第22页/共77页第二十三页，共77页。第23页/共77页第二十四页，共77页。第24页/共77页第二十五页，共77页。Hint：construct a interpolation polynomial of order 5,H(x),satisfying H(a)=f(a),H(b)=f(b),H(k)(a+b)/2)=f(k)(a+b)/2).第25页/共77页第二十六页，共77页。HW:p.151-152#1-6第26页/共77页第二十七页，共77页。数值数值(sh

14、z)稳定性的一般概念稳定性的一般概念第27页/共77页第二十八页，共77页。N-C的稳定性的稳定性第28页/共77页第二十九页，共77页。第29页/共77页第三十页，共77页。3 复合复合(fh)求积求积/*Composite Quadrature*/Havent we had enough formulae?Whats up now?Oh come on,you dont seriously consider h=(b a)/2 acceptable,do you?Why cant you simply refine the partition if you have to be so pi

15、cky?Dont you forget the oscillatory nature of high-degree polynomials!Uh-oh高次插值有高次插值有Runge 现象，故采用现象，故采用(ciyng)分段低次插分段低次插值值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。复合求积公式。复合梯形复合梯形(txng)公式：公式：在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：=Tn/*中值定理中值定理*/第30页/共77页第三十一页，共77页。第31页/共77页第三十二页，共77页。2 Composite Quadrature 复化复化 Simpson 公式公

16、式(gngsh)：44444=Sn注：注：为方便编程，可采用另一记法：令为方便编程，可采用另一记法：令 n=2n 为偶数，为偶数，这时这时 ，有，有第32页/共77页第三十三页，共77页。第33页/共77页第三十四页，共77页。2 Composite Quadrature 收敛速度与误差收敛速度与误差(wch)估计：估计：定义定义(dngy)若若一一个个(y)复复化化积积分分公公式式的的误误差差满满足足 且且C 0，则称该公式是则称该公式是 p 阶收敛的。阶收敛的。/*中值定理中值定理*/类似的，可得类似的，可得2阶收敛阶收敛4阶收敛阶收敛6阶收敛阶收敛第34页/共77页第三十五页，共77页。

17、例例1：计算计算解：解：其中其中=38988494其中其中=502运算量基运算量基本相同本相同第35页/共77页第三十六页，共77页。Q:给定精度给定精度(jn d)，如何，如何取取 n?例如：要求例如：要求 ，如何判断，如何判断 n=？上例中若要求上例中若要求 ，则，则即：取即：取 n=409第36页/共77页第三十七页，共77页。第37页/共77页第三十八页，共77页。第38页/共77页第三十九页，共77页。第39页/共77页第四十页，共77页。第40页/共77页第四十一页，共77页。第41页/共77页第四十二页，共77页。2 Composite Quadrature第42页/共77页第四

18、十三页，共77页。事后误差估事后误差估计式，可用计式，可用来判断迭代来判断迭代是否停止。是否停止。始步长始步长h第43页/共77页第四十四页，共77页。第44页/共77页第四十五页，共77页。第45页/共77页第四十六页，共77页。0.510-2第46页/共77页第四十七页，共77页。4 龙贝格积分龙贝格积分(jfn)/*Romberg Integration*/复化梯形公式算法简单复化梯形公式算法简单(jindn)，但精度较差，收敛速度，但精度较差，收敛速度（2阶收敛）较慢，如何提高收敛速度？阶收敛）较慢，如何提高收敛速度？第47页/共77页第四十八页，共77页。第48页/共77页第四十九页

19、，共77页。注：按上面规律，可以构造线性组合系数为注：按上面规律，可以构造线性组合系数为的新的积分公式，但当的新的积分公式，但当m4时，前一个系数接近于时，前一个系数接近于1，后一个系数，后一个系数接近于接近于0，这样，这样(zhyng)构造出的新公式与前一个公式结果差别不构造出的新公式与前一个公式结果差别不大，反而增加计算量，因此实际上常做到大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。公式为止。第49页/共77页第五十页，共77页。第50页/共77页第五十一页，共77页。第51页/共77页第五十二页，共77页。第52页/共77页第五十三页，共77页。第53页/共77页第五十四

20、页，共77页。例：例：计算计算已知对于已知对于(duy)=106 须将区间对分须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512=02由由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？考察考察=502=S4一般一般(ybn)有：有：Romberg 序列序列(xli)Romberg 算法：算法：?0,k=0,1,n定理定理求积系数求积系数(xsh)的另的另一种计算方法一种计算方法结论结论(jiln)：Gauss型积分公式是数值稳定的。型积分公式是数值稳定的。（稳定性分析类似于（稳定性分析类似于n 7的的N-C公式）公式）第63页/共77页第六十四页，共77页。区间-1,1上权函数(x)=1的Gaus

21、s型求积公式,称为(chn wi)Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.几种几种几种几种(j(j zh zh n n)Gauss)Gauss型求积公型求积公型求积公型求积公式式式式 (1)Gauss-Legendre求积公式求积公式(gngsh)公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.nxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.88

22、8888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.56888888

23、89第64页/共77页第六十五页，共77页。用3点Gauss公式计算(j sun)积分 解 查表得x1=-0.7745966692,x2=0,x3=0.7745966692,A1=A3=0.5555555556,A2=0.8888888889,所以(suy)有 Gauss-Legendre求积公式(gngsh)的余项为 例例例例1313误差为 实际上,I=2sin1=1.68294197,误差为|R|=6.15810-5.用Simpson公式,则有I1.69353487,误差为|R|=1.0610-2.第65页/共77页第六十六页，共77页。由于(yuy)因此(ync),a,b上权函数(x)=

24、1的Gauss型求积公式为 用3点Gauss公式计算(j sun)积分结果远比Simpson公式的结果精确.例例例例1414 解解 这里Gauss点和积分系数与上例相同,所以 求积误差可表示为第66页/共77页第六十七页，共77页。区间0,)上权函数(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为(chn wi)Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.(2)Gauss-Laguerre求积公式求积公式(gngsh)公式的Gauss点和求积系数(xsh)可在数学用表中查到.nxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.853553

25、39050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.4

26、1700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947第67页/共77页第六十八页，共77页。Gauss-Laguerre求积公式(gngsh)为 求积公式(gngsh)的误差为 由于(yuy)所以,对0,+)上权函数(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:第68页/共77页第六十九页，共77页。区间(q jin

27、)(-,)上权函数(x)=(3)Gauss-Hermite求积公式求积公式(gngsh)公式的Gauss点和求积系数(xsh)可在数学用表中查到.nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.65196

28、1356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.020182870400.39361932310.01995324210.9453087204 的Gauss型求积公式,称为Gauss-Hermite求积公式求积公式,其Gauss点为Hermite多项式的零点.Gauss-Hermite求积公式为第69页/共77页第七十页，共77页。6 Numerical Differentiation第70页/共77页第七十一页，共77页。第71页/共77页第七十二页，共77页。h=0.8，精，精度度像这样像这样(zhyng)，将微分的计算归结为在若干节点上函数值，将微分的计算归结为在若干节点上函数值的线性组合的数值微分方法称为机械求导方法。的线性组合的数值微分方法称为机械求导方法。第72页/共77页第七十三页，共77页。第73页/共77页第七十四页，共77页。二次插值二次插值第74页/共77页第七十五页，共77页。第75页/共77页第七十六页，共77页。f(xn)7.Gauss型积分公型积分公式式8.HW:p.152-153#7-12第76页/共77页第七十七页，共77页。