数值计算方法三次样条插值学习教案.pptx

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1、数值数值(shz)计算方法三次样条插值计算方法三次样条插值第一页，共69页。4.4.1 4.4.1 分段分段(fn dun)(fn dun)插值插值第1页/共69页第二页，共69页。分段分段(fn dun)(fn dun)线性插值线性插值第2页/共69页第三页，共69页。分段分段(fn dun)(fn dun)线性插值线性插值第3页/共69页第四页，共69页。分段分段(fn dun)(fn dun)线性插值线性插值第4页/共69页第五页，共69页。n缺点(qudin)：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第5页/共69页第六页，共69页。分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次Her

2、miteHermite插值插值上述分段线性插值曲线(qxin)是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第6页/共69页第七页，共69页。分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次HermiteHermite插值插值第7页/共69页第八页，共69页。分段分段(fn dun)(fn dun)三次三次HermiteHermite插值算法插值算法第8页/共69页第九页，共69页。例题例题(lt)(lt)第9页/共69页第十页，共69页。例题例题(lt)(lt)第10页/共69页第十一页，共69页。4.4.2 4.4.2 三次三次

3、(sn c)(sn c)样条插值样条插值第11页/共69页第十二页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第12页/共69页第十三页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第13页/共69页第十四页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第14页/共69页第十五页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第15页/共69页第十六页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第16页/共69页第十七页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第17页/共69页第十八页，共69页。三次三

4、次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第18页/共69页第十九页，共69页。第19页/共69页第二十页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第20页/共69页第二十一页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第21页/共69页第二十二页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第22页/共69页第二十三页，共69页。三次三次(sn c)(sn c)样条插值样条插值第23页/共69页第二十四页，共69页。例题例题(lt)(lt)例例4.4.1 4.4.1 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的数表如下的数表如下(rxi)(rxi

5、)表所示。表所示。求满足边界条件求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529第24页/共69页第二十五页，共69页。解解 做差商表做差商表(P111),(P111),由于是等距离由于是等距离(jl)(jl)节点节点,第25页/共69页第二十六页，共69页。由第二类边界条件得由第二类边界条件得第26页/共69页第二十七页，共69页。解方程得解方程得将将MMi i代入式代入式4.4.14)4.4.14)得得第27页/共69页第二十八页，共69页。由于(yuy)故 第28页/共69页第二十九页，共69页。4 45 5 曲线拟

6、合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法(chngf)(chngf)插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们(w men)给出最佳逼近的讨论.第29页/共69页第三十页，共69页。4.5.1 4.5.1 最佳最佳(zu ji)(zu ji)平方逼近平方逼近定义定义4.5.1 4.5.1 设设 称称 为函数为函数 在区间在区间a,ba,b上的内上的内积积.其中其中 为区间为区间a,ba,b上的权函数上的权函数,且且满足下面满足下面(xi mian)(xi mian)两个条件两

7、个条件:第30页/共69页第三十一页，共69页。容易验证(ynzhng),上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第31页/共69页第三十二页，共69页。内积的性质内积的性质(xngzh)(xngzh)第32页/共69页第三十三页，共69页。函数函数(hnsh)(hnsh)的欧几里得范数的欧几里得范数定义定义(dngy)4.5.2(dngy)4.5.2 设设 称称 为函数为函数f(x)f(x)的欧几里得范数的欧几里得范数,或或2 2范数范数.第33页/共69页第三十四页，共69页。函数函数(hnsh)(hnsh)的欧几里得范数性质的欧几里得范数性质第34页/共69页第三十五页，共69

8、页。线性相关的函数线性相关的函数(hnsh)(hnsh)系系定义定义4.5.3 4.5.3 设函数设函数(hnsh)(hnsh),如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 使使成立,则称函数(hnsh)系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.第35页/共69页第三十六页，共69页。线性相关的函数线性相关的函数(hnsh)(hnsh)系的判定系的判定定理定理(dngl)4.5.1(dngl)4.5.1 函数函数 在区间在区间a,ba,b上线上线性相关的充分必要条件是性相关的充分必要条件是GramerGramer行列式行列式第36页/共69页第三十七页，共69页。不难证明不难证明 在在R

9、R上线性上线性无关无关.定理定理4.5.14.5.1的等价说法是的等价说法是:函数系函数系 线性无关的充分线性无关的充分(chngfn)(chngfn)必要条件是必要条件是GramerGramer行列式行列式 .第37页/共69页第三十八页，共69页。最佳最佳(zu ji)(zu ji)平方逼近平方逼近定义定义4.5.4 4.5.4 设函数设函数 及函数系及函数系 且线性无关且线性无关.记记 为连续函数空为连续函数空Ca,bCa,b的子空的子空间间,如果如果(rgu)(rgu)存在元素存在元素 满足满足第38页/共69页第三十九页，共69页。则称则称 为为f(x)f(x)在在 上的最佳平方上的

10、最佳平方(pngfng)(pngfng)逼近函数逼近函数.且且其中其中 是法方程是法方程唯一的一组解唯一的一组解.第39页/共69页第四十页，共69页。令令 则误差则误差(wch)(wch)为为第40页/共69页第四十一页，共69页。特例特例(tl)(tl)取取则法方程则法方程(fngchng)(fngchng)为为其中其中第41页/共69页第四十二页，共69页。例题例题(lt)(lt)例例4.5.1 4.5.1 设设 求求f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的一次最佳平方逼近上的一次最佳平方逼近(bjn)(bjn)多项式多项式.解解 设设 由于由于第42页/共69页第四十三页，共69页

11、。故法方程故法方程(fngchng)(fngchng)为为解得解得第43页/共69页第四十四页，共69页。平方平方(pngfng)(pngfng)误差为误差为第44页/共69页第四十五页，共69页。4.5.2 4.5.2 对离散对离散(lsn)(lsn)数据的曲线拟合最小二乘法数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题曲线拟合问题 对于对于f(x)f(x)插值问题插值问题,要想提高要想提高(t go)(t go)精度精度,就要增加节点就要增加节点,因此多项式的因此多项式的次数也就太高次数也就太高,计算量过大计算量过大,而节点少而节点少,多项式的次数低多项式的次数低,但误差精度不能保证但误差精度不能保

12、证,为了消除误差干扰为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),f(x),这就是曲线拟合问题这就是曲线拟合问题.第45页/共69页第四十六页，共69页。在科学实验在科学实验(shyn)(shyn)中中,得到函数得到函数y=f(x)y=f(x)的的一组实验一组实验(shyn)(shyn)数据数据:,:,求曲线求曲线 与实验与实验(shyn)(shyn)数据误差在某种度量意义数据误差在某种度量意义下最小下最小.第46页/共69页第四十七页，共69页。设设 是是a,ba,b上一组线性无关上一组线性无关(wgun)(wgu

13、n)的的连续函数系连续函数系,令令记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量(dling)标准,即第47页/共69页第四十八页，共69页。达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法(fngf),有多元函数极值必要条件有第48页/共69页第四十九页，共69页。用向量用向量(xingling)(xingling)内积形式表示内积形式表示,上式上式可记可记 上式为求上式为求 的法方程组的法方程组,其其矩阵的形式为矩阵的形式为第49页/共69页第五十页，共69页。其中其中(qzhng)(qzhng)由于(yuy)向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 第50

14、页/共69页第五十一页，共69页。故式故式(4.5.14)(4.5.14)存在唯一解存在唯一解 ,于是于是得到函数得到函数(hnsh)f(x)(hnsh)f(x)的最小二乘解的最小二乘解其平方误差为其平方误差为第51页/共69页第五十二页，共69页。特例特例(tl)(tl)第52页/共69页第五十三页，共69页。例题例题(lt)(lt)例例4.5.2 4.5.2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)的离散数据如下表所示的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述试用二次多项式拟和上述(shngsh)(shngsh)数据数据,并求并求平方误差平方误差.01234500.20.40.60.811.

15、0001.2211.4921.8222.2262.718第53页/共69页第五十四页，共69页。解解 由式由式(4.5.16)(4.5.16)可得可得解方程组得解方程组得所以拟合所以拟合(n h)(n h)二次函数为二次函数为第54页/共69页第五十五页，共69页。平方平方(pngfng)(pngfng)误差为误差为第55页/共69页第五十六页，共69页。例例4.5.3 4.5.3 地球温室效应问题地球温室效应问题下表统计了近下表统计了近100100年内地球大气气温上升的年内地球大气气温上升的数据数据.试根据试根据(gnj)(gnj)表中数据建立一数学表中数据建立一数学模型即拟和曲线模型即拟和

16、曲线,并根据并根据(gnj)(gnj)这一模型这一模型,预报地球气温何年会比预报地球气温何年会比18601860年的平均温度年的平均温度高高第56页/共69页第五十七页，共69页。年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第57页/共69页第五十八页，共69页。解解 为简化数据为简化数据,从从1880年起年份记年起年份记N,其变换其变换n=(N-1870)/10.将地球气温将地球气温(qwn)增加值

17、增加值改记为改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是也就是将原气温将原气温(qwn)增加值扩大增加值扩大100倍倍,根据新根据新数据绘制图数据绘制图4.5.1(P119)第58页/共69页第五十九页，共69页。从图从图4.5.14.5.1可以看出可以看出(kn ch),(kn ch),气温气温t t与变换与变换n n大致服从指数函数增长过程大致服从指数函数增长过程,因此因此,可以假设可以假设t t与与n n满足指数函数关系满足指数函数关系为决定参数为决定参数,将上式改写成将上式改写成第59页/共69页第六十页，共69页。记记 则有则有这是已知数据这是已知数据(sh

18、j)(shj)相应地变为如下表所相应地变为如下表所示示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第60页/共69页第六十一页，共69页。由式由式(4.5.16),(4.5.16),取取n=1,m=10,n=1,m=10,并将上表并将上表(shn(shn bio)bio)已知数据带入得已知数据带入得解方程组得解方程组得:第61页/共69页第六十二页，共69页。相应的相应的t t 与与 n n 的指数型拟合曲线关系为的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行以此进行(

19、jnxng)(jnxng)预报预报,即已知即已知t t值求值求第62页/共69页第六十三页，共69页。以地球气温以地球气温(qwn)(qwn)比比18601860年上升年上升 为例为例,即以即以t=700t=700代入上式可得代入上式可得:N(7)=2078(N(7)=2078(年年)第63页/共69页第六十四页，共69页。4.5.3 4.5.3 矛盾矛盾(modn)(modn)方程组的最小二乘解方程组的最小二乘解设矛盾设矛盾(modn)(modn)方程组方程组这里这里mn,mn,记记第64页/共69页第六十五页，共69页。则上式可简记为则上式可简记为Ax=b.Ax=b.矛盾矛盾(modn)(

20、modn)方程组的最小二乘解方程组的最小二乘解x*x*是指是指满足满足第65页/共69页第六十六页，共69页。引理 设 则B为半正定对称方阵(fn zhn),当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵(fn zhn).第66页/共69页第六十七页，共69页。定理定理4.5.2 4.5.2 设设 且各列向量线性无关且各列向量线性无关(wgun),(wgun),则则(1)(1)矛盾方程组矛盾方程组(4.5.19)(4.5.19)的法方程组的法方程组 恒有恒有解解;(2)(2)设设x*x*是法方程组是法方程组 的解的解,则则x*x*是矛盾方是矛盾方程组程组(4.5.19)(4.5.19)的最小二乘解的最小二乘解.第67页/共69页第六十八页，共69页。定理定理(dngl)4.5.2(dngl)4.5.2指出指出:实验数据实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组程组的最小二乘解的最小二乘解.第68页/共69页第六十九页，共69页。