数模微分方程建模学习教案.pptx

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1、数模微分方程数模微分方程(wi fn fn chn)建模建模第一页，共67页。报告(bogo)提要2/7/20232一、一、数学数学(shxu)(shxu)建模简介建模简介二、微分方程二、微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn)chn)模型模型三、灰色预测三、灰色预测四、层次分析法四、层次分析法数学建模数学建模报告提要报告提要第1页/共67页第二页，共67页。一、数学(shxu)建模简介-建模思想小学(xioxu)建模 灯笼问题：从左边数第灯笼问题：从左边数第17盏、第盏、第18盏和第盏和第100盏灯笼是什么颜色？盏灯笼是什么颜色？第2页/共67页第三页，共67页。建模思想(sx

2、ing)大学建模微分应用求曲线斜率，变速运动的速度，极值等。积分应用求重心，转动惯量，引力等。材料学科热障(rzhng)涂层工作：周校长、杨丽等（网格划分，有限元建模），周校长，刘奇星，毛卫国等（预测方法），马增胜等（量纲分析）困惑：重方法，轻应用。第3页/共67页第四页，共67页。建模流程(lichng)现实世界现实世界数据分析、处数据分析、处理理归纳成问归纳成问题题抽象出理论抽象出理论实验实验模拟仿模拟仿真真模型与方模型与方法法第4页/共67页第五页，共67页。参考书目综合型综合型数学模型，姜启源编。数学建模算法及应用。数学模型，姜启源编。数学建模算法及应用。优化及数值计算模型优化及数值计

3、算模型运筹学。最优化方法。数值分析。运筹学。最优化方法。数值分析。预测模型预测模型灰色预测。时间序列分析。回归分析。神经网路。灰色预测。时间序列分析。回归分析。神经网路。评价模型评价模型模糊数学。模糊数学。概率模型概率模型多元多元(du yun)(du yun)统计分析。随机过程。统计分析。随机过程。第5页/共67页第六页，共67页。二、微分方程(wi fn fn chn)建模 变量的变化率或导数及变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确(jngqu)解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论

4、方法。第6页/共67页第七页，共67页。三种微分方程(wi fn fn chn)建模方法l l1、微元法变化量相等l l 从问题的不同角度分析(fnx)找出相应变量的变化量相等建立微分方程。l l如：半球形容器,水从它的底部小孔流出，l l 容器里水面的高度 h 随l l 时间 t 的变化规律。l l 第7页/共67页第八页，共67页。三种微分方程(wi fn fn chn)建模方法2、根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。如：求电流 的变化规律。原理：在闭合回路(hul)中,所有支路上的电压降为 0。第8页/共67页第九页，共67页。

5、三种(sn zhn)微分方程建模方法3、模拟近似法在生物、经济(jngj)等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。第9页/共67页第十页，共67页。一、人口(rnku)模型 v问题的提出v假设和定义v模型的建立v分析(fnx)和求解v结论和讨论第10页/共67页第十一页，共67页。2023/2/71 问题问题(wnt)的提出的提出 人口问题是当今世界上最令人关注人口问题是当今世界上最令人关注(

6、gunzh)的问题之一，一些发展中国家的人的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口（亿）5 10 20 30 40 50

7、 60 第11页/共67页第十二页，共67页。2023/2/72023/2/7 可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系(gun x)，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。第12页/共67页第十三页，共67页。2023/2/7 我国是世界(shji)第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：年年 1908 1933 1953

8、1964 1982 1990 2000 人口（亿）人口（亿）3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主(mnzh)文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。第13页/共67页第十四页，共67页。2023/2/72023/2/7 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制(kngzh)人口增长的前提，下面介绍两个最基本的人口模型。2.模型模型1(Malthus模型模型)18世纪末，英国人世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人

9、口在研究了百余年的人口(rnku)统计资料后认为，在人口统计资料后认为，在人口(rnku)自然增长的自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。是常数。第14页/共67页第十五页，共67页。2023/2/72023/2/7第15页/共67页第十六页，共67页。2023/2/72023/2/7第16页/共67页第十七页，共67页。2023/2/72023/2/7第17页/共67页第十八页，共67页。2023/2/72023/2/7返回返回(fnhu)第18页/共67页第十九页，共67页。2023/2/72023/2/7 这

10、个模型可以与这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口世纪以前欧洲一些地区的人口(rnku)统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口世纪的人口(rnku)资料比较时，却发现了相当大的差异。资料比较时，却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口(rnku)比较符合指数增长模型。而同一血统的法国本土居民人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法国本土居民人口(rnku)的增长却与指数模型大相径庭。的增长却与指数模型大相径庭。第19页/共67页第二十页，共67页。2023/2/720

11、23/2/72121 分析表明，以上这些现象的主要原因是随着分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口增长的限制增长的限制(xinzh)作用越来越显著。人口较少作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改。相对增长率是常数的基本假设进行修改。2.5 模型

12、模型(mxng)修改修改第20页/共67页第二十一页，共67页。2023/2/72023/2/7第21页/共67页第二十二页，共67页。2023/2/72023/2/7返回返回(fnhu)第22页/共67页第二十三页，共67页。2023/2/72023/2/7第23页/共67页第二十四页，共67页。2023/2/72023/2/7 这个模型称为Logistic模型，其结果经过计算发现与实际情况比较(bjio)吻合。图：第24页/共67页第二十五页，共67页。2023/2/72023/2/7 后续(hux)发展离散形式 数据第25页/共67页第二十六页，共67页。2023/2/72023/2/7

13、 后续发展(fzhn)连续形式 第26页/共67页第二十七页，共67页。2023/2/72023/2/7设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量(hnling)的规定为不超过80%(mg/ml).现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量(hnling)是56%(mg/ml),又过两个小时后,测得其酒精含量(hnling)降为40%(mg/ml),试判断:事故发生时,司机是否违反了酒精含量(hnling)的规定?练习：酒精含量(hnling)的测定第27页/共67页第二十八页，共67页。二二 传染病模型传染病模型(mxng)问题问题(wnt)描述描述(mio sh)传染病的传

14、染病的传播过程传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型第28页/共67页第二十九页，共67页。已感染人数已感染人数(rn sh)(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以足以(zy)使人致病使人致病)人数为人数为 模型模型(mx(mxng)1ng)1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病

15、人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第29页/共67页第三十页，共67页。模型模型(mx(mxng)2ng)2区分区分(qfn)已感染者已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设(ji(jish)sh)1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为）每个病人每天有效接触人数为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型第30页/共67页第三十一页，共67页。模型模型(mxng)21/2tmii010ttm传染病高潮到来传染病高潮到来(doli)时刻时

16、刻 (日接触日接触(jich)率率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最最大大第31页/共67页第三十二页，共67页。模型模型(mxng)3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为为(chngwi)健康人，健康人可健康人，健康人可再次被感染再次被感染增加增加(zngji)假设假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的有每个病人的有效接触人数，称为效接触人数，称为接触数接触数。第32页/共67页第三十三页，共67页。模型模

17、型(mxng)3i0i0接触接触(jich)数数 =1 阈值阈值感染期内有效感染期内有效(yuxio)接接触感染的健康者人数不超过触感染的健康者人数不超过病人数病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4P2S0第37页/共67页第三十八页，共67页。模型模型(mxng)4SIR模型模型(mxng)预防传染病蔓延预防传染病蔓延(mn yn)的手段的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫第38页/共67页第三十九页，共67页。模型模型(mxng)4SIR模模型型(mxng)被传染被传染(chunrn)人数的估计人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例x 0R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量捕捞过度捕捞过度ERE*令令=0第65页/共67页第六十六页，共67页。第66页/共67页第六十七页，共67页。