大学文科数学 极限.pptx

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1、欢欢 迎迎 同同 学学 们们学习大学文科数学课程主讲:陈美蓉 理A314，第1页/共68页学会学习；学会生存；学会做事；学会合作。联合国教科文组织第2页/共68页引 言一、为什么文科生也要学习数学?二、大学文科数学的主要内容?三、如何学习大学文科数学?第3页/共68页一、为什么文科生也要学习数学?数学是一种语言，一切科学的共同语言 严密性、精确性数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 科学素养数学是一种工具，一种思维的工具 理性思维数学是一门艺术，一门创造性艺术 美的熏陶第4页/共68页 数学的应用性(事例)数学与音乐：任何周期性声音(乐音)都可表示为形如 asinbx 的简单正弦函数之和。小

2、提琴奏出的声乐第5页/共68页 数学的应用性(事例)数学与绘画：观念体系、光学体系。达芬奇：欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家.数学与语言：数理语言学。数学与历史：计量史学。第6页/共68页二、大学文科数学的主要内容?任务、目的理解数学的基本思想；加强数学思维的训练；数学素养第7页/共68页 具体内容 微积分 线性代数 随机数学(概率论)应用数学(数学规划、对策论、最优控制)数学史、数学家及数学分支介绍第8页/共68页1.微积分：近似逼近精确的思想 分而治之，化大为小，化难为易，各个击破的精神由多到少，逐步降级的思想，以及在大规模问题中的规律程序化的重要性2.线性代数：第9页/共68页3.随

3、机数学：4.应用举例研究与揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 在相同条件下，重复同样的试验，所得结果不确定，以至于在实验之前无法预料哪个结果会出现。但是在大量重复实验中其结果又具有统计规律性。第10页/共68页三、如何学习大学文科数学?目标明确 基本思想 数学思维理性精神认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣.第11页/共68页与直观不符的一个悖论与直观不符的一个悖论 经验和直觉尽管对数学十分重要，从某种方面来说，它甚至可以说是数学思想的重要来源，但是，直观也可能不正确；因此理论的建立必须要抛开直观，用一种逻辑的，理性的讨论把问题说清楚。第12页/共68页 学数学最好的方式是“做”数学 学习一些具

4、体内容；（做习题是最好的学习方法之一）思考、分析.第13页/共68页参 考 书数学的思想、方法和应用修订版，张顺燕主编，北京大学出版社文科高等数学，华宣积等编，复旦大学出版社教材大学文科数学，张饴慈等编著，科学出版社.第14页/共68页1 极 限第一章 微积分大意2 积 分4 无穷级数3 导 数基本初等函数图形教学演示实验第15页/共68页 补充内容1、区间定义：介于某两个定数（点）之间的一切实数（点）称为区间。而那两个定数（点）称为这个区间的端点。开区间闭区间以 a,b 为端点的区间：半开区间无限区间第16页/共68页2、绝对值数轴上点 x 到点 a 的距离为第17页/共68页3、邻域、邻域

5、其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.去心 邻域左 邻域:右 邻域:用微积分讨论问题时，往往要在 x=a 点处研究某个性质。但是又不能孤立地从 a 点着手，必须从 a 点附近全面地看才能收效。邻域：以 a 为中心，（0)为半径的一个开区间，称为点 a 的 邻域。记为 第18页/共68页 函数的两要素:4、函数、函数定义域自变量因变量 定义域 对应规律第19页/共68页5、函数的几种特性、函数的几种特性定义：设函数(1)有界性恒有则称 说明:还可定义有上界、有下界、无界 在 a,b 内为有界函数.任意给定总是存在否则称在 a,b 内为无界函数.有界函数必介于直线与之间。第20页/共68页则称 f

6、(x)则称 上的单调增函数;上的单调减函数.(2)单调单调性性定义：设函数且在在单增和单减函数统称为单调函数。第21页/共68页(3)奇偶性奇偶性若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明:若在 x=0 有定义,为奇函数时,则当必有定义：设函数在对称区间上有定义。且满足其图形对称于 y 轴。其图形对称于原点。第22页/共68页(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为第23页/共68页6、基本初等函数、基本初等函数(1)幂函数此函数的定义域要由来确定。基本初等函数图形教学演示实验第24页/共68页(2)指数函数指数函数它的定义域是整个

7、实数第25页/共68页(3)对数函数对数函数第26页/共68页(4)三角函数三角函数正割余割从现在开始角度用 x 表示第27页/共68页第28页/共68页第29页/共68页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共68页正割函数正割函数第31页/共68页余割函数余割函数第32页/共68页常用的三角函数的公常用的三角函数的公式式第33页/共68页(5)反三角函数反三角函数第34页/共68页反余弦函数反余弦函数第35页/共68页反正切函数反正切函数第36页/共68页反余切函数反余切函数第37页/共68页7、复合函数可定义复合函数第38页/共68页二、函数的极限三、极限的性质与运算 一、数列的

8、极限1.1 极 限第一章 微积分大意 第39页/共68页 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。我国数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法：割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。刘徽1.割圆术一、数列的极限1 极 限 第一章 第40页/共68页正六边形的面积 A1正十二边形的面积 A2用正多边形的面积逼近圆面积的几何演示刘徽割圆术教学演示实验第41页/共68页一尺之棰，日截其半，万世不竭。n 天后截丈总长2.截丈问题 注意：在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已经成为微积分中的基本方法。第4

9、2页/共68页3.观察下列数列的变化趋势趋势不定观察可见：的变化趋势只有两种：不是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的初步定义如下：数列极限教学演示实验第43页/共68页若当 时，一般项无限地接近于则称 A 为数列的极限，或 称有极限的数列为收敛数列，无极限的数列为发散数列。若当 时，不接近于任何确定常数 A,某个确定的常数 A,数列没有极限。数列极限的描述性定义 定义1记作：则称例如：而无极限第44页/共68页数列极限的数学定义（“”语言）若数列及常数 A具有下列关系:正整数 N,当 n N 时,总有即则称该数列 的极限为 A,注意：1不等式刻画了与 A

10、 的无限接近；2N 与任意给定的正数有关.第45页/共68页举例说明举例说明数列，当 n 无限增大时 xn 与 2的距离.当 n N 时,总有欲使几何解释:第46页/共68页由由取只要即从10001 项起以后的所有点与 2 的距离小于即有取只要即从101 项起以后的所有点与 2 的距离小于即有第47页/共68页若 则称 A 是函数的极限，记作或（函数极限的描述性定义）二、函数的极限类似数列的极限，也可以考虑函数的极限。时，函数与某个常数 A无限接近,在若 函数没有极限，则称函数是 定义2发散的。函数极限教学演示实验第48页/共68页1、自变量趋于无穷大时函数的极、自变量趋于无穷大时函数的极限限

11、定义1.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线 y=A 为曲线的水平渐近线A 为函数第49页/共68页直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:都有水平渐近线如，（单边极限）第50页/共68页例如：例如：第51页/共68页2、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限定义2.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或若记作几何解释:第52页/共68页左极限与右极限左极限与右极限当时,有右极限:当时,有结论:左极限:第53页/共68页.设函数设函数讨论 时的极限是否

12、存在.解:利用结论.因为显然所以不存在.例1第54页/共68页三、极限的性质与运算 考虑下列极限问题：不只是计算和逻辑推理，直觉与经验也很重要.可以推测：但是，仅有直觉与猜测也是不行的，需要证明.第55页/共68页（单调有界准则）性质1递增（减）有上（下）界的数列是收敛的。(证明略)第56页/共68页证明极限证明：利用二项式公式，有设 例2存在。两个重要极限教学演示实验第57页/共68页大 大 正又比较可知第58页/共68页记此极限为 e,e 为自然无理数，其值为即有极限。又根据性质1可知数列第59页/共68页若数列满足且对于函数也有类似的结论：（夹逼准则）性质2第60页/共68页圆扇形AOB的面积证明：当即时，所以AOB 的面积AOD的面积故证明实验演示 例3第61页/共68页则有若注意：对于函数上述运算性质仍然成立。（极限的四则运算法则）性质3第62页/共68页求下列函数的极限 例4第63页/共68页第64页/共68页练习求下列函数的极限第65页/共68页作业 P11极限的性质与运算：2(奇)第66页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页